2.1 Véc tơ thế và bài toán giá trị ban đầu
2.1.2 Xây dựng toán tử L
q u ả sau:
u —b —c
c = b a —d
tr o n g đ ó a ,b ,c ,d là các h ằ n g số th ự c . * J) t h ỏ a m ã n ( l i r D — 0; rotD —0 . * M a t r ậ n / ? 1 = Ị^jỊ:ỉx.3 có các p h ầ n t ử c ủ a nó là các h à m k h ả vi liên tụ c b ấ t kì. * M a t r ậ n B-2, B\<, có dạng: B-1 —b\o — bx1 — ữ.x2 + (ỈX:5 — q òỊị + Q./‘ 1 — b.v2 — bị2 — Ot.ĩ'1 + bx2 4- r.ỉ.-;ị 4- / Ễ>21 — t a'1 — ■ ' Ỉ - 3 - / *>13 ■bị, -b\2 c x1 — d.T2 4- CM’ 3 — e ~^23 -"^23 tó31 ■6?13 ^23 633 6}1 + CXị — d x2 + q.7'3 — e — 6 3 3 — Q X ị + ÒX2 + CX3 4- / Ò3 3 — Ò2'1 — a x 2 4- c h 3 g b\31 a x’ 1 — 6.7’2 6 2 1 CXi — dX2 ở dó ò]3, Ò9 3. 6 3 3 là các h à m h a i lầ n k h ả v i liê n tụ c , Q, e. f . g là các h ằn g số th ự c bất kỳ. N h ậ n x é t C á c kết q u ả c ú a Đ ịn h lý 1 v à kết q u ả trê n đ ã được mở rộ ng cho các lớp to án tử rộng hơn c ủ a cặ p toán tử L và ] v à đ ã đươc cò n g bố tro n g h a i b ài báo củ a N g u yễ n T h à n h V ă n , Lê C irờ n g v à L ê H ù n g S ơ n .(x e m báo cáo tó m tắ t p hần kết q u ả đ ã công bố tra n g 3.)
2 . 2 P h ư ơ n g p h á p n ử a n h ó m v à á p d ụ n g c h o p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n x u ấ t p h á t t ừ I11Ô h ì n h t o á n h ọ c m ô t ả s ự p h á t t r i e n c ủ a c á c q u ầ n t h e s i n h h ọ c
2 . 2 . 1 C á c p h ư ơ n g t r ì n h s o s á n h t í c h p h â n đ ư ợ c v à k h á i n i ệ m t ư ơ n g đ ư ơ n g t i ệ m c ậ n c ủ a c h ú n g .
T ro n g p h ầ n tic p theo chún g ta sẽ sử (lụ ng phương p h á p so sá n h để n g h iê n cứ u tín h tín h chất n g h iệ m c ủ a b ài toán với g iá trị ban đ ầ u d ạ n g
A P E )
i f ( M ) + § Ỉ ( M ) + / í ( a ) / ( M ) = 0 VỚI a . t > 0
/ ( 0 . t) = /q50 0 ( a ) f {0 , t ) d a với t > 0
/ ( a ,0 ) = / o ( a ) với a > 0
B à i to á n n à y có th ể đưa về v iệ c n g h iê n cứu d áng đ iệ u tiệ m cận c ủ a các phư ơng t r ìn h v i p h â n trừ u tượng sau đ â y
G i ả sử X là k h ô n g gian B a n a c h , xét các phương trìn h tiế n h ó a sau:
dx{t) d t d y ( t ) = A i { t ) x { t ) với t > 0 (2 .2 0) A 2{ t ) y ( t ) với t > 0 (2 .2 1 ) d t ở đ â y x ( . ) , y ( . ) € X , A \ ( t ) và A2(f) ; (t G M+ ) là các toán tử tu yến tín h t ừ X vào X . C h ú n g t a giả t h i ế t rằ n g A\ ( t ) v à Á2{t) t h ỏ a m ã n các
điều kiện để (2.20) và (2.21) là đặt chỉnh (xem [4], [5], [6]). Chú ý rằng
