I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Đ2.HèNH CHểP
+ Hỡnh chúp là hỡnh đa diện cú một mặt là một đa giỏc gọi là đỏy cỏc mặt cũn lại là
những tam giỏc cú chung đỉnh, cỏc cạnh khụng thuộc đa giỏc đỏy gọi là cạnh bờn. + Hỡnh chúp đều là hỡnh chúp cú đỏy là đa giỏc đều và cỏc cạnh bờn bằng nhau. +Trong hỡnh chúp đều:
• Hỡnh chiếu của đỉnh xuống đỏy trựng với tõm của đỏy.
• Cỏc mặt bờn là cỏc tam giỏc bằng nhau.
• Cỏc cạnh bờn hợp với đỏy cỏc gúc bằng nhau.
• Cỏc mặt bờn hợp với đỏy cỏc gúc bằng nhau.
+ Cỏc cụng thức:
+ Tứ diện là trường hợp đặc biệt của hỡnh chúp mà mọi mặt của nú đều cú thể là đỏy của hỡnh chúp.
+ Nếu mp(P) cắt ba cạnh SA;SB;SC của tứ diện S.ABClần lượt tại A’B’C’ Thỡ
Tỉ số thể tớch bằng lập phương tỉ số cạnh.
(Chỳ ý : Tỉ số trờn chỉ ỏp dụng cho hỡnh chúp cú đỏy là tam giỏc, nếu đỏy hỡnh chúp là tứ giỏc thỡ khụng cũn đỳng ). Đ3. HèNH LĂNG TRỤ S B A C A' B' C'
+ Hỡnh đa diện cú hai mặt là hai đa giỏc nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đỏy tất cả cỏc cạnh khụng thuộc hai đỏy song song với nhau.
+ Trong hỡnh lăng trụ
• Cỏc cạnh bờn song song và bằng nhau.
• Cỏc mặt bờn và mặt chộo là những hỡnh bỡnh hành.
• Hai đỏy là hai đa giỏc cú cỏc cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
+ Lăng trụ cú cỏc cạnh bờn vuụng gúc với đỏy được gọi là lăng trụ đứng-cỏc mặt
bờn của lăng trụ đứng là hỡnh chữ nhật
+ Lăng trụ đứng cú đỏy là đa giỏc đều được gọi là lăng trụ đều- cỏc mặt bờn của
hỡnh lăng trụ đều là cỏc hỡnh chữ nhật bằng nhau.
+ Lăng trụ cú đỏy là hỡnh bỡnh hành được gọi là hỡnh hộp.Hỡnh hộp cú tất cả 6 mặt
là hỡnh bỡnh hành.
+ Lăng trụ đứng cú đỏy là hỡnh chữ nhật gọi là hỡnh hộp chữ nhật. Cỏc mặt của
hỡnh hộp chữ nhật đều là hỡnh chữ nhật.
+ Hỡnh lập phương : Là trường hợp đặc biệt của hỡnh hộp chữ nhật khi tất cả cỏc mặt của nú đều là hỡnh vuụng.
+ Cỏc cụng thức Lăng trụ.
Đ4 KHỐI CẦU
+ Mặt cầu S(O;R) là tập hợp .
Khối cầu S(O;R) là tập hợp .
+ Mặt cầu là hỡnh trũn xoay sinh bởi một đường trũn khi quay xung quanh đường kớnh của nú.
+ Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) gọi d là khoảng cỏch từ tõm O đến mp(P).
• Nếu d > R mp(P) khụng cắt mặt cầu.
• Nếu d = R mp(P) tiếp xỳc với mặt cầu.
• Nếu d < R mp(P) căt mặt cầu theo giao tuyến là đường trũn cú bỏn kớnh
.
+ Cụng thức diện tớch và thể tớch
+ Tồn tại duy nhất một mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện.
1./ Là điểm mà cỏch đều cỏc đỉnh của khối đa diện.
2./ Là trung điểm của đoạn thẳng mà cỏc đỉnh nhỡn đoạn thẳng đú dưới một gúc vuụng.
