32. Giả sử W và X là hai không gian vectơ con của không gian vectơ hữu hạn chiều V Chứng
2.2.4.Đẳng cấu Định nghĩa:
Định nghĩa:
a) Một đồng cấu giữa các K- không gian vectơ được gọi là một đẳng cấu nếu nó là toàn cấu và
đơn cấu.
Như vậy, đồng cấu :f V→W giữa các K- không gian vectơ là đẳng cấu khi và chỉ khi nó là một song ánh. Khi đó f có ánh xạ ngược f−1 và dễ thấy f−1:W V
→ cũng là một đẳng cấu.
b) Hai K- không gian vectơ gọi là đẳng cấu nếu có một đẳng cấu từ không gian này lên không gian kia.
Dễ thấy quan hệ đẳng cấu giữa các K- không gian vectơ là một quan hệ tương đương.
Định lý: Hai K- không gian vectơ hữu hạn chiều đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số
chiều.
Chứng minh:
Nếu V và W đẳng cấu thì có đẳng cấu :f V →W . Vì f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu nên hạng f vừa bằng dimV vừa bằng dimW. Từ đó suy ra dimV = dimW.
Ngược lại, giả sử dimV = dimW = n. Lấy ( ), ( ),αi βi i=1,...n là hai cơ sở tương ứng của V và W
và gọi :f V →W là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f( )αi =βi,i=1,...n thì dễ thấy hạng f = n = dimV = dimW nên f là đẳng cấu. Từ đó suy ra V và W đẳng cấu.
Ví dụ:
Giả sử V là một K- không gian vectơ n chiều. Gọi αi,i=1,...n là một cơ sở của V, εi,i=1,...n là một cơ sở chính tắc của Kn. Khi đó ánh xạ tuyến tính f V: →Kn xác định bởi
( )i i, 1,... f α =ε i= n là đẳng cấu. Nếu 1 n i i i x = =∑ α α thì f( ) ( ,..., )α = x1 xn
Định lý: Giả sử f V: →W là một đồng cấu giữa các K- không gian vectơ. Khi đó
: / Kerf , [ ] ( )
f V →W α ֏ α là một đơn cấu và nó gây ra một đẳng cấu từ V/ Kerf lên Imf.
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh ánh xạ f như trên là xác định. Nghĩa là nó không phụ thuộc vào việc chọn đại diện α của lớp tương đương [α] thuộc V/ Kerf. Thật vậy, nếu [α]=[α’] thì α ∈Kerf, tức (f α α− ) 0= hay f(α)=f(α’).
Bây giờ chỉ còn phải chứng minh f là đơn cấu. Giả sử ([ ])f α = f([ ])β . Khi đó ( )f α = f( )β , hay (f α β− ) 0= . Từ đó suy ra α β− ∈Kerf hay [ ]=[ ]α β . Vậy f đơn cấu và do đó nó gây ra đẳng cấu từ V/Kerf lên Imf.
Hệ quả: Với giả thiết nhưởđịnh lý trên và khi V hữu hạn chiều thì dim V = dim Kerf + dim Imf