kết q u ả n à y có t h ể ứng d ụ n g t r o n g việc n g h iê n c ứ u m ô h ìn h d â n số p h ụ th u ộ c vào tu ổ i và được tr ìn h b à y tro n g [?]. T iế p theo ta xét các phương
trinh (2.20) và (2.21), trong đó B( ị ) = A\ ( t ) — Ả2(t), th ỏ a mãn điều kiện
/ ? ( . ) : [0, + o c ) —> C( X) là liên t ụ c m ạ n h t h ỏ a m ã n đ iề u kiện
\ B{t )\\ (ỉt < +OC (2 .2 2 )
'0
T ừ n a y về sau . nếu khô ng có gi th a y đổ i ta g iả th iế t điều kiện (2 .2 2 ) luôn luôn được th ỏ a m ã n , k h i đó các phương trìn h v i p h ân (2 .2 0) v à (2 .2 1)
í lược gọi là so s á n h tích p h â n đư ợ c. C h ú n g tôi x in n h ắ c lai r ằ n g /? (.) : ịo. I o c ) —> £ { X ) là liên tụ c m ạ n h t h ỏ a m ã n đ iều kiện
[ \ \ B (t ) \ \ (ỉ < 4-00
J 0
G iả sứ (ư(t , s)) t >s> 0 là họ các t o á n t ử tiế n h ó a liên tụ c m ạ n h t r o n g X .
C h ú n g tôi x in n h ắc lạ i rằn g họ to án tử tiế n hóa c ủ a b à i to án C a u c h y đặt chinh đ ề u (x e m [4], t r a n g 478 ) có các t í n h c h ấ t s a u
ì . ư( t . t ) = I với mọi ị > 0
2 . ư ( t , s ) . ư ( s, r ) = ư ( t . T) v ớ i m ọ i t > s > T > 0
3. Á n h x ạ (t . s ) —» U ( t , s ) x là liê n tụ c m ạn h đối với m ỗi X G X .
4. IIu ( t , s ) | | ^ với các h ằ n g số d ư ơ n g N, UI đ ộ c lậ p với t > s > 0. Ký h iệ u s))t>3> 0 và (Ư2(t, s))t>s>0 lần lượt là họ các to á n t ử tiế n hóa tư ơ n g ứ n g với p h ư ơ n g t r ì n h (2 .2 0) và ( ? ? ) .
K h i đó m ố i q u a n hệ g iữ a chúng có thể x á c đ ịn h bởi phương trìn h
u 2ị t , s ) = ư ] ( t , s ) + Ị Ux(t.s) B (t)<1t (2.23) tro n g đ ó t > s > 0. T ư ơ n g t ự n h ư tr o n g các c ô ng t r ì n h [3, 7] t a có đ ịn h n g h ĩa sau
D ịn h n g h ĩa 4. Họ các toán tử tiến hóa s))t>s và {ư‘2{t,s))t>s đuợc
gọi là tương đương tiệm cận nếu VỚI mỗi X £ X tồn tại y £ X và ngược
lại sao cho:
lim \ \ U i { t , t o ) x - u 2( t , t ữ ) y \ \ = 0 í—>00
đồi VỚI tị) G cố định.
T ro n g trường hợp đ ặc b iệt nhó m các to án tử tu yế n tín h p hụ th u ộ c m ột th am số giớ i n ộ i đều (xem [3, 4, 10]) cho ta các v í dụ vồ các to án tử tiế n hoa song ổn đ ịn h
M ệ n h đ ề 4. Giả sử II là không g ia n H ilbert, m à trong / / có thê x á c đ ịn h tích vô hướng ( x , y ) w = ( \ Y z , y ) . K h i dó n ếu toán tử A] { t ) là \ v - p h ả n
ỊI c emit (W-skew - Hermitian), tức In
(Ai(t.)x. y)\\- = - ( x , A\(t)y)[ự
Thì các phương trình so sánh được tích phàn (1) và (2) là tương đương
tiệm cận.
