3 Tính hyperbolic của phần bù các siêu mặt trong không
3.2 Trường hợp phần bù của 2n siêu mặt
Định lý 3.2.1. Cho D là hợp của q siêu mặt bất khả quy ở vị trí tổng quát hình học trong Pn(C). Cho f : C −→ Pn(C) −D là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó ảnh của f là chứa trong một đa tạp con của Pn(C) với 2n−q+ 1
chiều. Đặc biệt, nếu q = 2n thì Pn(C)−D là hyperbolic Brody, ngoại trừ ba trường hợp:
a) D là hợp của 2n siêu phẳng, n siêu phẳng giao nhau tại một điểm p và
n siêu phẳng khác giao với nhau tại điểm q, f(C) được chứa trong đường thẳng nối p và q;
b) D gồm 2n−1 siêu phẳng và một mặt bậc hai nhẵn (Q) sao cho n siêu phẳng giao với nhau tại p và phần còn lại của các siêu phẳng giao với Q
tại q; f(C) được chứa trong đường thẳng nối p và q;
c) D gồm 2n−2 siêu phẳng và hai mặt bậc hai (Q1, Q2) sao cho n−1 siêu phẳng giao với Q1 tại p, n−1 siêu phẳng còn lại giao với Q2 tại q, f(C)
được chứa trong đường thẳng nối p và q và là hai tiếp tuyến tới hai mặt bậc hai trên.
Để chứng minh định lý trên ta cần định lý sau:
Định lý 3.2.2. (Định lý Bezout) Cho hai đường cong phẳng đại số lần
lượt có bậc m và n đồng thời không có thành phần chung nào, thì có đúng
m.n điểm giao nhau. Trong đó, kể cả các giao điểm trùng nhau và các giao điểm ở vô cực.
Bây giờ ta chứng minh định lý 3.2.1
Chứng minh. Cho f : C → Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình. Theo phần 2 của bổ đề 3.1.3 chúng ta suy ra f(C) được chứa trong một đa tạp con của Pn(C) với 2n−q + 1 chiều. Đặc biệt nếu q = 2n thì f(C) được chứa trong một đường cong đại số C1 trong Pn(C). Chúng ta có thể giả sử C1
là bất khả quy bằng cách đưa vào các phần tử bất khả quy. Nếu D bao gồm 2n siêu phẳng ở vị trí tổng quát thì có thể C1 giao D tại 2 điểm (ví dụ C1 là đường thẳng nối điểm p của giao D1, ..., Dn và điểm q của giao
của Dn+1, ..., D2n). Trong trường hợp này chúng ta không thể kết luận
Pn(C)−D là hyperbolic Brody.
Bây giờ chúng ta giả sử có ít nhất một trong các thành phần của D
(gọi là D2n) là bậc hai trơn. Giả sử C1 giao D tại 2 điểm phân biệt. Khi đó, các điểm này phải là các điểm giao của D, gọi p ∈ D1 ∩ ...∩ Dn và
q ∈ Dn+1∩...∩D2n (Do C1 phải giao với mỗi thành phần của D). Nếu C1
có các tiếp tuyến phân biệt tại điểm p thì π−1(p) bao gồm 2 điểm phân biệt trong đó π : C10 → C1 là sự chuẩn hóa của C1. Do đó π−1(p)∪π−1(q)
chứa ít nhất 3 điểm nên
f :C → C10 −π−1(p)∪ π−1(q)
phải là hằng số, do đó f là hằng số. Như vậy chúng ta có thể giả sử C1
không có các tiếp tuyến phân biệt tại điểm p. Do D là ở vị trí tổng quát hình học và tất cả các thành phần của nó là trơn, C1 không thể là tiếp tuyến tới bất kỳ hai trong số D1, ..., Dn. Giả sử C1 không là tiếp tuyến tới
D2, ..., Dn tại p thì C1 phải giao với một trong chúng tại một điểm r khác
p (do p, q, r là ba điểm phân biệt và bất kỳ đường cong bỏ đi ba điểm là hyperbolic) trừ khi C1 là một đường thẳng và D2, ..., Dn là các siêu phẳng (theo định lý giao Bezout). Nếu D1 không là siêu phẳng (mà là một bậc hai trơn) thì C1 phải là tiếp tuyến tới D1 tại p, ngược lại C1 giao D1 tại điểm r khác p và chúng ta đã thu được. Do đó chúng ta xét hai trường hợp: (b) D1 là siêu phẳng hoặc (c) D1 là đường bậc hai trơn và C1 là tiếp tuyến với D1 tại p. Trong cả hai trường hợp chúng ta áp dụng đối số tới điểm q ∈ Dn+1∩...∩D2n. Do D2n là bậc hai trơn, chúng ta có vị trí trong
Dn+1, ..., D2n−1 là các siêu phẳng và C1 là tiếp tuyến tớiD2n. Do đó chúng ta có hai trường hợp
(b) D1, ..., D2n−1 là các siêu phẳng vàD2n là bậc hai trơn vàC1 (đường thẳng) giaoD tại điểmp ∈ D1∩...∩Dn và tại điểmq ∈ Dn+1∩...∩D2n
và C1 là tiếp tuyến tới D2n tại q.
(c) D2, ..., D2n−1 là các siêu phẳng và D1, D2n là các bậc hai trơn, C1
C1 là tiếp tuyến tới D1 tại p và D2n tại q.
Trong cả hai trường hợp C1 giao D tại ít nhất 3 điểm và f(C) được chứa trong C1 không lấy các điểm này nên phải là hằng số.
