Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
a) Mọi đỉnh của đồ thị G phải có bậc không nhỏ hơn 2
b) Nếu một đỉnh có bậc bằng 2 thì hai cạnh của nó phải nằm trên bất kỳ một chu trình Hamilton của G
c) Nếu một đỉnh có bậc lớn hơn 2 và hai cạnh liền kề của nó nằm trên một chu trình Hamilton thì các cạnh còn lại của nó không nằm trên chu trình Hamilton đó.
Một số điều kiện đủ về sự tồn tại đƣờng đi Hamilton và chu trình Hamilton
Định lý 2.2. (Định lý Rédei) [2] Đồ thị đầy đủ vô hướng Kn với n ≥ 3 là đồ thị Hamilton.
Chứng minh: Chúng ta có thể xây dựng chu trình Hamilton trong Kn
xuất phát từ bất kỳ đỉnh nào. Một chu trình như thế có thể xây dựng bằng cách ghé thăm các đỉnh theo một thứ tự tùy chọn, sao cho đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh, mọi đỉnh đều được ghé thăm đúng một lần. Luôn đúng, vì giữa hai đỉnh bất kỳ của Kn đều có cạnh.
Hình 2.3 Đồ thị K5 có chu trình Hamilton (a→b→c→d→e→a)
Định lý 2.3. (Định lý Dirac [5]): Giả sử G là một đơn đồ thị liên thông có n đỉnh, trong đó n ≥ 3, khi đó G có chu trình Hamilton nếu bậc của mỗi đỉnh ít nhất bằng n/2.
a
e b
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Chứng minh:
Thêm vào đồ thị G k đỉnh mới và nối chúng với tất cả các đỉnh của G. Giả sử k là số nhỏ nhất các đỉnh cần thêm vào để cho đồ thị thu được G’ là đồ thị Hamilton. Ta sẽ chỉ ra rằng k = 0.
Thực vậy, giả sử ngược lại là k > 0.
Ký hiệu v, p, w,..., v là chu trình Hamilton trong G’, trong đó v, w là đỉnh của G còn p là một trong số các đỉnh mới. Khi đó w không kề với v vì nếu ngược lại, ta không cần sử dụng p và điều đó là mâu thuẫn với giả thiết k
nhỏ nhất. Hơn nữa đỉnh (w’ chẳng hạn) kề với w không thể đi liền sau đỉnh v’
(kề với v) vì rằng khi đó có thể thay
v → p→ w → . . . → v’→ w’ → . . . → v
bởi v → v’ → . . . → w → w’ → . . . → v bằng cách đảo ngược đoạn của chu trình nằm giữa w và v’. Từ đó suy ra là số đỉnh của đồ thị G’ không kề với w là không nhỏ hơn số đỉnh kề với v (tức là ít nhất cũng là bằng ), đồng thời số đỉnh của G’ kề với w ít ra là phải bằng . Do không có đỉnh nào của G’ vừa không kề, lại vừa kề với w, cho nên tổng số đỉnh của đồ thị G’
(G’ có n+k đỉnh) không ít hơn n+2k. Mâu thuẫn thu được đã chứng minh định lý. Ví dụ: Hình 2.4. Đồ thị có 8 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ≥ n/2 8 4 7 3 6 5 1 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Hệ quả 2.1. [16]: Nếu G là đơn đồ thị có n (n ≥ 3) đỉnh và mọi đỉnh của G đều có bậc không nhỏ hơn thì G là đồ thị nửa Hamilton (hay G có đường đi Hamiltom).
Định lý 2.4. (Định lý Ore 1960 [2]):
Nếu G là một đơn đồ thị có n đỉnh, với n ≥ 3 sao cho deg(u)+deg(v) ≥ n
với mọi cặp đỉnh không liền kề u và v trong G, khi đó G là đồ thị Hamilton.
Chứng minh: Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Giả sử G thỏa deg(v) + deg(w) n; v,w không liền kề trong G nhưng
G không có chu trình Hamilton. Khi đó ta có thể ghép thêm vào G những cạnh cho đến khi nhận được một đồ thị con H của Kn sao cho H không có chu trình Hamilton, nhưng với mọi cạnh e Kn nhưng e H, ta có (H + e) có chu trình Hamilton. Việc ghép thêm cạnh vào G là hoàn toàn thực hiện được và không ảnh hưởng gì đến điều kiện của giả thiết.
Do H Kn nên tồn tại a, b V sao cho ab H nhưng H + ab có chu trình Hamilton C. Bản thân H không có chu trình Hamilton mà H + ab có chu trình Hamilton ab C. Giả sử ta liệt kê các đỉnh của H trong chu trình C
như sau:
a(=v1) b(=v2) v3 v4... vn-1 vn; 3 i n.
Khi đó, nếu cạnh bvi H, ta có thể kết luận avi-1 H vì nếu cả hai bvi
và avi-1 cùng nằm trong H, ta có chu trình:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Chu trình này nằm trong H, điều này mâu thuẫn vì H không có chu trình Hamilton. Vì vậy, vi (3 i n) chỉ có một trong 2 cạnh: bvi hoặc avi-1
nằm trong H.
Do đó: degH(a) + degH(b) < n. Với degH(a): bậc của a trong H.
Ta có v V: degH(v) degG(v) = deg(v) (vì G là đồ thị con của H)
với cặp đỉnh không liền kề trong G: a, b ta có: deg(a) + deg(b) < n. Điều này mâu thuẫn với giả thiết: deg(v) + deg(w) n; v, w không liền kề.
Vậy, G có chứa chu trình Hamilton.
Định lý 2.5.[16]: Giả sử G là đồ thị có n đỉnh, và S là tập các đỉnh có bậc ít nhất n/2 trong G. nếu |S| ≥ 3, thì G có một chu trình chứa mọi đỉnh của S.
Định lý 2.6. [16]: Cho đồ thị G = (V,E) gồm n ≥ 3 đỉnh,
a) Nếu deg(u) + deg (v) ≥ n, u, v V, thì G có chu trình Hamilton.
b) Nếu deg(u) + deg (v) ≥ n - 1, u, v V, thì G có chu trình Hamilton.
Định lý 2.7. [16]: Giả sử đồ thị G với n ≥ 3 đỉnh và . Khi đó G là Hamilton.