2. 2 . 2 v ề t í n h s o n g ổ n đ ị n h c ủ a n ử a n h ó m l i ê n t ụ c m ạ n h v à c á c đ i ề u k i ệ n
đ ủ c ủ a sự tư ơ n g đương tiệ m cận
T r o n g trư ờ n g h ợ p đ ặ c b iệ t k hi A\ ( t ) là to á n t ử tu y ế n t í n h h ằ n g tro n g k h ô n g g ia n B a n a c h X , t a sẽ n g h iê n cứu b à i to á n về sự tư ơ n g đư ơ n g tiệ m c ậ n c ủ a nửa nhóm liê n tụ c m ạ n h v à họ các toán tử tiế n h ó a n hư sau:
G i ả sử {T(t))t> 0 là n ử a n h ó m liên tụ c m ạ n h (C o -n ử a n h ó m ) sinh bởi t o á n t ử tu y ế n t í n h (A, D( A) ) t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h X . C ù n g với n ử a n h ó m {T(t.))t> 0 t a x é t h ọ to á n t ử tiế n h ó a {Ư(t, s))t>s>0 đ ư ợ c xác đ ịn h n hư sau
U( t . s ) = T ( t . - s ) + J T( t - t) B (t)ư(t, s ) d r (2.24)
Đ ị n h n g h ĩa 5. Co - nửa nhóm {T(t))t> 0 và họ các toán tử tiến hóa
{U(t, s))t>3> 0 được gọi là tương dương tiệm cận nếu VỚI mỗi X € X , tồn
tại ỵ E X sao cho:
lim \ \T(t — ỉq)x — Ư(t. to)y\\ —0
t—*x
và ngược lại đối với to € cố định.
D ị n h n g h ĩa 6 . Cũ-nủa nhóm ( T( t )) t> 0 dược gọi là song ổn định trong
không gian Banach X nếu tồn tại 10 > 0 sao cho T(tị)) : X —> X là khả
nqhich và tồn tại chuẩn mới (lll-lll) tương đương VỚI chuẩn xuất phát sao
cho | | | T ( í o ) | | | = | | | r _1(ío ) ||| = 1-
Đ ị n h lý 3. Giả sứ (T(t ) )i> 0 là Co-nửa nhóm sinh bởi (A, D( A) ) trong
a)(T{t))t>n là song ôn định.
b) 0 có thể thác tr iê n thành nhóm giới nội trong X .
c)( T ( t))<>() có thê thác triên thành nhóm đẳng cự ( T ( / ) ) íe R trong không ( J ĩ ( i n Banac h có chuẩn tương dương V Ớ I chuắn x uấ t phát.
(i) Với m ọ i X G K \ { 0 } , ta có X £ />(A) và tồn tại M > 1 sao cho
B ổ d ề 2 . G iả s ử B { . ) : X —> X thỏa m à n điều kiện (2. 22) , { T ( t ) ) t> 0 là c \ )-nửa n h ó m trong không g ian Hilbert X và p : X —>■ X là phép chiếu trực giao trong X , giao hoán với T ự ) thỏa m ã n các điều kiện
n) ( T ( f) ) < > 0 là nứa nhóm con ổn đinh mũ.
b) ( T ị t )(ĩ — P ) ) t> 0 là nứ a n h ó m con song ổn định.
K h i đó tồn tại to e R + sao cho ánh xạ F : X —> X xác định bởi
D i n h lý 4. Giá sử (T( t ) ) t> 0 là một nứa nhóm giới nội đều sinh bởi A E
C( X ) thỏa mãn các điều kiện a) và b) của bô đề 3. Khi đó {T(t))t> 0 và
( Ư ( t , s ) ) t > s là tương đương t i ệ m cận.
2 . 2 . 3 v ề t í n h c h ấ t n g h i ệ m c ù a b à i t o á n d â n s ố p h ụ t h u ộ c v à o t u ổ i .