3./ Là giao điểm của cỏc trục đường trũn ngoại tiếp cỏc mặt của khối đa diện. 4./ Là giao điểm của cỏc mặt phẳng trung trực của cỏc cạnh của khối đa diện. +Hỡnh chúp đều luụn nội tiếp trong một mặt cầu cú tõm nằm trờn đường cao của hỡnh chúp.
+ Lăng trụ đứng nội tiếp được mặt cầu nếu đỏy lăng trụ nội tiếp đường trũn.
Đ5 KHỐI TRỤ -KHỐI NểN
Hỡnh Nún – Trụ
Hỡnh chúp đều cú đỏy là lục giỏc đều cạnh a cạnh bờn hỡnh chúp là i 2a. a) Vẽ hỡnh chúp và tớnh diện tớch xung quanh và thể tớch của nú. b)Tớnh diện tớch tồn phần của hỡnh nún ngoại tiếp hỡnh chúp. Một hỡnh trụ cú hai đỏy là hai hỡnh trũn (O;R)và (O’;R), Một hỡnh nún đỉnh O’ đỏy là hỡnh trũn (O;R)
a) Tớnh tỉ số diện tớch xung quanh của hỡnh trụ và hỡnh nún.
b) Mặt xung quanh của hỡnh nún chia khối trụ thành hai phần tớnh tỉ số thể tich của hai phần đú.
Cắt hỡnh nún đỉnh S bởi một mặt phẳng qua trục của nú ta được một tam giỏc vuụng cõn cú cạnh huyền bằng
a) Tớnh diện tớch xung quanh diện tớch tồn phần và thể tớch của hỡnh nún. b) Cho một dõy cung của đường trũn đỏy của hỡnh nún sao cho mp(SBC) tạo với
Mặt trụ là hỡnh trũn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ song song với l.
Hỡnh trụ là hỡnh trũn xoay sinh bởi bốn cạnh của hỡnh chữ nhật khi quay xung quanh một đường trung bỡnh của hỡnh chữ nhật đú.
Mặt nún là hỡnh trũn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường
thẳng ∆ cắt l nhưng khụng vuụng gúc với l.
Mặt cầu
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA ⊥ (ABCD) , ABCD là hỡnh chữ nhật và AB = a , SA = BC = 2a. Chứng minh rằng 5 điểm S,A,B,C,D cựng nằm trờn 1 mặt cầu.Tỡm tõm ,bỏn kớnh của mặt cầu đú
Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA ⊥ (ABC) . BE , BF là đường cao của tam giỏc ABC và SBC . Gọi H và H’ lần lượt là trực tõm của cỏc tam giỏc ABC và SBC a)Chứng minh rằng SH’ , AH và BC đồng qui tại một điểm I
b)Chứng minh rằng 5 điểm E,F,I,S,B ở trờn một mặt cầu
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA ⊥(ABCD) và ABCD là hỡnh vuụng cạnh a .Dựng mặt phẳng β đi qua A và vuụng gúc với đđường thẳng SC,β lần lượt cắt SB ,SC ,SD tại B’ ,C’ ,D’
a)Chứng minh rằng cỏc điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ cựng nằm trờn một mặt cầu cố định b) Tớnh diện tớch mặt cầu ấy
Trong mặt phẳng α cho đường trũn đường kớnh AB = 2R .Trờn đường trũn ta lấy 1 điểm C.Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB).Gọi I là trung điểm CH .Trờn tia Ix⊥α ta lấy điểm S sao cho SHˆI= 60o . Chứng minh rằng ∆SAB = ∆CAB.từ đú suy ra tõm ,bỏn kớnh của mặt cầu đi qua 4 đỉnh S,A,B,C
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA ⊥ (ABCD) và SA = a. ABCD là là hỡnh thang vuụng tại A và B cú AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm cạnh AD. Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.CDE
d)Tỡm tõm và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh đỏy bằng a. Cạnh bờn hợp với đỏy 1 gúc φ = 60o
a)Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp b)Tớnh gúc giữa mặt bờn và đỏy
.Cho tứ diện SABC cú SA ⊥ (ABC) và đỏy là tam giỏc đều cạnh a. Mặt bờn (SBC) hợp với đỏy 1 gúc φ = 30o
a)Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b)Tớnh gúc giữa SC và mặt phẳng (ABC)
ẹỀ THI HèNH HOẽC KHÔNG GIAN CỔ ẹIỂN TRệễÙC NAấM 2010
(A_2009)Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD), tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a.
