* Phương trình tổng quát của đường thẳng : Ax +By + C = 0 ( A và B khơng đồng thời bằng 0 ) -Vec tơ pháp tuyến : n
=( A ; B) - Vec tơ chỉ phương : a
= ( -B ; A)
- Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) , vec tơ pháp tuyến n
=(A;B) : A(x-x0) +B(y-y0) = 0 . * Phương trình tham số của đường thẳng qua M(x0;y0) , vec tơ chỉ phương a
=(a1;a2) =(a1;a2) 0 1 0 2 ( ) x x a t t R y y a t
* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : cho đường thẳng: Ax +By +C = 0 và điểm M(x0;y0) d(M; 0 0 2 2 ) Ax By C A B
* Gĩc giữa hai đường thẳng :D1: A1x + B1y + C1 = 0 và D2: A2x + B2y + C2 = 0 là 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos . A A B B A B A B Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho A( -1 ; 2 ) , B( 3;1) , C( 0;2) . a. Viết phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC
b. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB của tam giác ABC. Giải :
a. đường cao AH cĩ vec tơ pháp tuyến là BC
=(-3;1) Phương trình đường cao AH là : -3(x+1) +1(y -2) = 0
-3x +y – 5 = 0
b. đường thẳng AB cĩ vec tơ chỉ phương là AB
=(4;-1) nên vec tơ pháp tuyến n
=(1;4)
Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là :1(x+1) +4(y – 2 )=0 x +4y – 7 = 0 Ví dụ 2 :Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng trong các trường hợp sau a. Qua A( 1;3 ) và song song với đường thẳng : 2x +y +3 = 0
b. Qua M( -3 ;4 ) và vuơng gĩc với đường thẳng : 2x + 3y – 6 = 0 Giải :
a.Gọi d là đường thẳng song song với :2x + y +3 = 0 Phương trình đường thẳng d cĩ dạng : 2x + y + C = 0 Đường thẳng d qua A(1;3) nên :2 +3 + C = 0 C = - 5 Vậy phương trình đường thẳng d : 2x + y – 5 = 0
b. Gọi d là đường thẳng vuơng gĩc với :2x + y +3 = 0 Phương trình đường thẳng d cĩ dạng : x - 2y + C = 0 Đường thẳng d qua M(-3;4) nên :-3 - 8 + C = 0 C = 11 Vậy phương trình đường thẳng d : x -2 y +11 = 0
A
O x I
a b
Ví dụ 3 : Viết phương trình đường thẳng qua A( 2 ; 1 ) và tạo với đường thẳng 2x + 3y + 4 = 0 một gĩc bằng 450
Giải :
Gọi d cĩ phương trình: Ax +By + C =0 (A2 +B2 > 0)
d qua A(1;2) nên :A +2B + C = 0 . Do d tạo với :2x+3y +4 = 0 gĩc 450 nên cos450 = 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 13. 13. A B A B A B A B
26(A2 +B2) = 4(2A+3B)2 5A2 – 24AB – 5B2 = 0 Chọn B = 1 Khi đĩ ta cĩ : 5A2
– 24A – 5 = 0 A = 5 , A = -1/5 Với A = 5 , B = 1 thì C = - 7 ta cĩ d : 5x +y – 7 = 0
Với A = -1/5 , B = 1 thì C = -9/5 ta cĩ d : -x + 5y – 9 =0
Ví dụ 4 :Cho hai điểm P(2;5) , Q(5;1) . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đĩ bằng 3 :
Giải : Gọi d cĩ phương trình : Ax +By + C = 0 (A2 +B2 > 0) d qua P(2;5) nên : 2A +5B + C = 0
theo đề bài : d(Q;d) = 3 nên :
2 2 5 3 A B C A B (5A+B+C) 2 =9(A2+B2) mà C = -2A -5B nên ( 3A -4B)2
= 9(A2+B2) -24AB +7B2 = 0 B(-24A +7B)=0 Với B = 0 , A tùy ý ta chọn A = 1 khi đĩ C = -2 ta cĩ phương trình đường thẳng d :x – 2 =0
Với -24A +7B = 0 ta chọn B = 24 thì A = 7 và C = -134 ta cĩ phương trình đường thẳng d : 7x +24y – 134 = 0
Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ phương trình cạnh AB : 5x – 3y + 2 = 0 , các đường cao qua đỉnh A ; B lần lượt là : 4x – 3y + 1 = 0 ; 7x +2y – 22 = 0 . Lập phương trình hai cạnh AC , BC và đường cao thứ ba
Bài tập 2 :Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G(-2;-1) và phương trình các cạnh AB:4x+y+15=0 , AC : 2x +5y+3 =0
a. Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC b. Viết phương trình đường thẳng BC
Bài tập3 :Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;4) , B(3;1) và đường thẳng d :x – y -1 = 0 a. Tìm điểm A/
đối xứng của A qua đường thẳng d b . Tìm tọa độ điểm M sao cho AM + BM nhỏ nhất