C h ú n g ta xét m ột tậ p hợp gồm các cá thể được p h ân b iệt bởi k íc h thước c ủ a chúng theo m ột q u y ước náo đó ch ẳng h ạn được p h â n c h ia theo lứa tu ố i . N h ư v ậy c h ú n g t a có t h ể m ô t ả d à n số c ủ a m ộ t n h ó m c ủ a q u ầ n th ể đ a n g x ét tạ i th ờ i đ iể m t bởi số n g u y ê n nịt, s) đối với n h ữ n g c á t h ể có kích
c ỡ ( t u ổ i ) b ằ n g s . C h ín h x á c hơn,
|[A7?(A, ,4) ]n 11 < M với m ọ i n E N.
là ánh xạ t u y ế n tính giới nội và thỏa m ã n điều kiện
là số lượng các cá thể ở thờ i đicrn t .có k ích thước .S n ằm giữ a ,S] v à s-2-
C h ú n g ta g iả sử rằn g theo thời g ia n trô i đ i, các q u y trìn h được m ô tả luôn tuân theo các q u y lu ậ t sau:
* s ố lượng c ủ a m ỗi m ột nhóm các cá thể p h át triể n tu yế n tín h theo thời gian .
* s ố lượng các cá thể b ị chết với x á c suất p hụ th u ộ c vào k íc h cỡ củ a nó. * s ố lượng cá thể được sin h ra với x ác su ấ t p hụ th u ộ c vào k íc h cỡ c ủ a nó. * T ồ n tạ i m ột cá thể có k íc h cỡ nhỏ n h ấ t s = a > 0 k h i m ới sin h ra .
B à i t o á n C a u c h y
D ự a vào các g iả đ ịn h trên v à theo các q u y lu ậ t câ n b ằn g củ a sin h trưởng ch ún g ta sẽ n h ậ n được phương trìn h đạo h à m riê n g với g iá t r i ban đ ầ u cho trước sa u đ â y .
( APE)
+ § £ ( a , t) + / i ( a ) / ( M ) = 0 với a , t > 0
/ (0 , t) = J0° ° / 3 ( a ) / ( 0 , t)da với t > 0 / ( « , 0) = / o ( a ) với a > 0
tro n g đó t v à a là các b iế n thực khô n g ân tương ứng vó i các đ ạ i lượng thờ i g ia n v à tu ổ i c ủ a các cá thể. f(.,t) m ô tả cấu trú c tu ổ i c ủ a q u ần thể ở thời điểm t và /o là g iá trị ban đ ầ u c ủ a c ấ u t r ú c tu ổ i ở th ờ i đ iể m t = 0 . Ngoài ra ịi v à 13 là cá c h àm giới nội, do được n h â n g iá t r ị dương m ô tả t ỉ lệ sin h và t ỉ lệ chết. D ể đ ư a b à i t o á n ( A P E ) về bài t o á n C a u c h y t r ừ u tư ợ n g c h ú n g t a xét k h ô n g g ia n B a n a c h X : = L l (TZ+) và to á n t ử đ ó n g t r ù m ậ t A m (x e m [?] tra n g 216 )đ ư ợ c x ác đ ịn h bới: A f : = - / ' - / < / , / e D(A,n) : = i r u ( R +) T i ế p th e o c h ú n g t a xác đ ịn h t o á n t ử h ạ n chế c ủ a A m n h ư sau: . 4 / := A mf . D( A) = { / e D ( A m) : / ( ũ ) = r 3( „) f ( a}da} (2.26) ./()
N h ư v ậ y th a y cho b ài toán ( A P E ) ch ún g ta sẽ xét b ài toán C a u c h y trừ u tượng. Í ù(t) = A v ịt ) với t > 0 u{ 0) = /o \'ới u (t) : = f(.,t). A p d ụ n g Đ ịn h lí về toán tử s in h c ủ a nử a nhó m liê n tụ c m ạ n h ( Đ ịn h lí ■l, tra n g 9. C h ư ơ n g I), ta có th ể c h ỉ ra rằn g ( A ,D ( A ) ) là toán tử s in h c ủ a nứ a n h ó m liê n tụ c m ạn h T ( t ) t> 0 tro n g X (ta sẽ gọi là nửa nhó m d â n số). T ro n g trường hợp này, n gh iệm d u y n h ấ t c ủ a ( A P E ) được cho bởi f(a ,t) : = ( T ( t) f o ) ( a ) .
