II. các dạng bài tập
1. Phơng pháp
- Phơng trình dao động cĩ dạng: s S cos= 0. ( .ωt+ϕ) Chú ý: : g l ω = ; T 1 2 . l 2 f g π π ω = = = ; 0 0 S S0 0.l l α = ⇒ =α
- Việc tìm các đại lợng nh: s, v, Wđ, Wt, W,...hay xác định các thời điểm con lắc cĩ li độ, vận tốc, khoảng thời gian con lắc đi từ s1 đến s2 cũng thực hiện tơng tự nh con lắc lị xo.
2. Bài Tập.
Bài 1. ( Bài 108/206 Bài tốn dao động và sĩng cơ )
Một con lắc đơn dao động điều hồ với chu kì T = 4s và biên độ S0 = 6cm. 1. Viết phơng trình dao động của con lắc. Chọn gốc thời gian là lúc con lắc qua VTCB theo chiều dợng.
2. Tính độ dời và vận tốc của vật nặng tại các thời điểm t1 = 0,5s và t2 = 1s. Từ kết quả tính đợc suy ra trạng thái dao động của con lắc ở các thời điểm đĩ. 3. Tính thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ:
a. VTCB đến vị trí s =3cm. b. Vị trí s = 3cm đến vị trí S0 = 6cm. Nhận xét về kết quả tìm đợc. Lời Giải O G P ur R ur O G P ur R ur α d
1. Phơng trình dao động cĩ dạng: s S cos= 0. ( .ωt+ϕ)Trong đĩ: S0 = 6cm; 2 2 ( / ) 4 2 rad s T π π π ω = = =
Theo đề bài , t = 0 thì s = 0 và v = s’ = - ω.S0 .sinϕ > 0, ta cĩ: 0
sin 0 cosϕ ϕ = < ⇒ ( ) 2 rad π ϕ = − . Vậy phơng trình là : 6. ( . )( ) 2 2 s= cos π t−π cm .
2. Phơng trình vận tốc cĩ dạng: v = s’ = - . .sin( .0 ) .6.sin( )
2 2 2 S t π π t π ω ω +ϕ = − − (cm/s) Hay 3 .sin( )( / ) 2 2 v= − π π t−π cm s . + Khi t = t1 = 0,5s: ⇒ 2 6. ( . )( ) 6. ( .0,5 )( ) 6. ( )( ) 6. ( ) 3. 2( ) 2 2 2 2 4 2
s= cos π t−π cm = cos π −π cm = cos −π cm = cm = cm .
⇒ 3 .sin( ) 3 .sin( .0,5 ) 3 .sin( ) 3 .( 2) 1,5 2( / )
2 2 2 2 4 2
v= − π πt−π = − π π −π = − π −π = − π − = π cm s .
+ Khi t = t2 = 1s:
⇒ 6. ( . )( ) 6. ( .1 )( ) 6. (0)( ) 6( )
2 2 2 2
s= cos π t−π cm = cos π −π cm = cos cm = cm .
⇒ 3 .sin( ) 3 .sin( .1 ) 3 .sin(0) 0.
2 2 2 2
v= − π πt−π = − π π −π = − π = 3.+ Các thời điểm vật đi từ VTCB đến vị trí cĩ s = 3cm.
3 6. ( . ) ( . ) 1 2 2 2 2 2 s= = cos π t−π ⇒cos π t−π = ⇒ 2. 2 3 .2 . .2 2 2 3 t k t k π π π π π π π π − = + − = − + (với k Z ∈ ) ⇔ . .2 2 3 2 . .2 2 3 2 t k t k π π π π π π π π = + + = − + + ⇔ 5 4 ;(1) 3 1 4 ;(2) 3 t k t k = + = + với k ∈Z
Hệ thức (1) ứng với trờng hợp con lắc qua vị trí s = 3cm theo chiều ngợc với chiều dơng; hệ thức (2) ứng với con lắc đi theo chiều dơng trục toạ độ. Vậy thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ VTCB đến vị trí s = 3cm là t1 = 1/3 (s) với k = 0. + Thời gian vật đi từ VTCB đến vị trí biên là :
4
T ⇒ Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí s = 3cm đến vị trí biên s = 6cm là: t2 = 1 lắc đi từ vị trí s = 3cm đến vị trí biên s = 6cm là: t2 = 1
4
T t t
− = 2/3(s).
