2.2.1.1. Nhóm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Với a,b G, a b G đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
1. a (b c)=(a b) c với mọi a,b,c G
2. Tồn tại e G thoả mãn e a=a e=a với mọi a G, (e gọi là phần tử trung hoà).
3. Với mỗi a G, tồn tại một phần tử b G thoả mãn b a=a b=e (b là duy nhất và đƣợc gọi là phần tử nghịch đảo của a)
Ký hiệu <G,. >là nhóm nhân và <G,+> là nhóm cộng. Trong nhóm cộng, phần tử trung hoà là 0 và phần tử nghịch đảo của a là –a. Trong nhóm nhân, phần tử trung hoà là 1 và phần tử nghịch đảo của a la a-1.
<G,. >đƣợc gọi là nhóm abel nếu a b=b a với mọi a, b thuộc G.
Nếu <G,. > là nhóm hữu hạn thì số phần tử của <G,. > đƣợc gọi là bậc của G và ký hiệu là |G|.
Bậc của phần tử a G là số nguyên dƣơng nhỏ nhất n thỏa mãn an = 1. Ở đây, trong nhóm nhân an đƣợc hiểu là a.a...a (n lần), còn trong nhóm cộng là a+a+...+a (n lần). Trong nhóm nhân với mọi phần tử thuộc nhóm thì n luôn tồn tại.
Nếu a G có bậc m thì H = {ak | k Z } là nhóm con của G và có bậc m. Nếu G
có một phần tử a có bậc n = |G| thì G = {ak | k Z} và G đƣợc gọi là một nhóm cylic,
a đƣợc gọi là phần tử sinh của G.
Ví dụ, tập hợp Zn = {0, 1, 2,…, n - 1} là một nhóm cylic bậc n với toán tử cộng modulo n.
2.2.1.2. Vành
Định nghĩa: Tập hợp R đƣợc gọi là vành nếu trên đó có hai phép toán hai ngôi mà ta ký hiệu là "+" (phép cộng) và "." (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. R là một nhóm giao hoán đối với phép cộng, nghĩa là:
- Phép cộng có tính kết hợp: x y z, , R: (x y) z x (y z)
- Phép cộng có phần tử trung hòa, nghĩa là: 0 R, x R: 0 x x 0 x - Mọi phần tử của R có phần tử đối: x x x, ' : x' x' x 0
- Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa là: x y, R x: y y x 2. Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, nghĩa là:
, , : x(y z) . .
x y z R x y x z
3. Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa là x y z, , R: (x.y).z x y z.( . ) 4. Phép nhân có phần tử đơn vị, nghĩa là: 1 R, x R:1 x x 1 x