A ĩ ệ n h đề 5 . Toán tử (A, D( A) ) tạo ra một nứa nhóm liên tục mạnh
( T ( t ) ) t>0 trên B, và bài toán C a u c h y trừu tượng ( A C P ) ở trên được chỉnh.
M ệ n h d ề 6. N ử a n h ó m { T ( t ) ) t >0 là liê n tụ c c h u ẩ n tắc cu ố i cù n g và co m p a ct cu ố i cù ng n hỏ gọn với t > 1 — 77.
T iế p theo cù n g với b ài toán C a u c h y ( A P E ) chúng ta xét b ài toán C a u c h y b ị n h iễ u sau đ âv:
+ /'■ ( « ) /( « ’ *) = a (0 / ( M ) với a, t > 0 (A P E ( p)) < / (0 , t) = J 0°° /3 ( a .) /( a , t)da với t > 0
f {a, 0) = /o(fl) với a > 0
T ro n g đó: Q : 1Z+ —> £ (X ) là t o á n t ử liên tụ c m ạ n h t h ỏ a m ã n đ iề u kiện:
[ | | a ( f ) | | ( i / < + O C .
J0
T ừ b ài toán C a u c h y Í A P E ( p ) ) ch ú n g ta có thể đưa về việc xét phương
Ỉ ii(ị) — u ( 0 ) = /o\A + với t > 0 v ớ i u (t) =
T ư ơ n g ứng với bài t o á n ( C E ( p ) ) c h ú n g t a xét p h ư ơ n g t r ì n h tiế n hóa:
ư{t , s) = T{t - s) + Ị T ự - s) B (t)ư( r , s)(ỈT (2.27)
Á p d ụ n g Đ ịn h lí về s ự tư ơ n g d ư ơ n g tiệ m c ậ n c ủ a h ọ to á n t ử tiế n h ó a t a c ó m ệ n h đề sau:
M ệ n h đ ề 7. Giả sứ T(t )t>0 là nửa nhóm sinh bởi (A,D (A)), trong đó Ả
được xác định bởi (2 .2 0) và U(t, s)t>s là họ các toán tử tiến hóa dược xác
đ ị n h bởi ( 2 . 2 1 ) . K h i đó các m ệ n h d ề s a u đ â y là lu ôn luôn đúng:
a) Nếu T( t ) t> 0 là nửa nhóm liên tục giới nội đều thì U(t.,s)ị> 0 là giới
nội đều.
b) Nếu T( t ) t> 0 là ổn định mũ thì U( t , s ) t> 0 là ổn định mũ.
c) Nếu T( t ) t> 0 là song ổn định thì T( t ) t> 0 và Ư( t , s ) t>0 là tương đương tiệm cận
N h ậ n x é t 1. Mệnh đề trên chỉ ra cho chúng ta bức tranh về dáng diệu
tiệm cận của các nghiệm cô điển của bài tóa Cauchy (CE) bị nhiễu. Từ
đó ta s u y ra rằng nếu khi m ộ t n h ó m dân số nàữ đó của quần t h ể ỉà song ổn đinh (tức là ổn định cả trong tương lai lẫn quá khứ) thì nó trở n ê n bên vững khi có nhiễu loan nhỏ.
K ế t l u ậ n
Á p d ụ n g các p h ư ơ n g p h á p c ủ a t o á n t ử t u y ế n t í n h vào việc n g h iê n cứu b à i t o á n g iá trị b a n đ ầ u là m ộ t tr o n g n h ữ n g h ư ớ n g n g h iê n cứu q u a n tr ọ n g t r o n g lý t h u y ế t t o á n học. V iệc n g h iê n c ứ u b à i t o á n n à y v ừ a có ý n g h ĩa s â u sắc về m ặ t lý t h u y ế t v ừ a có k h ả n ă n g IĨ1Ở rộ n g p h ạ m vi ứ ng d ụ n g cho n h iề u m ô h ìn h hệ đ ộ n g lực t r o n g k h o a học kĩ t h u ậ t .