* Nhận xét: Tuy hai quãng đờng là nh nhau nhng thời gian để đi các quãng đờng đĩ là khác nhau vì chuyển động cĩ vận tốc thay đổi theo thời gian t.
Bài 2. ( Bài 109/206 Bài tốn dao động và sĩng cơ )
Một con lắc cĩ chiều dài l = 1m, vật nặng cĩ khối lợng m = 100g. Kéo con lắc ra khỏi VTCB một gĩc α0= 60 rồi thả khơng vận tốc ban đầu.
1. Lập biểu thức vận tốc ứng với li độ gĩc α . Suy ra biểu thức vận tốc cực đại. 2. Lập biểu thức lực căng ứng với li độ gĩc α . Suy ra biểu thức lực căng cực đại, cực tiểu. Lấy g = 10m/s2, π ≈2 10.
Đ/s: 1. vmax = 33cm/s; 2. τmax =1,01 ;N τmin =0,99N
. Bài 3. ( Bài 110/206 Bài tốn dao động và sĩng cơ )
Một con lắc đơn gồm một sợi dây cĩ chiều dài l = 1m, khối lợng vật nặng m = 100g. Khi con lắc đang ở vị trí cân bằng, dùng búa gõ nhẹ vào quả nặng làm cho nĩ cĩ vận tốc v0 = 20cm/s theo phơng thẳng nằm ngang cho con lắc dao động. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản. Lấy g = 10m/s2 và 2
10.π ≈ π ≈ 1. Tính gĩc lệch cực đại của con lắc khỏi VTCB.
2. Viết phơng trình dao động của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu dao động và chiều dơng là chiều của véctơ vuur0.
3. Xác định thời điểm đầu tiên vận tốc cĩ độ lớn bằng nửa vận tốc v0. Đ/s: 1. α0 = 0,0632(rad); 2. s = 6,32.cos( .
2
t π
π − )cm; 3. t = 1/3 (s). Bài 4. ( Bài 111/206 Bài tốn dao động và sĩng cơ )
Một con lắc đơn gồm một sợi dây cĩ chiều dài l = 1m, treo vật nặng cĩ khối lợng m = 100g. Khi con lắc đang ở VTCB, ngời ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v0 theo phơng ngang cho con lắc dao động. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản. Coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập biểu thức vận tốc của vật nặng và lực căng của dây treo theo li độ gĩc α. Xét trờng hợp vận tốc và lực căng cực đại, cực tiểu.
Đ/s: a) vmax = v0 khi α = 0, vmin = 0 khi α = α0. b) τmax =1,1N khi α = 0 , τmin =0,95N khi α =
α0. Bài 5. Một con lắc đơn cĩ chiều dài l = 1m treo vật nặng cĩ khối lợng 50g. a. Cho con lắc đơn dao động với li giác gĩc cực đại α =0 0,1(rad). Tìm chu kì và viết phơng trình dao động con lắc. Chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí biên
0
α α= .
b. Cho con lắc đơn dao động với li giác gĩc cực đại α0 = 600. Tìm vận tốc dài của con lắc. Tính lực căng khi α = 00, α = 300 .
c. Trờng hợp con lắc dao động với α0 = 600, ngời ta đốt dây treo con lắc khi qua VTCB.
+ Tìm vận tốc, động năng của hịn bi khi chạm đất. Biết VTCB cách mặt đất là 4m.
+ Tìm khoảng cách từ điểm hịn bi chạm đất đến đờng thẳng đứng đi qua điểm treo. Lấy g = 10m/s2, π ≈2 10.Bỏ qua mọi ma sát.
