8. 1.1 Chuyển vị ngang của khung nhiếu tầng,nhiều nhịp
9.6 Kiểm tra ổn định tổng thể ngôi nhà
Khi ngôi nhà đã bị uốn, d−ới tác động của tải trọng thẳng đứng, nội lực và biến dạng của ngôi nhà sẽ tăng lên. Nếu trọng l−ợng của ngôi nhà lớn và dộ
cứng của ngôi nhà không đủ thì biến dạng sẽ tăng nhanh và dẫn tới mất ổn định tổng tổng thể ngôi nhà. Trọng l−ợng có thể gây ra mất ổn định tổng thể ngôi nhà gọi là trọng l−ợng cực hạn (Gkp).
Để có thể xác định một cách gần đúng trọng l−ợng cực hạn của ngôi nhà ta đ−a vào các giả thuyết sau:
- Mô hình tính toán ngôi nhà là một hệ kết cấu các công sôn, các t−ờng cứng với một đầu ngàm vào móng.
- Độ cứng của các hệ cứng không thay đổi theo chiều cao (với các t−ờng cứng có tiết diện thay đổi thì dùng độ cứng t−ơng đ−ơng).
- Trọng khối nhà phân bố đều theo thể tích ngôi nhà.
- Biến dạng của các sàn trong mặt phẳng nằm ngang không đáng kể và có thể bỏ qua.
- Để giải bài toán ổn định ta giả thuyết ngôi nàh bị nghiêng so với trục thẳng đứng ban đầu. Ta ký hiệu các chuyển vị tại tâm uốn của một tiết diện ngang bất kỳ cách để nhà một khoảng là "u" và "v" còn góc xoay là "ϕ "( hình 9.19).
Ta tìm các chuyển vị trên đây từ một hệ ph−ơng trình vi phân cho uốn và xoắn của ngôi nhà sau đây:
By uIV - qx = 0 (9.120) Bx vIV - qy = 0 (9.121) BωϕIV - Bxoắnϕ'' - m = 0 (9.122) Trong đó: m - mômen xoắn.
Bx, By - độ cứng chống uốn của ngôi nhà đối với các trục X và Y (chính là độ cứng cảu các hệ cứng).
Bω- độ cứng chống xoắn uốn đồng thời của ngôi nhà. Bxoắn - tổng độ cứng của các hệ cứng khi xoắn tự do.
Ph−ơng trình (9.122) biểu thị đ−ờng xoắn của ngôi nhà với hệ các t−ờng cứng trong đó có các lõi cứng. Nếu trong nhà không có những t−ờng cứng có độ cứng chống xoắn lớn (không có những lõi cứng) thì thành phần thứ hai trong
(5.3) bằng không, nếu trong nhà chỉ có một lõi cứng thì thành phần thứ nhất không có. Quy −ớc về đầu trong công thức (9.120) -(9.122) nh− sau:
Chiều chuyển vị thẳng u, v và tải trọng qx và qy cùng chiều với trục X và Y sẽ mang dấu d−ơng. Chiều d−ơng của góc xoay và mômen xoắn theo ng−ợc chiều kim đồng hồ.
Tr−ớc hết giải bài toán với giả thuyết ngôi nhà là một thanh công xon bị nén dọc, mà lực nén dọc bằng tổng áp lực phân bố đều trên tiết diện ngang bất kỳ và không đổi, theo chiều dài thanh (chiều cao nhà ).
Mô men uốn đối với trục X và Y do tải trọng đứng gây ra trong trạng thái nhà đã bị uốn, tại thiết diện bất kỳ xác định theo công thức:
Mx = ∫F p(y+ v+ ϕx) dF (9.123) My = ∫F p(x+ v- ϕy) dF (9.124) Từ đó suy ra: d2 My qx = --- = - ∫F p ( u'' - ϕ"x) df (9.125) dZ2 d2 Mx qy = --- = - ∫F p ( v'' - ϕ" x) df (9.126) dZ2 nh−ng ∫F dF = F; ∫F xdF = Fax ; ∫F ydF = Fay (9.127)
Trong đó ax và ay toạ độ tâm hình học mặt bằng nhà (trọng tâm hình giới hạn bởi chu vi mặt bằng nhà) theo toạ độ XY.