T r o n g k h i th ự c h iệ n đ ề tà i n à y c h ú n g tôi đ ã n h ậ n được m ộ t số kết q u ả sau : a) N g h iê n c ứ u lý t h u y ế t t o á n t ử vi p h â n liên kết b ằ n g cách sử d ụ n g lý t h u y ế t c ủ a giải tíc h p h ứ c , x â y d ự n g p h ư ơ n g p h á p giải m ộ t lớp p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m riê n g v à chỉ r a k h ả n ă n g ứ n g d ụ n g c ủ a nó . C ụ th ể hơn c h ú n g tô i đ ã n g h iê n cứu b à i t o á n g iá tr ị b a n đ ầ u d ạ n g :
ở đ â y t là b iế n th ờ i g ia n , X = (X ], J'2i £3) G G c K 3, L là t o á n t ử tu y ế n t í n h b ậ c n h ấ t d ạ n g m a t r ậ n , ự) là véc tơ t h ế cho trư ớ c . K ế t q u ả ch ín h là m ô t ả đ ư ợ c t ấ t các t o á n t ử L d ạ n g
với B k = [6^ 3x3, c = [ci j ]3x3, D = ị d i , d 2 , ( h ' \ T : s a o cho b ài to á n (2.28). (2.29) là giải đ ư ợ c đối với m ỗi véc tơ t h ế ự>(x) cho trư ớ c . C h ứ n g m in h được đ iề u kiện c ầ n v à đ ủ cho c ặ p t o á n t ử liên h ợ p v à tiế p tụ c m ở rô ng cho m ộ t số lớp t o á n t ứ rộ n g hơn.
(2.28)
u ( x , 0 ) = i p { x ) , (2.29)
3
b) N ghiên ci'ru lý th u y ế t to á n t ử vi p h â n và p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m riê n g t u y ế n tín h . Ưng d ụ n g p h ư ơ n g p h á p n ử a n h ó m đ ể n g hiên cứu tín h c h ấ t n g h iệ m c ủ a m ộ t lớp các p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m riêng c ấ p m ộ t và m ờ ra k h ả n ă n g ứ n g d ụ n g cho các m ô h ìn h q u ằ n t h ể sin h học có nhiễu .
T à i l i ệ u t h a m k h ả o
[1] Le C u o n g ,(2 0 1 1 ), I n t e r i o r e s t i m a t e s i n s u p - n o r m f o r g e n e r a l i z e d p o t e n t i a l v e c t o r s . A c c e p te d t o p u b lis h e d in C o m p le x V aria b les a n d E l lip tic E q u a tio n s .
[2] L e H u n g S o n a n d N g u y e n T h a n h V a n . ( 2 0 0 7 ) , D i f f e r e n t i a l A s s o c i a t e d O p e r a t o r s i n a C l i f f o r d A n a l y s i s m i d T h e i r A p p l i c a t i o n s, C o m ple x A na ly sis a n d its A p p lic a tio n s , P r o c e e d in g s of 1 5 th I C F I D C A A , O s a c a M u n ic ip a l U n iv e rs itie s P r e s s V ol.2(2), 325-332(2007).
[3] J u . L. D aleckii a n d M. G. K re in (1 9 7 4) , S t a b i l i t y o f S o l u t i o n s o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s i n B a n a c h S p a c e , A m e r ic a n M a t h e m a t i c a l S o c ie ty
P ro v id e n c e , R h o d e Isla n d .
[4] K .-J . Engel a n d R. N agel (2000), O n e - p a r a m e t t e r S e m i g r o u p s f o r L i n e a r E v o l u t i o n E q u a t i o n s , S p rin g er-V erlag .
[5] K.-.J. Engel a n d R. N a g el (2005), A s h o r t c o u r s e o n o p e r a t o r S e m i g r o u p s , S p r in g e r-V e rla g N ew Y ork B erlin L o n d o n P a r is T o k y o H ong kong B a r c e lo n a H e id e lb e rg M ila n S in g a p o re .
