2 Một số giả thuyết trong hình học đa thức liên quan đến
2.1.2 Các giả thuyết mở rộng hoặc liên quan đến giả thuyết
2.1.2 Các giả thuyết mở rộng hoặc liên quan đến giả thuyếtSendov Sendov
Áp dụng phép biến đổi tuyến tính, chỉ cần chứng minh giả thuyết Sendov cho đa thức P (z) từ các tập đa thức Pn với hệ số mũ cao nhất bằng 1,
tức là các đa thức có dạng
P (z) = (z−z1) (z−z2)...(z−zn),
và đĩa D(0,1) là đĩa nhỏ nhất chứa tất cả các nghiệm của P (z).
Theo Định nghĩa 2.3, thực chất của giả thuyết Sendov là xác định độ lệch ρ(A(P), A(P0)) = sup b∈A(P) inf a∈A(P0) ρ(a, b).
Vậy giả thuyết Sendov có thể phát biểu lại như sau. Giả thuyết 2.1. Nếu P ∈ Pn thì ρ(A(P), A(P0)) ≤ 1.
A. Aziz đã phát biểu định lý sau
Định lý 2.3. (A. Aziz, 1985) Nếu P ∈ Pn thì ρ(A(P0), A(P)) ≤ 1. Thực chất, A. Aziz đã chứng minh một mệnh đề mạnh hơn:
Định lý 2.4. Nếu P ∈ Pn và ξ là một nghiệm của P0(z), thì đĩa với tâm 2ξ và bán kính 1 chứa tối thiểu một nghiệm của đa thức P (z).
Định lý 2.4 suy ra trực tiếp từ Định lý Gaus-Lucas. Mệnh đề tổng quát sau đây cũng đúng:
Giả sử tập các điểm của A nằm trong đĩa bán kính r và điểm b nằm trong bao lồi của A. Khi ấy đĩa tâm b bán kính r chứa tối thiểu một điểm của A.
Mở rộng giả thuyết Sendov, ta có
Giả thuyết 2.2. (Sendov [27]) Nếu P ∈ Pn và n≥ s+ 1 thì
ρA(P), AP(s) ≤ 2s
s+ 1. Với s=1, Giả thuyết 2.2 chính là Giả thuyết 2.1.
Với số tự nhiên n ≥2, tập Pn là compact. Do đó, với mỗi n≥ s+ 1 và
s = 1,2,3, ... tồn tại đa thức Pn,s ∈ Pn sao cho
ρn,s = ρA(Pn,s), APn,s(s) = supρA(P), AP(s) :P ∈ Pn.
Định nghĩa 2.5. (Đa thức cực trị) Đa thức Pn,s được gọi là đa thức cực trị cho độ lệchρ A(P), A P(s) trong Pn và nghiệm z1 ∈ A(Pn,s) được goi là nghiệm cực trị của Pn,s nếu ρz1, APn,s(s)
= ρn,s.
Năm 1972, D. Phelps và R. S. Rodriguez đã nêu giả thuyết rằng, nếu
P (z) là đa thức cực trị cho ρ(A(P), A(P0)) trong Pn, thì
P0(z) = nzn−1.
Giả thuyết này được Sendov mở rộng thành
Giả thuyết 2.3. Nếu đa thức P (z) là cực trị cho ρ A(P), A P(s)
trong Pn thì P(s)(z) = (n−n!s)!(z−λn,s)n−s, trong đó λn,s là hằng số.
Theo Định lý trong đa thức cực trị cho ρ(A(P), A(P00)) nằm trong tập các đa thức P ∈ P4 với các hệ số thực, là đa thức
P (z) = (z−1)2 z2 + 2 3z+ 1 với P00(z) = 12 z− 1 3 2 . (2.3) Cho tới nay vẫn chưa chứng minh được, đa thức (2.3) là cực trị trong P4
với các hệ số phức cho ρ(A(P), A(P00)).
Năm 1972 G. Schmeisser đã phát biểu bài toán sau đây liên quan đến Giả thuyết 2.1.
Bài toán 2.1. (G. Schmeisser) Tìm hằng số ρ (càng nhỏ càng tốt) sao cho mọi P ∈ Pn, bất đẳng thức ρ(A(P), A(P0)) ≤ρ được thỏa mãn.
Nói cách khác, bài toán được đặt ra là đánh giá ρn,1, n= 2,3, ...
Năm 1977, G. Schmeisser đã phát biểu
Giả thuyết 2.4. (G. Schmeisser,[25]) Với mỗi P ∈ Pn , bất đẳng thức sau luôn thỏa mãn ρ(H (P), A(P0)) ≤ 1.
Giả thuyết 2.4 mạnh hơn giả thuyết Sendov vì A(P) ⊂ H (P) do đó theo bổ đề 2.1, ρ(A(P), A(P0)) ≤ ρ(H (P), A(P0)) ≤ 1. Giả thuyết 2.4 đúng nếu mọi đỉnh của H(P) nằm trên đường tròn đơn vị.
Cho đa thức P ∈ Pn, chúng ta xem xét độ lệch của một trong các tập hợp
tới một trong các tập hợp
AP(s), HP(s)với s= 1,2, ..., n−1 (2.5) Theo định nghĩa ta luôn có
A(P) ⊂ H(P)và AP(s) ⊂H P(s) (2.6) Nếu U là tập compact của đa thức, thì các tập hợp
A(U) = {A(P) : P ∈ U }và H (U) ={H (P) : P ∈ U }
cũng là compact. Với mỗi độ lệch giữa một tập (2.4) tới tập (2.5) tồn tại đa thức cực trị. Do đó P là đa thức cực trị cho độ lệch ρ A(P) ;A P(s)
trong Pn nếu
ρA P;AP(s) = sup
n
ρA(P) ;AP(s) : P ∈ Pno
= ρA(Pn) ;APn(s). (2.7)