Đ/s: a) s = 10.cos(π.t)cm; b) α = 00 thì v=π( / );m s τ =1( )N ; α = 300 thì . 3 1( / ); 3 3 2( ) 4 v=π − m s τ = − N c) ) 3 ( / ); 2, 25( ). ) 2 2( ) d max v m s W J x m π + = = + =
Dạng 2 quan hệ giữa chu kì, tần số và chiều dài của con lắc
1. Phơng pháp
- Chu kì của con lắc: T 1 2 . l 2 g 4 .22l
f g T
π π
π
ω
= = = ⇒ = .
- Hai con lắc đơn cĩ chiều dài là l1 , l2 dao động với chu kì tơng ứng là T1, T2. + Con lắc cĩ chiều dài: l = l1 + l2, cĩ chu kì dao động T đợc xác định theo biểu thức: 2 2
1 2
T = T +T .
+ Con lắc cĩ chiều dài: l’ = l1 - l2, cĩ chu kì dao động T’ đợc xác định theo biểu thức: 2 2
1 2
'
T = T −T .
- Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc cĩ chu kì T1 thực hiện N1 dao động, con lắc cĩ chu kì T2 thực hiên N2 dao động thì ta cĩ:
1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 . . N T f l N T N T N T f l = ⇒ = = = . 2.Bài Tập.
Bài 1. Một con lắc cĩ độ dài bằng l1 dao động với chu kì T1 = 1,5s. Một con lắc khác cĩ độ dài l2 dao động với chu kì T2 = 2s. Tìm chu kì của con lắc cĩ độ dài bằng l1 + l2; l2 – l1.
Đ/s: T = 2,5(s); T’ = 4 2, 25− = 1,75 (s). Bài 2. Hai con lắc đơn cĩ chiều dài l1, l2 ( l1>l2) và cĩ chu kì dao động tơng ứng là T1 và T2tại nơi cĩ gia tốc trọng trờng g = 9,8m/s2. Biết rằng tại nơi đĩ, con lắc cĩ chiều dài l1 + l2 cĩ chu kì dao động là 1,8s và con lắc cĩ chiều dài l1 – l2 dao động với chu kì 0,9s. Tìm T1, T2 và l1, l2.
Đ/s: T1 = 1,42s, T2 = 1,1s; l1 = 50,1cm, l2 = 30,1cm. Bài 3. Một học sinh buộc hịn đá vào đầu một sợi dây nhẹ và cho nĩ dao động. Trong 10 phút nĩ thực hiện đợc 299 dao động. Vì khơng xác định đợc chính xác độ dài của con lắc này, học sinh đĩ đã cắt ngắn sợi dây bớt 40cm, rồi cho nĩ dao động lại. Trong 10 phút nĩ thực hiện đợc 386 dao động. Hãy dùng kết quả đĩ để xác định gia tốc trọng trờng ở nơi làm thí nghiệm.
Đ/s: g = 9,80m/s2. Bài 4. Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc thứ nhất thực hiện đợc 10 chu kì dao động, con lắc thứ hai thực hiện 6 chu kì dao động. Biết hiệu số chiều dài dây treo của chúng là 48cm.
1. Tìm chiều dài dây treo mỗi con lắc.
2. Xác định chu kì dao động tơng ứng. Lấy g = 10m/s2.
Đ/s: 1) l1 = 27cm, l2 = 75cm; 2) T1 = 1,03s, T2 = 1,73s. Bài 5. Một vật rắn cĩ khối lợng m = 1,5kg cĩ thể quay quanh một trục nằm ngang. Dới tác dụng của trọng lực, vật dao động nhỏ với chu kì T = 0,5s. Khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm của vật rắn là d = 10cm. Tính mơmen quán tính của vật đối với trục quay. Lấy g = 10m/s2.
Đ/s: I = 0,0095kg.m2. Bài 6. Một con lắc đơn cĩ chiều dài là l dao động với chu kì T0 = 2s.
1. Tính chu kì của con lắc khi chiều dài của dây treo tăng lên 1% chiều dài ban đầu.
2. Nếu tại thời điểm ban đầu hai con lắc trên cùng qua VTCB và chuyển động cùng chiều. Tìm thời gian mà chúng lặp lại trạng thái trên. Khi đĩ mỗi con lắc thực hiên bao nhiêu dao động?