[6] S. G. K re in (1971), L i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n B a n a c h s p a c e ,
A m e ric a n M a t h e m a t i c a l society, P r o v id e n c e . R h o d e Isla n d 02904. [7] N .L e v in so n , (1946), T h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f s y s t e m s o f l i n e a r d if-
J e r e n t a l e q u a t i o n s A m o r..I.M a th . 63. p. 1-6 .
[8] w . T u tsc h k e , P o t e n t i a l v e c t o r s , d e p e n d i n g o n t i m e, S y m p o s i u m i n T b i li s i, U SSR. (1982) (R u s sia n ) [9] Lc H u n g Son a n d w . T u tsc h k e , F i r s t o r d e r d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r a s s o c i a t e d to t h e C a u c h y - R i e m a n n O p e r a t o r s i n t h e P l a n e , C o m p le x V a ri ables. 48. 797-801 (2003) [10] M. H. S to n e (1932), O n o n e - P a r a m e t e r u n i t a r y g r o u p s i n H i l l b e r t s p a c e , A nn. of M a th . [11] w . T u tsc h k e , S o l u t i o n o f I n i t i a l V a l u e P r o b l e m s i n c l a s s e s o f G e r e r a l- i z e d A n a l y t i c F u n c t i o n s, T e u b n e r Leipzig a n d S p r in g e r V erlag (1989) [ 12] w . T u tsc h k e , A s s o c i a t e d P a r t i a l D i f f e r e n t i a l O p e r a t o r s - A p p l i c a t i o n s to w e l l a n d i l l - p o s e s P r o b l e m s , A b s t r a c t a n d A p p i e d A n a l y s i s , W orld Scientific, S in g a p o re , p 373-383, (2004) [13] w . W a lte r, A n E l e m e n t a r y P r o o f o f t h e C a u c h y- K o w a l e v s k y a T h e o r e m , A m er. M a th . M o nthly, 92, 115-125 (1985)
P H Ụ L Ụ C
1) Minh chứng sản phẩm công bố.
2) Minh chứng sản phẩm đào tạo.
3) Thuyết minh đề cương.
Siouth Asian Journal of Mathematics 2012, Vol. 2 ( 2 ): 82 ~ 87
h t t p : / / w w w .sajm .com nu ISSN 2251-1512 K g H B B r a a
T h e I V P f o r p o t e n t i a l v e c t o r f i e l d
d e p e n d i n g o n t i m e w i t h m o r e g e n e r a l i z e d
g o v e r n i n g r u l e s
Le CƯ0NG®*, Le Hung SON®, Nguyen Thanh VAN®
<D School of Applied Mathematics Hid Informatics, Hanoi University of Science and Technology, Hanoi, Vietnam ®| Faculty of Mathematics, Mechanics and Informatics, Ha Noi University of Science, Vietnam National University E-mail: lecuong-f&miOmail.hut.edu.vn
Rteceived: 1-10-2011; Accepted: 2-11-2012 ‘Corresponding author
T'hU Work was done with the financial aupport from project QG-11-01. The authors would like to express their gratitude to Prof w. Tutschke, TU Graz, Austria for the comments in completing the paper.
A b s t r a c t This paper we discuss the influence of a governing law on a potential vector field, which aJways happens in a natural or technical phenomenon. This research leads us to the following initial value piroblem ( r v p ) of the type du/ỡt =Lu, ti(0 ,.) = Ifi where t is the time variable, Xis space variable belonging t o three - dimensional Euclidean space and L is a linear differential operator of first order (in the matrix - type); <p is the initial potential vector field. In the view of the classical Cauchy - Kovalevskaya theorem, title IVP is solvable provided th at L has analytic coefficients and the initial function is analytic. On the oither hand, the H. Levy example [see 5] shows th at there are equations of the above form w it h infinitely diiffer«ntiable coefficients not having any solutions. The paper in hand describes all linear differential oiperators of the first order L, so th at the rvp is uniquely solvable for every given potential vector field
IfiK
V
K e y W ords initial value problem, assoriated space, interior estimate