2 MËT SÈ PH×ÌNG PHP GII CÌ BN
2.2.1 Ph÷ìng ph¡p h m ph¤t iºm trong
H m ph¤t iºm trong th÷íng dòng khi bi¸t tr÷îc mët iºm x0 ∈ intD. Ng÷íi ta x¥y düng mët h m ph¤t sao cho nâ x¡c ành v húu h¤n trong mi·n intD, nh÷ng g¦n ¸n bi¶n cõa D nâ s³ ti¸n tîi+∞(bà ph¤t n°ng). Cö thº, ta gi£ thi¸t h m p thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:
(a) li¶n töc tr¶n tªp D0 := {x ∈ Rn : gj (x) < 0, ∀j = 1, ..., m}.
(b) Vîi måi d¢y
xk ⊂ D0 hëi tö ¸n mët iºm x ∈/ D0 ta câ limp xk = +∞.
Hai h m ph¤t iºm trong ÷ñc sû döng nhi·u, do Fiacco v Mcormick ÷a ra l p(x) = − m X j=1 ln (−gj(x)), ho°c p(x) = − m X j=1 1 gj(x).
Cho s(t) l h m sè mët bi¸n, câ mi·n x¡c ành v mi·n gi¡ trà l c¡c sè d÷ìng, ngo i ra cán thäa m¢n t½nh ch§t.
(i) s li¶n töc v s(t) →0 khi t →+∞ .
(ii) s(t) > s(t0) vîi måi t0 > t > 0 (ìn i»u gi£m). X¥y düng b i to¡n ph¤t b¬ng c¡ch °t
F (x, t) := f (x) + s(t)p(x). (25) Vîi méi t > 0, x²t b i to¡n phö khæng i·u ki»n:
min{F (x, t) : x ∈ Rn} ≡ min F (x, t) : x ∈ D0. (Bt) M»nh · 2.8. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (a), (b), v (i), (ii) thäa m¢n, v c¡c b i to¡n (Bt) câ nghi»m vîi måi t > 0. Khi â n¸u 0 < t1 < t2 v xi
l nghi»m cõa (Bt) (i=1,2), th¼ (1) p x1 ≤ p x2;
(2) f x1 ≥ f x2.
Chùng minh. Gåi líi gi£i cõa(Bti)l xi. º ìn gi£n kþ hi»u, °ts(ti) =
si, p xi = pi, f xi = fi (i = 1,2). Khi â
f2 + s2p2 ≤ f1 + s2p1. (27) Cëng hai b§t ¯ng thùc v ÷îc l÷ñc, ta câ
s1p1 + s2p2 ≤ s1p2 + s2p1.
Chuyºn v· v nhâm l¤i , ta ÷ñc
(s1 − s2) (p1 − p2) ≤ 0.
Do t1 < t2 n¶n s1 > s2, do â p1 ≤ p2. Tø ¥y v (27) ta suy ra
f1 ≥ f2.
ành lþ 2.9. N¸u d¢y {tk} ìn i»u t«ng d¦n ¸n +∞ v xk l nghi»m cõa (Btk) th¼ d¢y sè
f xk hëi tö gi£m ¸n f∗ (trà tèi ÷u). Ngo i ra måi iºm tö cõa d¢y
xk ·u l nghi»m cõa (P). Chùng minh. Theo (P) d¢y
f xk ìn i»u gi£m. Do â d¢y n y hëi tö. Tr÷îc h¸t gi£ sû r¬ng b i to¡n câ mët líi gi£i x∗ ∈ D0. Do xk l nghi»m cõa b i to¡n (Btk) n¶n
f xk + s(tk)p xk ≤ f (x∗) + s(tk)p(x∗). (28) Do D l compact, ta câ thº gi£ sû r¬ng, n¸u c¦n qua d¢y con, d¢y
xk
hëi tö ¸n u∗ n o â.
