U,(P )= Y3,,(r ~)3p r
1.2.3.2. Phan b6hai chi~u t6ng quat
Phan b6 m~t dQ hai chi€u Ii phan b6 m~t dQ khong thay d6i theo huang song song vai tr1;lcdii cua v~t th~, hie d6 p Ii mQt him chi ph1;lthuQc vio hai
thanh ph~n cua m~t ph~ng tQa dQ vuong g6c vai tr1;lcdii cua v~t p(x,y,z) =
p(x,y).
J2tltpL IWL lnf!£ uj 34 q ~L '7{;oa1 r11.JuHL
V(P) = YfP(Q) dv R r
=
yjP(S{HdZ')dS,
yai Strong truong h<;1pnay la thie't di~n ngang cua v~t th€ n6i lIen. Khi a--+oo, ph~n tich phan phia trong chuy€n thanh the' ha'"pd~n Logarit cua thanh v~t th€ yai AY=1, va do d6 the' ha'"pd~n cua phan ph6i hai chi~u du<;1ccho boi~
V(P) = 2y fP(S)log!dS.
s r
(1.50)
Gradient cua (1.50) cho ta truong ha'"pd~n
g(P) = -2y fP(S) ;ds, s r
(1.51)
yai huang vuong g6c vai v~t th€.
.. P(.;A;.y.O) y
/"'"
x
z
Hinh 1.10: Tac d(Jng cua tntCrnghap dt1n t(;tidiim P gay ra bJi m(Jt v(it thi va hr;m.
Deing thlic (1.50) va (1.51) bi€u di~n the' ha'"pd~n Newton va truong ha'"p d~n tuong ling cua ffiQtv~t th€ dai vo h~n, phan b6 ffi~t dQ d~u theo huang song
song vai chi~u dQc cua v~t th€.
Truong ha'"pd~n cling c6 th€ du<;1ccoi nhu phat sinh tit ffiQt lo~i ngu6n d~c bi~t ffiQt v~t th€ hai chi~u ra'"tffiong tuong ling vai ph~n giao nhau cua v~t th€ vai
'£l~L MilL llufe uj 35 g r-tbL 76oiti (](ha,L
m~t ph&ng (x,y) (hlnh 1.11). Truong htp d§:n gay ra bdi m6i thanh ph~n ds cua m~t mong nay la ty l~ voi peS) va ty l~ nghich voi khoang cacho
-~. .. P(x.:>".O)
_\."
Hinh 1.11 Truimg hap ddn cila m(jt wJt thi co phan b6'm(tt d(j hai chi~u
co thi duqc xem nhu phdt sinh tit m(jt lo(li ngubn d(ic bi?t ndm trong m(it phl1ng x,y.
V~t th€ hai chi€u thong thuong thl d€ hlnh dung hon so voi cac v~t th€ ba chi€u. MQt di€u may m~n la cac hi~n tuQng dia chtt, ch&ng h.;m cac sv gay do<;ln
hay xe'p ch6ng len nhau cua cac lOp dtt da, doi khi co th€ duQc xem nhu la mQt d<;lngv~t th€ hai chi€u, va b~ng cach do co th€ lam don gian hoa qua trlnh giai thich va xU'1;'. Trang cac ph~n sail, chung ta se xem xet vi~c tinh loan truong htp d~n cua d<;lngv~t th€ hai chi€u voi thie't di~n ngang da bie't.
1.2.4. Djnh lu~t Gauss cho tru'ong hffp dftn
Xet mQtmi€n R co bien la m~t S. Binh lu~t Gauss phat bi€u dng
"t6ng kh6'i lu(fng trang mi~n la ry If vai thanh phdn phdp tuye'n cila truang hap dlin duqc lay richphan tren baa dong cila mi~n" .
Bi€u nay co th€ duQc suy ra b~ng vi~c ap dt,mg dinh 1;' Divergence cho thanh ph~n phap tuye'n cua truong htp d§:n
fg.~ds = fV.gdv = fV2Udv
S R R
J2LUpL OmL lh-'!£ £Ii 36 g Fdn '7(}oOi ~L
fg.~ds = -4ny fpdv = -4nyMT,
S R
(1.52)
voi MT la t6ng kh6i lu'Qng.H~ thuc nay rung cfip mQtrang buQcquail trQngtrong vi~c giai thich cac dil' li~u cua dia v~t ly ma ta se xem xet trong cac phftn tie"p thea.
MQt ung d\lllg quail trQng cua dinh lu~t Gauss trong dia v~t ly d6 la u'oc hiQng,danh gia t6ng kh6i vu'Qtmue phia du'oi mQt m~t ma thanh phftn phap tuye"n
cua tru'ong ha'p d§n da du'Qebie"t(eh~ng h~n xem Hammer, Laehr [3]). Gia sa
r~ng thanh phftn th~ng dung eua tru'ong hfip d§n gz da du'Qcbie"tlIen b~ m~t n~m ngang Sr. Nhu'da chI ra trang hlnh 1.12, tfit ea cae kh6i lu'Qnggay ra gz du'Qcbaa trong mQtkh6i th€ tich va du'Qcd~t 0 du'oi Sr. Kh6i lu'Qngdu'Qeehua trong m~t S, voi m~t S baa g6m hai phftn la Sp voi ban cftu ban kinh a la SH phftn z>O. Ve" trai cua (1.52) tro thanh
fg.~ds S 21t1t au = - fgzds + f f-r2 sineded~. Sp 02:Or 2 (1.53) Sp I : ~rvfT I z
Hinh 1.12. Ong dl;lng eila djnh lu(it Gauss tlm t6ng khat VU<;ftmue gicJi h{;m. Phep do
lZ;tehlip ddn du<;fethZ;tehi?n tren b~ m(it ndm ngang Sp phia tren tilt cd cae v(it thi..
.£tapL mUL 1Ju,£ uj 37 g P4n 'JIJoidrmum
thuQcvao tinh chfft cua phan b6 do, tuc la t~i khoang cach IOnthl
U(P) = yf~v
R r
~
Y fpdv =yMT
r R r
voi MTla t6ng kh6i luQng.
Noi cach khac, the' hffp d~n cua bfft ky ffiQtphan ph6i kh6i lu(;ingbi ch~n nao cling duQc xeffi nhu Ia ffiQtchfft di~ffi ne'u xet khoang cach du xa. Do do, khi
h' 2au '
h';>d ' .d"" '
h h" (1 53) ' ,
a~oo t 1 r - co t e ua ra ngoal au tIc p an trong . va ta co
Or fg.~.ds = - fgzds S Sp 1t 2nyMT fsin8d8 1t 2 =