Đ/s: 1) T = 2,0099s; 2) T0 - 201, T – 200 dao động.
Dạng 3 tìm sự biến thiên chu kì của con lắc đơn khi thay đổi nhiệt độ, độ cao, vị trí trên trái đất
1. Phơng pháp
- Viết biểu thức tính chu kì của con lắc khi cha cĩ sự thay đổi: T 2 l
g
π
= .
- Viết biểu thức tính chu kì của con lắc khi cĩ sự thay đổi: ' 2 ' ' l T g π = . - Lập tỉ số: ' '. . ' T l g T = l g . áp dụng cơng thức gần đúng, ta cĩ: T' m T' m T. T ≈ ⇒ ≈ . - Tính ∆T: ∆ = − =T T T T m' .( −1) + ∆ > ⇔T 0 T'> ⇔ > ⇒T m 1 Chu kì tăng. + ∆ < ⇔T 0 T'< ⇔ < ⇒T m 1 Chu kì giảm. 2. Bài Tập
Bài 1. ( Bài 113/206 Bài tốn dao động và sĩng cơ)
ngời ta đa một con lắc từ mặt đất lên độ cao h = 10km. Phải giảm độ dài của nĩ đi bao nhiêu để chu kì dao động của nĩ khơng thay đổi. Cho bán kính trái đất R = 6400km và bỏ qua sự ảnh hởng của nhiệt độ.
Đ/s: Giảm 0,3% chiều dài ban đầu của con lắc. Bài 2. ( Bài 115/206 Bài tốn dao động và sĩng cơ)
Một con lắc Phu cơ treo ở thánh Ixac( XanhPêtecbua) là một conlắc đơn cĩ chiều dài 98m. Gia tốc rơi tự do ở XanhPêtecbua là 9,819m/s2.
1. Tính chu kì dao động của con lắc đĩ.
2. Nếu treo con lắc đĩ ở Hà Nội, chu kì của nĩ sẽ là bao nhiêu? Biết gia tốc rơi tự do tại Hà Nội là 9,793m/s2 và bỏ qua ảnh hởng của nhiệt độ.
3. Nếu muốn con lắc đĩ khi treo ở Hà Nội mà vẫn dao động với chu kì nh ở XanhPêtecbua thì phải thay đổi độ dài của nĩ nh thế naị?
Đ/s: 1) T1 = 19,84s; 2) T2 = 19,87s; 3) Giảm một lợng ' 0, 26 26
l l l m cm
∆ = − = = .
Bài 3. Con lắc tốn ở mặt đất, nhiệt độ 300C, cĩ chu kì T = 2s. Đa lên độ cao h = 0,64km, nhiệt độ 50C, chu kì tăng hay giảm bao nhiêu? Cho hệ số nở dài
5 1
2.10 K
λ= − − .
Đ/s: Chu kì giảm 3.10-4s. Bài 4. Con lắc đơn dao động bé ở mặt đất cĩ nhiệt độ 300C. Đa lên độ cao
h = 0,64km chu kì dao động bé vẫn khơng thay đổi. Biết hệ số nở dài của dây treo làλ=2.10−5K−1. Hãy tính nhiệt độ ở độ cao này. Cho bán kính trái đất R = 6400km.
Đ/s: 200C. Bài 5. Con lắc tốn học dài 1m ở 200C dao động nhỏ ở nơi g = π2(SI).
1. Tính chu kì dao động.
2. Tăng nhiệt độ lên 400C, chu kì của con lắc tăng hay giảm bao nhiêu? Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là λ=2.10−5K−1.
Đ/s: 1) 2s; 2) Tăng 4.10-4s. Bài 6. Một con lắc đồng cĩ chu kì dao động T1 = 1s tại nơi cĩ gia tốc trọng tr- ờng g = π2(m/s2), nhiệt độ t1 = 200C.