Xét tới (9.127) ta có:
qx = -p F ( u'' - ϕ"ay) (9.128) qy = -p F ( v'' - ϕ"ax ) (9.129) Khi nhà đã bị uốn, những thành phần tải trọng mới xuất hiện là qx và qy sẽ gây ra xoắn ngôi nàh quanh trục thẳng đứng. Mômen xoắn của một phân tố tiết diện do tải trọng tác dộng tính theo
dm = xdqy - ydqx (9.130)
Từ (9.125) và (9.126) có:
dqx = - p(u'' - ϕ"
y)dF (9.131)
dqy = - p(v'' - ϕ" x)dF (9.132) vậy dm = - p [ x(v'' + ϕ" x) - y(u'' - ϕ" y)]dF (9.132) Lấy tích phân theo diện tích mặt bằng ta đ−ợc:
m = P u'' ∫F ydF - v'' ∫F xdF - ϕ" ∫F (x2 + y2 ) dF (9.133) Nếu đặt : ∫F (x2 + y2 ) dF ∫F P2dF (9.134) γ =--- = --- F F Và theo (9.125) ta đ−ợc m = PF(u''ay - v''ax - ϕ"γ'' ) (9.135) Thông số γ phụ thuộc vào vị trí tâm uốn và các yếu tố mặt bằng nên gọi là đặc tr−ng mặt bằng ngôi nhà.
Đ−a các giá trị của qx ,qy, m vừa tìm đ−ợc vào (9.120)- (9.122) ta đ−ợc hệ ph−ơng trình vi phân mới.
ByUIV + pFu'' - pFϕ''ay= 0 (9.136) BxVIV + pFv'' - pFϕ''ax = 0 (9.137) - pFu''ay + pFv'' ax + PωϕIV - (Bxoắn - pFγ)ϕ'' = 0 (9.138) Ta chọn hàm chuyển vi d−ới dạng các hàm l−ợng giác.
U = Cif(Z); v = C2f(Z); ϕ = C3f(Z) (9.139)
Trong đó: f(Z) = 1 - cosλZ (9.140)
Và λ = nπ / 2H (9.141)
H - chiều cao mô hình tính toán ngôi nhà. Các hàm trên đều thoả mãn các điều kiện trên của mô hình tính toán.
f'' (Z) = λ2
cosλ Z ; fiv (Z) = - λ4
cosλZ (9.142)
Dựa vào (9.136) -(9.139) các giá trị (9.142) rồi giản −ớc cho - λ2 cosλZ ta đ−ợc: ( Byλ2 - pF) C1 - pFayC3 = 0 ( Bxλ2 - pF) C2 - pFaxC3 = 0 pFayC1 - pFaxC2 + (Bωλ2 + Bxoắn - pFγ)C3 = 0 (9.143) Ký hiệu nội lực uốn cực hạn
Gx = Bx λ2 và Gy = By λ2 (9.144) Nội lực xoắn cực hạn Bωλ2
+ Bxoắn
Gω = --- (9.145)
γ
Lực nén trong mô hình tính toán
G = pF (9.146)
(Gy - G)C1 + GayC3 = 0 (Gx - G)C2 + GaxC3 = 0
(GayC1 - GaxC2 + (Gω - G) γC3 = 0 (9.147) Trong trạng thái cân bằng giới hạn thì G = Gkp và các hệ số C1, C2 , C3 sẽ khác không,. Hệ ph−ơng trình (145) có nghiệm khác không khi định thức sau đây bằng không.
