5 6 Danh gia Diam V trong phuang phap compact thu hep cua Gaponenco
3-V5 VN,N
Vdri V = const e (0, ), ak = —• £k;
4N1N2 V 2 7 Ek = q*" eo ; q = V2N]N2 v + 2N1N2 v;
80 ^ | | x o - x * | | , (1.4)
l|Xk-X*|| <Ek ( 1 . 5 )
Bakushinski cung dat ra dieu kien dn thu* hai nhu saụ
(B2) Va > 0 3 Xa e Argmin{ ||F(x) ||^ + a ||x - ^||^: x e X } va thoa man he thu-c
||Xa - x * | | - D ( O a + 0(a)
d day I D(^) a I < const
Néu CO dieu kien B2 va ak chon thoa man he thiic
otk ak - a k+i
limak = 0; • = 0 ( 1 ) ; lim < 6 (6 - const > 0 ) ( 1.6)
Ok + 1 Ok + 1
Thi trong (1.3) Xk hOi tu toi x* va eo danh giạ
||xk-x*|| =0(ak) (1.7)
Trong muc sau ta tién hanh kidm tra dfeu kien (Bi) trong mOl s<5 truong hop cu ihi,
eon dfeu kien (B2) r^t phuc tap ta chap nhan va coi nhu la da thoa man doi voi toan tufF.
{2 Kiem tra dieu kien Bi cua Bakushinskị
Trong phuang trinh (1.1) nghiem x* chua biét, F(x* ) ehua dugc cho, nen
dfeu kien (Bj) khong ihi kidm tra trong mot lop rong. Chung ta chi xet nhung
truong hgp dac biet ma dieu kien (Bi) dugc thoa man.
Bo de 2.1: Néu F '* (x*) F '(x* )la toan anh thi dieu kien (Bi) dugc thoa man vdri moi ^ du gan x*
Chiing minh . Theo dinh ly ve anh xa mo [ 37 ] ta co
V ^ e X , 3 C > 0 , 3 v e X : F*(x*) F(x*) v = x* - ^
va ||v|| < | | x * - a | .
Néu ^ du gUn X* thi || v || < (3 -VT) / (4N1N2 ) B6 de dugc chung minh []
Bd rfe nay cung chung to rang trong truong hgp bai toan chinh quy tiic la F^x*) hoae F*(x*) F(x*) khong suy bién thi dieu kien (Bi) duong nhien dugc thoa man
Bay gio ta gia thiet rang.
F(x) = Ax+ (t)(x) (2.1) , O day A la toan tu tuyén tinh bi chan , ([) la anh xa kha vi lien tuc trong khong gian
Hilbert H.
Bo de 2.2 : Gia su ImA*, 1mA la cac kh6ng gian con đng ki hieu A, A* va B la han ché cua toan tir AA* va A* Aien ImA*A ImA va ImA*A tuong ung. Khi do :
a/ A, A va B eo nghich dao bi chan (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b/ (A*) = (A)*
b/ B = A * A
Chimg minh : De dang tháy rang :
Ker A = Ker A A*, ImA* = ImA*A va ImA*A =(Ker AA*)-^
Do ImA la khong gian con dong, theo dinh ly Riesz
ta CO H = ImA*A + Ker A A* = ImA*A 0 Ker A
1 - 1 1-1
Tu gia thiét A : ImÂA • ImA, B :lmA*A —> lmA*A ,suy ra A va B c6 xa ngugc
lien tuc giua cac khOng gian con dong cua H. Vdri moi y e ImA ta co:
A y = A y e ImA ~ ImA A
Suy ra A* : ImA — • Im A*A
Mat khac vdri moi x e ImA*A, moi y e ImA, ta ed :
<Ax, y> = < Ax,y > = < x,A*y > = < x, A*y >
suy ra A = A
Do ding thu"c tren ta cung cd:
(A*) -• = (A*) -> = (A-V
He thiic euoi cung dugc chiing minh nhu sau:
Vx e ImA*A, Bx = A*Ax = A*Ax = A*Ax - A*Ax
Suy ra B = A*A
KJ hieu S (a,r) la hinh cau đng tam a, ban kinh r ta cd dinh ly sau:
Djnh ly 2.1: Gia sur anh xa F cd dang F = A+ (j). Trong do Ala toan lir tuyen tinh bi
chan, (j) la anh xa kha vi lien tuc thoa man cac dieu kien sau: a - ImA va ImA* la khong gian con đng.
b - (t)(H) cz ImA
c - V x e W = ImA*AoS(0,R), KerA c Ker(t>'(x) va ||f(x)|| < qi ||Á|| ' = C
d d a y q i = {||A|| ||A-'|| + ( 1 + ||A||^ || k'fy^ ývk
R=I|A-'|| Um (1-qi)-^
Khi đ phuang trinh (1.1) cd nghiem x* e ImA* va vdri moi ^ e ImA* du g'an x*, dieu kien cáu tnic (BI) (b) dugc thoa man.
