Bài toán bù tuyến tính LCP(q, M) có thể qui về qui hoạch toàn phương: min{ϕ(z) =zT(q+M z) : q+M z > 0, z > 0}.
Để ý là ϕ(z) = zT(q+M z) =qTz+1 2z
T(M +MT)z với (M+MT) là ma trận vuông đối xứng. Ký hiệu D = {z ∈ Rn : q+M z > 0, z > 0} là miền ràng buộc của bài toán này. Nếu D 6= 0 thì hàm bậc hai ϕ bị chặn dưới (bởi 0) trên D. Vì thế, theo Định lý Frank - Wolfe ϕ đạt cực tiểu trênD, nghĩa là bài toán bù LCP (q, M) có nghiệm.
Ngược lại, bài toán qui hoạch toàn phương:
min{f(x) = 1
2x
T
Qx+cTx: Ax > b, x> 0}, (QP)
trong đóQ ∈ Sn (ma trận vuông đối xứng cấp n), A ∈ Rm×n, b ∈Rm có thể xem như một bài toán bù.
Thật vậy, theo Định lý 2.3, để véctơx ∈Rn là một nghiệm tối ưu của bài toán (QP) thì điều kiện cần là tìm được các véctơ y ∈ Rm, u ∈ Rn, v ∈ Rm nghiệm đúng u v ! − Q −A T A 0 ! x y ! = c −b ! , (3.13) u v ! > 0, x y ! > 0, u v ! x y ! = 0. (3.14)
Các điều kiện (3.13) - (3.14) là điều kiện KKT của (QP). Thêm vào đó, nếu hàm mục tiêu f(x) của (QP) là hàm lồi, tức là nếu Q là ma trận nửa xác định dương, và nếu x∈ Rn thỏa mãn điều kiện KKT của (QP) thì theo Định lý 2.5, x sẽ là một nghiệm tối ưu của bài toán (QP).
Hệ (3.13), (3.14) chính là bài toán bù tuyến tính LCP (q, M) cấp n+m dạng (3.7) - (3.9) với z = x y ! , w = u v ! , q = c −b ! , M = Q −AT A 0 ! .
Vì thế, có thể giải qui hoạch toàn phương (QP) với hàm mục tiêu lồi bằng cách giải bài toán bù tuyến tính (3.13), (3.14).
Trường hợp riêng khiQ = 0, bài toán (QP) trở thành bài toán qui hoạch tuyến tính dạng (3.10) và hệ điều kiện (3.13) - (3.14) trở thành hệ điều kiện đã xét (3.11) - (3.12).
Ví dụ 3.5. Xét bài toán qui hoạch toàn phương f(x) = 1
2x
T
Qx+cTx= x21+ 4x22−8x1 −16x2 →min
với các điều kiện: −x1−x2 > −5,−x1 > −3, x1 > 0, x2 > 0. Dữ liệu và các biến của bài toán bao gồm
Q = 2 0 0 8 ! , A= −1 −1 −1 0 ! , b= −5 −3 ! , c = −8 −16 ! .
Dễ thấy ma trận Q xác định dương nên hệ điều kiện KKT sau đây là cần và đủ cho nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán:
u1 −2x1 −y1−y2 =−8 u2 −8x2 −y1 =−16 v1 +x1+x2 = 5 v2+x1 = 3 x1, x2, y1, y2, u1, u2, v1, v2 > 0 x1u1 = x2u2 =y1v1 =y2v2 = 0 Đây chính là bài toán bù tuyến tính dạng (3.13) - (3.14):
u1 u2 v1 v2 x1 x2 y1 y2 q
1 0 0 0 -2 0 -1 -1 -8 0 1 0 0 0 -8 -1 0 -16 0 0 1 0 1 1 0 0 5 0 0 0 1 1 0 0 0 3
x1, x2, y1, y2, u1, u2, v1, v2 > 0 x1u1 =x2u2 =y1v1 =y2v2 = 0.