N¸u u∗ ∈ D0 th¼ qua giîi h¤n, chó þ r¬ng s(tk) → 0 v p(x∗), p(u∗) húu h¤n ta câ ngay f (u∗) ≤ f (x∗). Vªy u∗ l nghi»m. Do t½nh ìn i»u suy ra to n bë d¢y
f xk hëi tö ¸n trà tèi ÷u f∗.
N¸u u∗ ∈/ D0 th¼ theo (b) tçn t¤i mët ch¿ sè K1 sao cho s(tk)p xk ≥
0 vîi måi k ≥ K1. Khi â theo (28) câ f xk ≤ f (x∗) + s(tk)p(x∗) vîi måi k ≥ K1. Qua giîi h¤n câ
lim
k f xk ≤ f (x∗).
Th¸ nh÷ng do xk ∈ D n¶n f xk ≥ f (x∗). Vªy lim
k f xk = f (x∗). B¥y gií x²t tr÷íng hñp b i to¡n khæng câ nghi»m thuëc D0. Gåi β = lim
k f xk. Giîi h¤n tçn t¤i v¼ d¢y n y ìn i»u. Ta câf∗ ≤ β, dof xk ≥
f∗ vîi måi k. N¸u f∗ ≤ β do t½nh li¶n töc cõa f tr¶n D, tçn t¤i u ∈ D0
sao cho f∗ < f (u) < β. Tø b§t ¯ng thùc
Lªp luªn nh÷ tr¶n, suy ra tçn t¤i ch¿ sè K1 sao cho f xk ≤ f (u) vîi måi k ≥ K1. M¥u thu¨n vîi vi»c f xk ≥ β > f (u) vîi måi k. Vªy
β = f (x∗).
Theo ành lþ n y, º gi£i b i to¡n câ r ng buëc (P), ta chån mët d¢y sè d÷ìng {tk} t«ng d¦n ¸n +∞ v gi£i mët d¢y c¡c b i to¡n khæng i·u ki»n (Btk).
V½ dö 2.10. X²t b i to¡n
minf (x) = x1 − 2x2,
vîi i·u ki»n:
g1(x) = −1 −x1 + x22 ≤ 0, g2(x) = −x2 ≤ 0.
B i gi£i
Ta chån h m chn câ d¤ng
p(x) =−ln [−g1(x)] + ln [−g2(x)] = −ln 1 +x1 −x22−ln (x2).
Khi â h m möc ti¶u cõa c¡c b i to¡n khæng r ng buëc t÷ìng ùng l
Ft(x) =x1 −2x2 −tln 1 +x1 −x22−tln (x2),
trong â t l tham sè chn, d÷ìng v gi£m ìn i»u v· 0. Vîi méi tham sè t cö thº, b i to¡n khæng r ng buëc
min{F (x, t)/x ∈ Rn}.
Câ h m möc ti¶u F (x, t) l h m lçi ch°t theo bi¸n x n¶n nâ câ nghi»m cüc tiºu duy nh§t công ch½nh l iºm døng. Ta câ
Fx10(x, t) = 1− t
1 +x1 −x22, Fx20(x, t) −2 + 2tx2
1 +x1 −x22 − t
x2.
C¡c iºm x = (x1, x2)T thuëc ph¦n trong cõa tªp ch§p nhªn ÷ñc câ 1 +x1 − x22 > 0 v x2 > 0.
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ∇xF (x, t) = 0 ⇔ 1− 1+x1−t x2 2 = 0 −2 + 2tx2 1+x1−x2 2 − xt 2 = 0 Ta nhªn ÷ñc iºm døng x∗(t) = (x∗1(t), x∗2(t))T vîi x∗1(t) = √ 1 + 2t+ 3t−1 2 , x ∗ 2(t) = 1 + √ 1 + 2t 2 . V¼ tham sè t > 0 v gi£m d¦n v· 0 n¶n lim t→0+x∗1(t) = p 1 + 2 (0) + 3 (0)−1 2 = 0, lim t→0+x∗2(t) = 1 + p 1 + 2 (0) 2 = 1.
Ta câ iºm (0,1)T thuëc tªp ch§p nhªn ÷ñc v l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n c¦n gi£i.