Chiing minh: Do H = ImA*A ® Ker A nen vdri moi x e H, ta ed:
X = Xi + X2, Xi e ImA*A, X2 e Ker A Phuang trinh (1.1) cd thd viét:
Ax + (j)(x) = Axi + ^(x\ + X2) - 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do dieu kien (b) ta ed phuang trinh
xi +A"^ (t)(xi + X2) = 0 (2.2)
Ta chiing minh rang, vdri moi x e KerA e6' dinh, phuang trinh (1.1) cd nghiem duy
nhát xi* e ImA*Ava do đ phuang trinh (1.1) cd tap nghiem Xi* + KerA Dd don gian ta xet X2 = 0
Dat
T(xi)--A-^(|)(x,) Ta cd T : ImA*A -> ImA*A va T(xi) = -A-^f(x,) Do dieu kien (c), nen ta cd danh gia sau:
||T'(x,)||<||A-^||||(t)Xxi) II < q i < l , v 6 i m o i X ] e W. Hidn nhien W la tap con đng, ngoai ra vdri moi co,a>' e W ta cd:
l|T(co)-T(có)||<J||T(co*+t(co-có))|| ||o3-có||dt < qi||ca-co"||
0
va ||T(0)|| = ||A-' <t.(0) II < IIA-' || ||4,(0)|| = (1- q,) R Mat khac vdri moi co e S (o , R)
||T(co)||<||T(0)||+||T((D)-T(0)||<R,
Vi T (co) e ImA*A nen T : W -> W, ngoai ra T la anh xa cọ Theo dinh ly Banach phuang trinh (2.2 ) ed nghiem duy nhat.
Tirđ suy ra (1.1) ed nghiem x* e W c: ImA*A va voi moi ^ e ImA*A
)k ]•{ j k i k ak alt
va ta cd X - ^ e ImA Ạ Ta se chiing minh ImA A c : Im F (x ) F(x ), han nffa ton tai V G H sao cho di^eu kien (BI) dugc thoa man. Ngoai ra ta ciing chiing minh rang néu ^ du gan x , thi chudn cua v cung du nhọ
Dat:
C = A* (t)'(x*) + (t)'*(x*) ( A+ (()'(x*)) Ta CO F*(x*) F(x*) = B + C
Trong đ B = A*A Xet phuong trinh
( B + C ) v - y (2.3) CJ day y = X* - ^ e ImA*Ạ
Ta ed : A* ^\x*) v e ImA* = ImA*A vcd moi v e H
Tu cac dieu kien (a), (c) va x* e W, ta cd
In,(t)'V) c: Im(t)'V) =[Ker(t)'(x*)]^c(KerA)-^=ImA*-ImA* = ImA*A suy ra ImC c= ImA* A
Phuang trinh (2.1) Cd thd bién d6i ve dang.
( I + B"'C) v = B'^y (2.4) Ta cd danh gia ( Vi y, Cv e ImA*A).
||(A*A)-^|| =||B-^|| = | | A ' V A - V | | < | | A - ' f - -
va ||C|| <||A*|||| i^\x) 11 + 11 f V ) ||(||A|| + || ^\x)\\)< mx) |1(2||A|K|| ^\x)\\ )
||B-^C|| < ||B-^||||C|| < ||(t)Xx*)||||A-^||(2||A|| IIA-'II + mx)\\ ||Á'||)
<q,(2|lA|| | | A - ^ | | + q , ) < i
Tu bát dang thii-c nay suy ra I + B"'C cd nghich dao gidri noị Phuong trinh (2.4) cd thd viét. V = (I + B ' C ) " ' B'^y
Tur day suy ra, néu || y || = | U - x* || nho thi || v || cung nho . Dinh ly dugc chiing minh.[] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
He qua 2.1: Gia sir ImA ImA* - đng , G : H ^ H la anh xa phi tuyén, kha vi lien
tuc cd cac tinh chat sau: a ) G : ImA-> ImA
b ) V y e I m A ; || G'(y)|| < qi ( || A|| ||A-'||)-^ O day qi xac dinh nhu dinh ly 2.1. Khi đ phuong trinh
Ax + G(Ax ) = 0
Cd nghiem x* e ImA* va voi V ^ e ImA* du gan x*, dieu kien cáu tnic ( B];b)
dugc thoa man.
Chiing minh: Tu ^\x) = G'(Ax)A, suy ra Ker A e Ker ^\x) d day (t)(x) =: G(Ax)
Ngoai ra <t>(H) c G(ImA) c ImA Cuói cung ta cd danh giạ
V x e H : | | ( | ) ' ( x ) | | < | | G ' ( A x ) | | 1| A|| < q, || A ' I I '
vay he qua duac suy ra tnrc tiS'p ttr djnh ly 2.1.
He qua duoc chung minh[] _^ Vi du : Gia sir H = U[-l,U va F(x) = Ax + e (t)(x).
3 1
d day Ax (t) = x(t) I ( St + S-P) x(s) ds
2 -'
(f)(x) = ( p i ||x||^ + <Cp2,X>(p3 + (p4
cho trudrc (vi du cpi (t) = t^')
, De dang tháy A = A*, KerA= Span {t}va ImA= Ho Vai V y e ImAta cd
15 1