Định lý trên cũng có kết quả tương ứng trong lý thuyết số, thể hiện trong định lý sau
Định lý 3.2.3. Cho K là một trường số, M(K) là một tập tất cả các định giá của K, và S ⊂ M(K) là một tập hữu hạn chứa tất cả các định giá Acsimet. Giả sử D là hợp của q siêu mặt (bất khả quy) ở vị trí tổng quát hình học trongPn(K). Khi đó tập các (S, D)- điểm nguyênPn(K)−D được chứa trong một hợp hữu hạn các đa tạp con của Pn(K) số chiều(2n−q+1).
Đặc biệt nếu q = 2n thì Pn(K)−D chỉ có hữu hạn (S, D) - điểm nguyên ngoại trừ ba trường hợp sau:
a) D là hợp của 2n siêu phẳng, n siêu phẳng giao nhau tại điểm p và n
siêu phẳng khác giao nhau tại điểm q;
b) D gồm 2n−1 siêu phẳng và một mặt bậc hai trơn (Q) thỏa mãn n siêu phẳng giao nhau tại điểm p và phần còn lại của các siêu phẳng giao với Q tại điểm q;
c) D gồm 2n−2 siêu phẳng và hai mặt bậc hai trơn (Q1, Q2) thỏa mãn
n−1 siêu phẳng giao với Q1 tại điểm p và phần còn lại giao với Q2 tại điểm q.
Kết luận
Luận văn trình bày một số kết quả về điểm nguyên và tính hyperbolic của phần bù các siêu mặt trong không gian xạ ảnh phức. Các kết quả chính của luận văn gồm có:
• Trình bày về số nghiệm nguyên của phương trình Diophantine (Định lý 2.1.4, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.6).
• Trình bày về tính hyperbolic của phần bù các siêu mặt trong không gian xạ ảnh phức (Định lý 3.1.1,Định lý 3.2,Định lý 3.2.3).
Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn là tiếp tục tìm hiểu về xấp xỉ Diophantine và lý thuyết Nevanlinna.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hyperbolic, NXB ĐHSP.
[2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[3] Nguyễn Xuân Liêm (1996), Tô pô đại cương - Độ đo và tích phân, Nhà xuất bản giáo dục.
[4] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự suy biến của các đường cong chỉnh hình và tính hyperbolic Brody P-adic, Luận án tiến sĩ toán học, Trường ĐHSP Vinh.
Tiếng Anh
[5] V.A. Babets (1984),Picard-typer theorems for holomorphic mappings, Siberian Math. J. 25, 195-200.
[6] R. Brody (1978), Compact manifolds and hyperbolicity, Trans. Math. Soc. 235, 213-219.
[7] J. Carlson and P. Griffiths (1972), A defect relation for
equidimensional holomorphic mappings between algebraic varieties, Ann, Math. 95, 557-584.
[8] A. E. Eremenko and M. L. Sodin (1992),The value distribution of meromorphic functions and meromorphic curves from the point of view of potential theory, St. Pertersburg Math. J. 3, No.1,109-136.
[9] J. H. Evertse, K. Gy¨ory (1988), Finiteness criteria for decomposable form equations, Acta Arith. 50, 357-379.
[10] J. H. Evertse, K. Gy¨ory (1985), On unit equations and decomposable form equations, J. reine angew. Math. 358, 6-19.
[11] G. Faltings (1991), Diophantine approximation on abelian varieties, Ann. Math. 133, 549-576.
[12] M. Green (1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varieties, Amer. J. Math. 97, 43-75.
[13] R. Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Grad. Texts Math. 52, Berlin-Heidelberg-New York.
[14] S. Lang (1987), Introduction to complex hyperbolic spaces, Berlin-Heidelberg-New York.
[15] S. Lang (1983), Fundamentals of diophantine geometry, Berlin-Heidelberg-New York.
[16] C. F. Osgood (1985), Sometimes effective
Thue-Siegel-Roth-Schmidt-Nevanlinna bound, or better, J. Numb. Th. 21, 347-389.
[17] M. Ru (1993), Integral points and the hyperbolicity of the complement of hypersurfaces, J. reine angew. Math. 442, 163-176.
[18] M. Ru ( 2001), Nevanlinna theory and its relation to Diophantine Approximation, world scientific Puclishing Co. Plt. Ltd.
[19] M. Ru (1995), Geometric and arithmetic aspects of Pn minus hyperplanes, Amer. Math. 117, 307-201.
[20] M. Ru and P. M. Wong (1991), integral points of Pn– {2n + 1 hyperplanes in general position}, Ivent, Math. 106, 195-206.
[21] H. P. Schlickewei (1990), S-unit equations over number field, Ivent, Math. 102, 95-107.
[22] W. M. Schmidt (1980), Diophantine approximations, Lect. Notes Math. 106, Berlin-Heidelberg-New York.
[23] W. Stoll (1983), The Ahlfors-Weyl theory of meromorphic maps on parabolic manifolds, Lect. Notes Math. 981, 101-219.
[24] P. Vojta (1987), Diophantine approximations and value distribution theory, Lect. Notes Math. 1239, Berlin-Heidelberg-New York.
[25] P. Vojta (1991), Siegel’s theorem in compact case, Ann. Math. 133, 509-548.
[26] M. Zaidenberg (1986), On hyperbolic embedding of complements of divisors and the limiting behavior of the Kobayashi-Royden metric, Math. USSR Sbornik 55. No. 1, 55- 70.