Luận văn đã chứng minh các bất đẳng thức: AM-GM, Nesbit, Schur bằng phương pháp dồn biến.
Luận văn đã đưa ra các kĩ thuật thường được sử dụng trong phương pháp: biến đổi đại số, sử dụng hàm số, sử dụng dãy số. Trong từng phần đều đưa ra hệ thống các ví dụ minh họa cho phương pháp và qua đó hình thành nên kĩ năng sử dụng phương pháp này.
Chương 3: Phương pháp tiếp tuyến
Chứng minh các bất đẳng thức: AM-GM, Nesbit, Bernouli, Jensen, Cauchy- Schwarz, Holder, Karamata, Fuchs, Petrovic bằng sử dụng hàm số.
Chứng minh các bài toán bất đẳng thức bằng sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến, bất đẳng thức cát tuyến khi hàm số lồi hoặc lõm trên miền xác định, vận dụng tiếp tuyến, cát tuyến khi hàm không lồi hoặc lõm trên miền xác định.
Chương 4: Kết quả và ứng dụng
Kết quả 1: Cho n hàm fk là các hàm lồi và khả vi trên khoảng I chứa các bộ số {ck}n
k=1 và {xk}n
k=1 thỏa mãn
f10(c1) =f20(c2) =...=fn0(cn)
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
f1(x1) +f2(x2) +...+fn(xn)≥f1(c1) +f2(c2) +...+fn(cn).
Kết quả 2:Cho n hàm gk(x) là các hàm lồi và khả vi trên I, các bộ số {ck}n k=1 và {xk}nk=1 là các phần tử của I với gk0(ck)>0và x1+x2+...+xn =c1+c2+...+cn. Khi đó ta có bất đẳng thức sau g1(x1) g01(c1) + g2(x2) g20(c2) +...+ gn(xn) gn0(cn) ≥ g1(c1) g01(c1) + g2(c2) g02(c2)+...+ gn(cn) gn0(cn).
Kết quả 3: Cho n hàm lồi f1(x), f2(x), ..., fn(x) trên [a,b] khi đó nếu biểu thức
F(x1, x2, ..., xn) = f1(x) +f2(x) +...+fn(x) với các biến x1, x2, ..., xn ∈ [a, b] thỏa mãn x1 +x2+...+xn = C đạt giá trị lớn nhất tại bộ {ck}nk=1 thì có không quá một số ck ∈(a, b).
Đồng thời cũng dẫn ra các ví dụ là các bài toán trong các kì thi toán quốc tế, quốc gia và kì thi tuyển sinh đại học sử dụng các kết quả này để chứng minh. Đưa ra một số các bài toán ở các kì thi đã từng được biết được sáng tạo dựa theo các kết quả này và sáng tạo một số các bài toán mới. Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng các kết quả 1,2 trong chứng minh bất đẳng thức cùng với các kĩ thuật chuyển hóa các bài toán để sử dụng được các kết quả này. Sáng tạo các bài toán mới dựa theo các kết quả trên đồng thời nghiên cứu cách chuyển chứng minh dựa theo những kết quả này để tìm ra cách chứng minh bằng phương pháp khác và sáng tạo nên những bài toán khó.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu(Chủ biên), Bất đẳng thức và một số vấn đề liên quan(Tài liệu dùng cho lớp bồi dưỡng giáo viên THPT-Hè 2005).
[2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức -Định lí và ứng dụng, NXB Giáo Dục.
[3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2008), Nhập môn giải tích lồi và ứng dụng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[4] Phạm Kim Hùng(2011), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội. [5] Đề thi Olympic Toán học quốc tế, 1965-2005.
[6] Đề thi Toán toàn quốc, 1996-2005. [7] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ. [8] Tập đề thi Olympiad 30-4. [9] Tập đề thi Việt Nam -TST.
[10] Tuyển tập đề thi tuyển sinh Đại học -Cao đẳng .
[11] Thư viện trực tuyến ViOLET
[12] www.diendantoanhoc.net. [13] www.mathlinks.ro.
[14] Ivan Matics, Classical Inequalities-Theorem and Techniques. [15] Old-and-new-inequality.