Giải hệ điều kiện KKT nêu trên, tức giải bài toán bù tuyến tính, ta nhận được nghiệm tối ưu của qui hoạch toàn phương là x∗ = (3,2)T với fmin = - 31 (tương ứng với y∗ = (0,2)T và u∗ = v∗ = (0,0)T).
Tóm lại, chương này đã trình bày khái quát về bài toán bù tuyến tính, cách giải bài toán dựa trên khái niệm nón bù và chỉ ra rằng bài toán qui hoạch tuyến tính và qui hoạch toàn phương có thể qui về bài toán bù tuyến tính.
Kết luận
Qui hoạch toàn phương là cầu nối giữa qui hoạch tuyến tính và qui hoạch phi tuyến và là một bộ phận quan trọng của qui hoạch phi tuyến đã được nghiên cứu khá kỹ, đặc biệt là qui hoạch toàn phương lồi. Bài toán qui hoạch toàn phương nói chung và bài toán qui hoạch tuyến tính nói riêng liên quan mật thiết với bài toán bù tuyến tính.
Luận văn đã đã trình bày những nội dung cụ thể sau:
1. Các kiến thức cơ sở và một số kết quả lý thuyết cần thiết về ma trận xác định dương, nửa xác định dương, cách kiểm tra tính xác định của ma trận. Các ma trận xác định dương và nửa xác định dương liên quan chặt chẽ với hàm toàn phương và qui hoạch toàn phương.
2. Một số kết qủa lý thuyết cơ bản về bài toán qui hoạch toàn phương (lồi hay không lồi) và một số ứng dụng của bài toán. Xét sự tồn tại nghiệm (Định lý Frank - Wolfe và Định lý Eaves) và các định lý về điều kiện cần tối ưu KKT cho cực tiểu địa phương và định lý điều kiện đủ tối ưu cho hàm mục tiêu lồi.
3. Nội dung bài toán bù tuyến tính, phương pháp liệt kê giải bài toán bù tuyến tính dựa trên khái niệm nón bù và mối quan hệ giữa qui hoạch tuyến tính và qui hoạch toàn phương với bài toán bù tuyến tính.
Có thể xem luận văn như bước tìm hiểu ban đầu về chủ đề bài toán bù tuyến tính và mối quan hệ của nó với bài toán qui hoạch toàn phương. Tác giả luận văn hy vọng sẽ có dịp được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về lớp bài toán quan trọng này trong lý thuyết tối ưu, đặc biệt là ứng dụng và phương pháp giải bài toán bù tuyến tính và phi tuyến.
Tài liệu tham khảo
[1] T. V. Thiệu, Ng. T. T. Thủy. Giáo trình tối ưu phi tuyến. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011.
[2] R. W. Cottle and G. B. Dantzig. Complementary Pivot Theory of Mathemat- ical Programming. Linear Algebra and its Applications, 1:103-125, 1968. [3] R. W. Cottle, J-S. Pang, and R. E. Stone. The Linear Complementarity
Problem. Academic Press, San Diego, 1992.
[4] B. C. Eaves. On quadratic programming. Management Science, 17 (1971), 698 - 711.
[5] F. Facchinei and J-S. Pang. Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Volume I. Springer-Verlag, 2000.
[6] G. M. Lee, Ng. N. Tam and Ng. D. Yen. Quadratic Programming and Affine Variation Inequalities. Springer New York, 2005.
[7] S. Leyffer. Mathematical Programs with Complementarity Constraints. SIAG/OPT Views-and-News, 14:15–18, 2003.
Luận văn với đề tài:" Qui hoạch toàn phương và bài toán bù tuyến tính" của học viên Hà Thị Minh Trang đã chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp của Hội đồng chấm luận văn họp tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 21 tháng 06 năm 2014.
Thái Nguyên, ngày 24 tháng 6 năm 2014 Người hướng dẫn khoa học
GS.TS Trần Vũ Thiệu