(Gy - Gkp) 0 Gkpay
0 (Gx - Gkp) - Gkpax = 0 ( 9.148 ) Gkpay - Gkpax (Gω - Gkp) Khai triển định thức (9.146) cho ta ph−ơng trình bậc ba để tính trọng l−ợng cực hạn của ngôi nhà. A1G3kp - A2G2kp + A3Gkp - A4 = 0 (9.150) Trong đó: A1 = 1 - (a2 x + a2 y) : γ (9.151) A2 = Gx + Gy + Gω - Gx a2 y / γ - G y a2 x / γ (9.152) A3 = Gx G y + Gx Gω + G y Gω (9.153) A4 = Gx G y Gω (9.154)
Trên đây ta giải bài toán cho một thanh chịu lực nén G không dổi theo chiều cao. Trong mô hình tính toán thực thì tải trọng nén phân bố đều theo chiều cao còn lực dọc thì tăng dần từ trên xuống d−ới theo quy luật tuyến tính. Để lời giải bài toán trên phù hợp với mô hình tính toán thật ta có thể tiến hành điều chỉnh bằng cách thay đổi chiều dài tính toán tự do trong công thức (9.142) là 2H bằng chiều dài tự do của một thanh công sôn chịu nén theo tải trọng phân bố đều lo = 1,12 H. Nếu chỉ xét tới dạng dao động thứ nhất (n = 1), a sẽ đ−ợc các thành phần trọng l−ợng cực hạn của ngôi nhà: π2 bx π2 b y Gx = --- G y = --- (9.155) (1,12h)2 (1,12h)2 π2Βω Gω= --- + Bxoắn : γ (9.156) ( 1,12 H ) 2
để tiện việc tính toán ta đ−a ra dịnh nghĩa độ cứng xoắn quy −ớc cho t−ờng cứng khép kín và thay hai thành phần trong (9.156) bằng 1 ta có:
π2
Bωi q.−
π2Βω
( 1,12 H ) 2 ( 1,12 H ) 2
Từ độ cứng quy −ớc khi xoắn: Bquωi = Bωi + Bxoắn i ( 1.12H)2 / π2
(9.158) hay: EJquωi = EJωi + GJxoắn i ( 1.12H)2 / π2
(9.159) Vì đối với t−ờng cứng khép kín, độ cứng chống xoắn c−ỡng bức nhỏ so với độ cứng xoắn tự do nên từ (9.159) có thể viết:
Jqu
ωi = Jxoắn i G/E . ( 1.12H)2 / π2 = 0.05 Jxoắn i H2 (9.160) Vậy trọng l−ợng cực hạn của ngôi nhà tính theo ổn định xoắn sẽ là: π2
Bquω
Gω = --- (9.161) (1.12H)2
ở đây Bωq.u = 0,85EJω và Jω theo công thức (9.25)
Nếu ngôi nhà chỉ có một hệ t−ờng cứng là lõi cứng thì trọng l−ợng cực hạn tính theo ổn định xoắn sẽ là:
Gω = Bxoắn : γ (9.162)
Biến dạng và ổn định của ngôi nhà phụ thuộc trực tiếp vào độ cứng không chỉ vào phần trên của ngôi nhà mà còn cả phần chôn sâu xuống mặt đất cũng nh− cả nền móng của công trình cụ thể là nhà chôn sâu vào lòng đất thì càng ổn định và càng giảm biến dạng. Bởi vậy chiều cao tính toán ngôi nhà nếu chỉ tính toán từ móng trở lên cũng ch−a đủ. Để xét đến những yếu tố trên bằng ph−ơng pháp gần đúng có thể lấy chiều cao tính toán bằng
H = 1,1Ho (9.163)
ở đây Ho - chiều cao phần trên mặt đất.
Không thể sử dụng ngay các công thức (9.155) (9.161) và (9.162) để tính cho các kết cấu BTCT đ−ợc vì theo thực nghiệm cho thấy đối với kết cấu BTCT tải trọng cực hạn tức thời chỉ xác định chính xác khi trong các công thức trên phải thay π2
bằng 0,8.
Thiên về an toàn trong qui phạm cho phép thay π2 bằng 0,64. Ngoài ra còn xét đến ảnh h−ởng của tác động dài hạn của tải trọng bằng cách giảm môđun biến dạng qua hệ số kdh. Trong nhà dân dụng tải trọng ngắn hạn vào khoảng 15% tổng tải trọng nên có thể lấy kdh = 1,85. Sau khi xét tới các yếu tố trên ta đ−ợc công thức tính toán cuối cùng:
Gx = 2,3EbJx / H2 0
Gy = 2,3EbJy / H2 0
Nếu nhà chỉ có một lõi cứng và cho mô- đun tr−ợt: G = 0,4E ta có
Gω = 0,14 . BbJxoắn / γ (9.165) Trong công thức (9.164) và (9.165) ta có:
Eb - Mô đun biến dạng ban đầu của bê tông đối với các cấu kiện trong t−ờng cứng và đ−ợc lấy làm căn cứ để xác định các mô men quán tính qui −ớc; Jx, Jy, Jω - Mômen quán tính xác định theo công thức (9.24) và (9.25)
Jxoắn - Mômen quán tính của lõi cứng khi chịu xoắn tự do, xác định theo(9.61) và (9.71).
