5. Thiết kế bộ lọc IIR với một độ trễ nhóm quy định
5.1.1 Thời gian trễ
Trong xử lý tín hiệu độ trễ nhóm là thước đo thời gian trễ biên độ của các thành phần hình sin khác nhau của tín hiệu khi truyền qua bộ lọc và là hàm theo tần số của mỗi thành phần. Trễ pha cũng tương tự là thời gian trễ của pha thay vì trễ biên độ của mỗi thành phần hình sin.
Tất cả các thành phần tần số của tín hiệu bị trễ khi truyền qua một thiết bị như bộ khuếch đại, loa hoặc truyền thông qua không gian hay một phương tiện khác. Tín hiệu có tần số khác nhau sẽ có độ trễ khác nhau trừ khi tín hiệu này có thuộc tính pha tuyến tính. Kết quả của trễ là tín hiệu của nhiều thành phần tần số sẽ bị biến dạng vì các thành phần này sẽ có một khoảng thời gian trễ khác nhau tại đầu ra của thiết bị. Điều này thay đổi hình dạng của tín hiệu. Ảnh hưởng của việc trễ lớn sẽ gây ra các vấn đề như âm thanh có độ trung thực thấp hoặc sự can thiệp của nhiễu ISI trong giải điều chế tín hiệu.
Độ trễ nhóm được tính bằng cách phân biệt đối với các đáp ứng tần số, đáp ứng pha so với tần số của thiết bị theo thử nghiệm. Độ trễ nhóm là thước đo độ dốc của của
đáp ứng pha tại tần số nhất định. Biến dạng trong trễ nhóm là nguyên nhân gây ra méo tín hiệu, cũng như sự lệch pha tuyến tính gây ra biến dạng.
Trong lý thuyết hệ thống LTI, hệ thống xử lý tín hiệu, mối quan hệ giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra được biểu diễn bởi hoạt động chập:
Hay trong miền tần số Trong đó
Và
.
Ở đây h(t) là miền thời gian đáp ứng xung của hệ thống LTI và X(s), Y(s), H(s) là hàm Laplace của tín hiệu vào x(t), tín hiệu ra y(t) và đáp ứng xung h(t) tương ứng H(s) được gọi là hàm truyền của hệ thống LTI, cũng như đáp ứng xung, h(t) hoàn toàn xác định các đặc điểm đầu vào, đầu ra của hệ thống LTI
Khi một hệ thống được điều khiển bởi một tín hiệu bán hình sin
Đầu ra của hệ thống LTI gần xấp xỉ
và , là trễ nhóm và trễ pha tương ứng, bằng biểu thức dưới đây ( và là hàm theo tần số góc ω). Trong hệ thống pha tuyến tính cả và là không đổi và bằng độ trễ của toàn hệ thống và sự dịch pha là giảm sự tăng biên độ của hệ thống tuyến tính với tần số ω
Có thể biểu diễn hệ thống LTI với hàng truyền H(s) được điều khiển bởi hình sin phức biên độ đơn vị:
Tín hiệu đầu ra là
Trong đó dịch pha là
Ngoài ra, điều này chỉ ra rằng độ trễ nhóm , và trễ pha, , liên quan đến độ dịch pha :
.
Như vậy có thể kết luận rằng bộ lọc IIR không thể có độ trễ nhóm giống nhau. Điều này có nghĩa là các thành phần tần số khác nhau của tín hiệu đầu vào đến đầu ra bộ lọc vào các thời điểm khác nhau. Do đó, việc khôi phục các tín hiệu từ các chuỗi đầu ra bộ lọc sẽ dẫn đến một tín hiệu méo mó.
Vấn đề này có thể được khắc phục bằng hai kỹ thuật:
- Sử dụng của một mạng lưới tất cả các pas với các bộ lọc IIR để cân bằng độ trễ nhóm
- Xác định đáp ứng lọc ban đầu theo đáp ứng biên độ và chậm trễ nhóm và sử dụng các kỹ thuật tối ưu hóa để tìm các hệ số bộ lọc phù hợp.