(B_2009) Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú BB’=a , gúc giữa BB’ và mp (ABC) bằng 600 ; tam giỏc ABC vuụng tại C và BAC 60ã = 0. Hỡnh chiếu vuụng gúc
của B’ trờn mp(ABC) trựng với trọng tõm tam giỏc ABC . Tỡnh thể tớch khối tứ diện A’.ABC thoe a .
(D-2009) Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B , AB=a ; AA’=2a ; A’C = 3 a . Gọi M là trung điểm A’C’ , I là giao điểm AM và A’C . Tớnh thể tớch IABC và khoảng cỏch từ A đến mp(IBC)
(A_2008) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a , đỏy ABC là tam
giỏc vuụng tại A ; AB = a ; AC = a 3và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỡnh A’ trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tớnh theo a thể tớch khối chúp A’ABC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thằng AA’ và B’C’ .
(B_2008) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a , SA = a ;
SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuụng gúc với mặt phẳng đỏy . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB ,BC . Tớnh theo a thể tớch của khối chúp S.BMDN và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng SM ,DN .
(D_2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng AB = BC
= a , cạnh bờn AA’ = a 2. Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tớnh theo a thể tớch của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AM,B’C
• A_2007 : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , mặt bờn SAD là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy . Gọi M , N SAD là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , BC , CD . Chứng minh rằng AM vuụng gúc với BP và tớnh thể tớch của khối tứ diện CMNP
• B_2007 : Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . CMR: MN vuụng gúc với BD và tớnh (theo a ) khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MN và AC
• Khoỏi D 2007 : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang ABˆC = BAˆD = 90o , BA = BC = a ; AD = 2a . Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA = a 2. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB . CMR: tam giỏc SCD vuụng và tớnh theo a khoảng cỏch từ H đến mp(SCD)
(Đề dự bị 1 khối B năm 2007). Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc với hỡnh chúp. Cho AB = a, SA = a 2. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của A lờn SB, SD. CM : SC ⊥ (AHK) và tớnh thể tớch hỡnh chúp OAHK.
(Đề dự bị 2 khối A năm 2007) Cho hỡnh chúp SABC cú gúc (SBC∧,ABC)=60o, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a. Tớnh theo a khoảng cỏch từ đỉnh B đến
(Đề dự bị 1 khối A năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cú AB = a, AC = 2a, AA1 =2a 5 và BAC∧ =120o. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB⊥MA1 và tớnh khoảng cỏch d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
(Đề dự bị 1 khối B năm 2007). . Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường trũn đường kớnh AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường trũn đú sao cho AC = R. Trờn đường thẳng vuụng gúc với (P) tại A lấy điểm S sao cho (SAB∧,SBC)=60o. Gọi H, K lần lượt là hỡnh chiếu của A trờn SB, SC. Chứng minh ∆AHK vuụng và tớnh VSABC?
(Đề dự bị 1 khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng AB=AC=a, AA1 = a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuụng gúc chung của cỏc đường thẳng AA1 và BC1. Tớnh VMA1BC1.
(Đề dự bị 2 khối D 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tớnh d(BM, B1C).
(Đề dự bị 1 khối A năm 2006).
Cho hỡnh hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cú AB = AD = a và gúc BAD = 600. Gọi M,N là trung điểm cỏc cạnh A’D’ và A’B’.Chứng minh rằng A’C’ vuụng gúc với mặt phẳng (BDMN). Tớnh thể tớch của khối chúp A.BDMN