Trong tr−ờng hợp các trục chính của ngôi nàh không song song với các trục l−ới cột (Jxy ≠ 0), cần phải kiểm tra ổn định uốn theo các trục chính. Và trong (9.164) thay Jx và Jy bằng Jmax và Jmin xác định theo (9.82).
Trọng l−ợng cực hạn phụ thuộc nhiều vào vị trí tâm uốn và trọng tâm. Nếu các tâm này ùng nhau thì tải trọng cực hạn lấy bằng giá trị bé nhất trong ba giá trị của Gx, Gy và Gω . Trong truờng hợp không trùng nhau nhà sẽ bị mất ổn định theo dạng uốn xoắn. Trọng l−ợng cực hạn xác định bằng cách giải ph−ơng trình(9.150). Cả ba nghiệm đều là nghiệm thực trong đó có một nghiệm sẽ nhỏ hơn bất kỳ một trong ba số Gx, Gy và Gω nghiệm thứ hai sẽ lớn hơn một trong ba trị số trên và nghiệm thứ ba có giá trị trung gian. Trên thực tế chỉ cần xác định một nghiệm nào t−ơng ứng với trọng l−ợng cực hạn cảu ngôi nàh.
Sự khác nhau giữa giá trị của trọng l−ợng cực hạn Gkp cho dạng mất ổn định theo uốn xoắn (theo 9.150) với giá trị nhỏ nhất Gmin trong ba giá trị Gx, Gy và Gω phụ thuộc tr−ớc tiên vào khoảng cách p1 (xem hình 9.20) giữa tâm uốn và trọng tâm và bằng:
p1 = a2 x + a2
y (9.166)
Tỷ số p12 : γ là điều kiện để xét tới sự cần thiết giải ph−ơng trình (9.150) hay không , nếu (p12 : γ ) < 0,1, trọng l−ợng cực hạn có thể xác định gần đúng theo công thức:
Gkp=αGmin (9.167) Trong đó:
α - hệ số xác định theo đồ thị (9.21), phụ thuộc vào p12 : γ và trọng l−ợng cực hạn trung bình Gtr.b
Điều kiện cần thiết để công trình không mất ổn định tổng thể , đã đ−ợc kiểm nghiệm qua thực tế thiết kế và xây dựng phải là:
Gkp : Gtch > 1,5(9.169)
Trong công thức (9.169): Gtch -trọng l−ợng tiêu chuẩn ngôi nhà trong đó kể cả tải trọng dài hạn và tạm thời tiêu chuẩn. Vì trong công thức (9.164) lấy chiều cao tính toán bằng 1,1 Ho nên
lấy bằng trọng l−ợng phần trên mặt đất của ngôi nhà nhân với 1,1.
Nh− trên đã trình bầy, khi ngôi nhà bị uốn tải trọng thẳng đứng sẽ tạo nên mômen làm tăng biến dạng và nội lực. ảnh h−ởng bién dạng của ngôi nhà tới nội lực trong các hệ cứng có thể xác định một cách gần đúng bằng cách nhân tải trọng ngang hay nội lực do tải trọng ngang và mômen uôn, lực cắt ngang do tải trọng đứng với các hệ số η > 1. Các hệ số này phụ thuộc vào trọng l−ợng và độ cứng ngôi nhà. Các hệ số này xác định t−ơng ứng theo từng ph−ơng chuyển vị của ngôi nhà (chuyển vị dọc, ngang và xoắn):
ηxdh = 1: (1- Gtch : Gx ) ηydh = 1: (1- Gtch : Gy ) ηωdh
= 1: (1- Gtch : Eω) (9.170) Hệ số ηdh
tính theo (9.170) ứng với tải trọng thẳng đứng trong đó tải trọng th−ờng xuyên chiếm tới 85%. Dùng các hệ số này khi xác định mômen uốn và lực cắt trong các hệ cứng theo công thức (9.88) - (9.93).
