Ma trận T (biểu diễn trong không gian Rn với các vector cơ sở ei nêu trên) được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một cơ sở trong không gian Rn sao cho ma trận T biểu diễn trong cơ sở đó có dạng chéo (Các phần tử ngoài đường chéo bằng 0).
Ví dụ: Khảo sát trên không gian R5 với ma trận chéo 5 × 5.
61 Ở đây, ma trận T được chuyển từ cơ sở {ei} sang cơ sở mới nên ma trận chuyển đổi cơ sở từ {ei} sang C cũng là C. Nếu T chéo hóa được tức là tồn tại ma trận C khả nghịch (tức là C tạo được một cơ sở trong Rn) sao cho:
Tc = C−1TC (4.4) có dạng chéo.
Nếu ta có C là một ma trận có các cột là các vector cơ sở đã được chuẩn hóa của không gian Rn thì CT = C−1, khi đó ta có thể viết:
Tc = CTTC (4.5)
Ta có thể tìm được ma trận C để chéo hóa một ma trận T bằng cách tìm các vector riêng của ma trận T. Ma trận C là ma trận có các cột là các vector riêng của T.
Kì vọng
Đối với thống kê nhiều chiều, mỗi một mẫu thống kê là một vector nhiều chiều. Giả sử ta có một biến ngẫu nhiên X trong không gian tuyến tính n chiều.
X = [x1 x2 . . . xn] T (4.6)
Khi đó kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X cũng là một vector n chiều, trong thống kê, kỳ vọng E[X] của một biến ngẫu nhiên X có thể được ước lượng bằng trung bình mẫu X̅:
X ̅ = 1
M∑Mi−1Xi (4.7) Trong đó M là tổng số mẫu có trong thống kê.
Ma trận hiệp phương sai
Giá trị phương sai trong thống kê một chiều là độ đo mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng. Trong thống kê nhiều chiều, khái niệm này được mở rộng thành ma trận hiệp phương sai:
C = E[X − E[X ]][X − E[X ]]𝑇 (4.8)
Ma trận hiệp phương sai là một ma trận đối xứng. Mỗi phần tử cij của ma trận là hiệp phương sai giữa hai thành phần xi và xj trong vector X.
Nếu cij = 0 ta nói hai thành phần xi và xj là độc lập hay không phụ thuộc lẫn nhau. Nếu cij ≠ 0, ta nói xi và xj không độc lập hay giữa chúng có mối tương quan với nhau.
62 Trong thống kê, ma trận hiệp phương sai được tính như sau:
C = 1
M∑Mi = 1(Xi − X̅)(Xi − X̅)T (4.9)