1. Tìm chiều dài dây treo con lắc ở 200C.
2. Tính chu kì dao động của con lắc tại nơi đĩ ở nhiệt độ 300C. Cho hệ số nở dài của dây treo con lắc là λ=4.10−5K−1.
Đ/s: 1) l1 = 0,25m = 25cm; 2) T2 = 1,0002s.
Dạng 4 tìm sự biến thiên chu kì của con lắc đơn khi thay đổi trờng trọng lực
1. Phơng pháp
- Chu kì của con lắc khi gia tốc trờng trọng lực là g1: 1
12 . l 2 . l T g π = .
- Chu kì của con lắc khi gia tốc trờng trọng lực là g2: 2
22 . l 2 . l T g π = . - Lập tỉ số: 2 1 1 2 1 1 2 2 . T g g T T T = g ⇒ = g . Trong đĩ g = G.M2 R .
- Trong cùng một khoảng thời gian, đồng hồ cĩ chu kì con lắc là T1 cĩ số chỉ t1 thì đồng hồ cĩ chu kì con lắc là T2 cĩ số chỉ t2, ta cĩ: t2.T2 = t1 . T1 2 1 1 2 . t T t T ⇒ = 2.Bài Tập
Bài 1. Mặt Trăng cĩ khối lợng bằng 1
81khối lợng Trái Đất và cĩ bán kính bằng 1
3,7bán kính Trái Đất. Coi nhiệt độ ở Mặt Trăng đợc giữ nh trên Trái Đất.
a. Chu kì dao động của một con lắc đơn thay đổi nhu thế nào khi đa con lắc từ Trái Đất lên Mặt Trăng?
b. Để chu kì của con lắc trên Mặt Trăng vẫn nh khi ở Trái Đất thì cần phải thay đổi chiều dài con lắc nh thế nào?
Đ/s: a) TMT = 2,43. TTĐ; b) l 83,1%
l
∆ = .
Bài 2. Ngời ta đa một đơng fhồ quả lắc từ Trái Đất lên Mặt Trăng mà khơng điều chỉnh lại. Theo đồng hồ này trên Mặt Trăng thì thời gian Trái Đất tự quay đợc một vịng là bao nhiêu? Biết gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng bằng 1/6 gia tốc rơi tự do trên Trái Đất và bỏ qua sự ảnh hởng của nhiệt độ.
Dạng 5 tìm sự biến thiên chu kì của con lắc đơn khi cĩ thêm lực lạ
1. Phơng pháp
- Viết biểu thức tính chu kì của con lắc khi cha cĩ lực lạ: T 2 l
g
π
= .
- Viết biểu thức tính chu kì của con lắc khi cha cĩ lực lạ: ' 2 ' l T g π = .
Trong đĩ g’ là gia tốc trọng trờng biểu kiến đợc xác định theo biểu thức sau đây: uur ur uurP'= +P Fn ⇔m g. 'uur=m g F.ur uur+ n. Khi cân bằng, dây treo con lắc cĩ phơng của
'
P
uur
.
Ngoại lực uurFn cĩ thể là:
+ Lực điện trờng: Fuurd = q E.ur ⇒ uurFd ↑↑Eur nếu q > 0; Fuurd ↑↓Eur nếu q < 0. Chú ý: Độ lớn: Fđ = q E. và E U
d
= .+ Lực đẩy Acsimét: FuurA = −V D g. .ur, cĩ độ lớn FA =V D g. . . + Lực đẩy Acsimét: FuurA = −V D g. .ur, cĩ độ lớn FA =V D g. . . + Lực quán tính: Fuurqt = −m a.r, cĩ độ lớn Fqt =m a. .
+ Lực từ: Ft =B I l. . .sinα hoặc Ft = q v B. . .sinα.
2.Bài Tập
Bài 1. Một con lắc đơn gồm một sợi dây cĩ chiều dài l = 1m và quả cầu nhỏ cĩ khối lợng m = 100g, đợc treo tại nơi cĩ gia tốc trọng trờng g = 9,8m/s2.
1. Tính chu kì dao động nhỏ ccủa quả cầu.