IV. Phương án cực biên suy biến, hiện tượng xoay vòng và cách khắc phục.
3. Quan hệ giữa bài toán gốc và bài toánđối ngẫu.
Các định lý đối ngẫu: Xét cặp bài toán đối ngẫu:
(P) minf(x)x X∈=<c,x> (D) max f(y) b,y
y Y
=< > ∈
X là miền ràng buộc của bài toán (P). Y là miền ràng buộc của bài toán (D).
Định lý 1:Đối ngẫu yếu
Nếu x là phương án chấp nhận được bất kì của bài toán gốc (P) và y là phương án chấp nhận dược bất kì của bài toán đối ngẫu (D) thì f(x) f(y)≥ .
Hệ quả 1
i) Nếu hàm mục tiêu của bài toán quy hoạch tuyến tính (P) không bị chặn dưới trong X thì bài toán đối ngẫu (D) không có phương án chấp nhận được. ii) Nếu hàm mục tiêu của bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu (D) không bị
chặn trên trong Y thì bài toán gốc (P) không có phương án chấp nhận được.
Hệ quả 2
Giả sử x là phương án chấp nhận được của bài toán gốc (P) và y là phương án chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (D) và f(y) f(x)= . Khi đó x là một phương án tối ưu của bài toán (P) và y là một phương án tối ưu của bài toán (D).
Nếu một bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì bài toán đối ngẫu của nó cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của hai bài toán này bằng nhau.
Hệ quả 3
Điều kiện cần và đủ để cặp phương ánx và y tương ứng của (P) và (D) là phương án tối ưu là: f(x) f(y)=
Định lý 3: Định lý tồn tại
Xét một cặp quy hoạch tuyến tính đối ngẫu (P) và (D). Khi đó chỉ xảy ra một trong bốn trường hợp sau:
Cả hai bài toán đều không có phương án (hiển nhiên không có phương án tối ưu);
Cả hai bài toán đều có phương án. Khi đó cả hai bài toán đều có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của hai bài toán này bằng nhau.
Bài toán (P) có phương án và bài toán (D) không có. Khi đó hàm mục tiêu của (P) không bị chặn dưới trong tập X.
Bài toán (D) có phương án và bài toán (P) không có. Khi đó hàm mục tiêu của (D) không bị chặn trên trong tập Y.
Định lý 4: Độ lệch bù yếu.
* *
x ,y là phương án tối ưu của (P) và (D) khi và chỉ khi x ,y* *là phương án của (P) , (D) và: n * * ij j i i j 1 m * * j ij i j i 1 a x b .y 0,i 1,m x . a y c 0, j 1,n = = − = = ÷ − = = ÷ ∑ ∑ Dạng phát biểu khác của định lý độ lệch bù * *
x ,y là phương án tối ưu của (P) và (D) khi và chỉ khi x ,y* *là phương án
buộc thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực sự (thỏa lỏng) thì ràng buộc kia phải thỏa mãn với dấu bằng(thỏa chặt).
Hệ quả 4
Đối với một cặp bài toán đối ngẫu, nếu một ràng buộc là lỏng đối với một
phương án tối ưu của bài toán này thì ràng buộc đối ngẫu của nó phải là chặt đối với mọi phương án tối ưu của bài toán kia.
Ứng dụng của định lý độ lệch bù
Dùng định lý độ lệch bù để phân tích tính chất tối ưu của một phương án: Cho x
là phương án của bài toán toán gốc. Giả sử x chưa tối ưu, theo định lý độ lệch bù yếu mọi phương án tối ưu y của bài toán đối ngẫu phải thỏa chặt các ràng buộc đối ngẫu với các ràng buộc mà x thỏa lỏng. Các ràng buộc chặt này tạo ra môt hệ phương trình tuyến tính đối với y. Giải hệ này, khi đó có 2 khả năng xảy ra:
Nếu hệ vô nghiệm thì phương án x không tối ưu.
Nếu hệ có nghiệm thì thử các nghiệm vào các ràng buộc còn lại của bài toán đối ngẫu. Nếu mọi nghiệm y không phải là phương án thì x cũng không tối ưu, nếu nghiệm y là phương án thì hai phương án x và y đều tối ưu. Do đó sẽ xác định toàn bộ tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Tương tự tìm tập phương án tối ưu của bài toán gốc.