Tải trọng gió là tải trọng ngắn hạn nên biến dạng do tải trọng gió khi xác định không xét tới hệ ó kdh. Nên các hệ số η ứng với tải trọng gió sẽ là:
1 ηx =--- 1- Gtch / 1,85 Gx 1 ηy =--- (9.171) 1- Gtch / 1,85 Gy 1 ηω =--- 1- Gtch / 1,85 Gω
Các công thức trong (9.171) xét tới khi xác định tải trọng gió theo công thức (9.53) - (9.56) và khi xác định nội lực trong t−ờng cứng theo công thức (9.59) - (9.63). Các hệ số này còn đ−ợc sử dụng để tính biến dạng công trình. Trong tr−ờng hợp tải trọng giáo tác động không theo h−ớng trục X và Y của nhà thì cần lấy các giá trị của η đ−ợc xác định theo công thức trên nh−ng với các giá trị trọng l−ợng cực hạn t−ơng ứng với ph−ơng của các trục chính.
9. 6. 2 Đặc tr−ng của mặt bằng nhà.
Đặc tr−ng mặt bằng nhà xác định theo công thức (9.135). Ta sẽ khai triển tích phân tử số trong công thức này với kích th−ớc mặt bằng ai x bi
x0i + ai /2 y0i + bi /2
∫ p2dF = ∫ ∫ ( x2 + y2) dxdy = bi/3 (X0i + ai /2)- Fi x0i ai /2
- ( X0i - ai /2)3 + ai/3 ( Y0i + bi /2)3 - ( Y0i - bi /2)3
Sau khi đơn giản ta có:
∫ p2dF = ai bi ( X2 oi + y2 oi + ( a2 i + b2 i ) /12 ) (9.172) Fi Trong đó:
Xoi và Yoi - Toạ độ của trọng tâm mặt bằng đang xét đối với hệ trục có tâm trùng với tâm uốn.
Nếu mặt bằng ngôi nhà bao gồm nhiều phần hợp lại thì tích phân tử số trong (9.135) sẽ đ−ợc xác định cho từng phần rồi cộng lại. Nếu cạnh của từng
phần mặt bằng không song song với các trục X và Y thì ta giả định nh− các cạnh không song song với các trục X và Y thì ta giả định nh− các cạnh của hình đó đã đ−ợc xoay sao cho song song với ccá trục rồi tính tích phân theo công thức (9.172)
Thí dụ 9.10. Xác dịnh đặc tr−ng mặt bằng ngôi nàh trên hình 30 chia mặt bằng ngôi nhà ra làm hai hình chữ nhật - Phần mặt bằng bên trái a1 = 15m; b1 = 32,4m; Xo1 = - 12,5m; Y01= 8,4m. ∫ p2dF = 15 .32,4 (12,52 + 8,42 + (152 + 32,42)/12 ) = 162000m4 F1 - Phần mặt bằng bên phải : a2 = 48,9m; b2 = 19,2m; xo2 = - 1,8m; Diện tích mặt bằng: ∫ p2dF = 49,8 .19,2 ( 19,92 + 1,82 + (49,82 + 19,22)/2) = 609900m4 F2 F = 15 x 32,4 + 49,8 x 19,2 = 1442m2 Đặc tr−ng mặt bằng xác định theo công thức (9.135) γ = (162000 + 600000 ) : 1442 = 542m2 Để so sánh, nếu nh− có mặt bằng ngôi nhà nào khác là hình vuông có cạnh bằng 38m và diện tích t−ơng đ−ơng bằng trên ta sẽ có: ∫ p2dF = 38 .38 (382 + 382 ) /12 = 340000m4 F và γ = 348000 : 1442 = 241m2 So sánh các đặc tr−ng trên ta thấy trọng l−ợng cực hạn của ngôi nhà có mặt bằng nh− trên hình (9.23) trong điều kiện mất ổn định vi xoắn nhỏ hơn 2,2 lần só với ngôi nhà có mặt bằng vuông trong khi có hệ t−ờng