Hội tụ theo xác suất: Ta nói dãy Z1, Z2,…,Zn các đại lượng ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên Z khi n nếu với mọi 0, ta có
{ n > } 0
P Z Z , khi n .
Luật số lớn: Giả sử X1, X2,…, Xn,…là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố và có kỳ vọng là và phương sai 2. Khi đó trung bình cộng
1 ... n
X X
n
sẽ hội tụ tới theo xác suất.
Định lý 5: Cho X1, X2,… và X là các biến ngẫu nhiên giá trị nguyên không âm. Giả sử
lim r( n) r( )
n E X E X
61 và lim r( ) m / ! 0 r E X r r , m = 0,1,…. Khi đó d n X X .
Định lý 6: Cho ( )n là một hàm bị chặn không âm trên N. Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên giá trị nguyên không âm X1,X2,… sao cho
lim{E (X )r n r}= 0
n
, r = 0,1,…
Khi đó (d X Pn, )0.
Định lý 7: Cho 1 1( )n ,…, m m( )n là các hàm bị chặn không âm trên
N. Với mỗi n, cho X1(n),…,Xm(n) là các biến ngẫu nhiên giá trị nguyên không âm trên không gian xác suất giống nhau. Giả sử với mọi r1,...rm, ta có
1 1 1 1 lim ( ) ... ( ) ... m 0 m r r m m r r n E X n X n .
Khi đó X1(n),…,Xm(n) là tiệm cận độc lập biến ngẫu nhiên Poisson với giá trị trung bình 1,...,m, đó là 1 1 1 lim {X (n) = k ,...,X (n) = k } i i / ! 0 m k m m i i n i P e k . Với mọi k1,...,km.
Định lý 8: Cho (Xn) là một dãy các bnn và n . Giả sử rằng
( ) r ( s)
r n n n
E X o ,
với mọi r và s, 1 r s. Khi đó
(0,1) d n n n X N .
62
Định lý 9: Cho f1(x1,…,xN), f2(x1,…,xN),…, fr(x1,…,xN) là các hàm không âm, không giảm trong mỗi biến xi. Khi đó nếu X1,…, XN là các bnn độc lập, ta có
1 1 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) r r j N j N j j E f X X E f X X . □
63
Tài liệu tham khảo và trích dẫn
[1] Adamic L.A., Buyukkokten O., Adar E., ―A social network caught in the web‖, First Monday 8 (2003).
[2] Albert and Barabasi (2002), ―Statistical mechanics of coplex networks‖, Rev. Modern Phys 74, 47 – 97.
[3] Alon, Fernandez de la Vega, Kannan and Karpinski (2003), ―Random sampling and approximation of MAX – CSPs‖, J. Comput. System Sci. 67, 212 – 243.
[4] Bender and Canfield, ―The asymtotic number of labelled graphs with given degree sequences‖, J. Combinatorial Theory 24, 296 – 307).
[5] Benjamini and Schramm (2001), ―Recurrence of Distributional Limits of Finite Planar Graphs‖, Electronic, J. Probab. 6, paper no. 23, 1 – 13.
[6] Benjamini I., Lov´asz L.: ―Global Information from Local Observation‖, Proc. 43rd Ann. Symp.on Found. of Comp. Sci. (2002), 701-710.
[7] Bolloba’s, ―A probabilistic proof of an asymtotic formula for the number of labelled regular graphs‖, Preprint Series, Matematisk Institut, Aarhus Universitet.
[8] Bolloba’s B. (2011), ―Random Graphs‖, Second Edition, Cambridge University Press.
[9] Bonato A., ―A Course on the Web Graph‖, American Mathematical Society Graduate Studies Series in Mathematics, Providence, Rhode Island, 2008.
64
[10] Bonato A., Hadi N., Horn P., Pralat P., Wang C., ―Model of On-line Social Networks‖.
[11] Bonato A., Janssen J., ―Infinite limits and adjacency properties of a generalized copying model‖, Internet Mathematics 4 (2009) 199- 223.
[12] Bonato A., Tian A., ―Complex Networks and Social Networks‖. [13] Borgs C., Chayes J. T., Lova’sz L. (2008), ―Convergent Graph
Sequences I: Subgraph frequencies, metric properties, and testing‖, Advances in Math.
[14] Borgs C., Chayes J. T., Lova’sz L. , ―Convergent Graph Sequences II: Multiway Cuts and Statistical Physics (submitted)‖,
http://www.cs.elte.hu.
[15] Borgs, Chayes, Lova’sz, ―Moments of Two – Variable Functions
and the Uniqueness of Graph Limits‖,
http://www.cs.elte.hu/~lovasz/limitunique.pdf.
[16] Bruno, Preiss, ―Data Structures and Algorithms”, Department of Electrical and Computer Engineering University of Waterloo, Waterloo, Canada.
[17] Chung F., ―Spectral Graph Theory‖, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1997.
[18] Chung F., Graham R. L., Wilson R. M. (1989), ―Quasi – random graphs‖, Combinatorica 9, 345 – 362.
[19] Chung F., Lu L., and Vu V.. ―Eigenvalues of Random Power Law Graphs‖ Annals of Combinatorics 7 (2003), 21—33.
[20] Chung F., Lu L., Dewey T., Galas D., ―Duplication models for biological networks‖, Journal of Computational Biology 10 (2003) 677-687.
65
[21] Chung F., Lu L., Vu V., ― The Spectra of Random Graphs with Given Expected Degrees‖.
[22] Erdos and Re’nyi (1959), ―On random graphs I ‖, Publ. Math. Debrecen 6, 290 – 297.
[23] Erdos, Lovasz and Spencer, ―Strong independence of graphcopy functions‖, in: Graph theory and Related Topics, Academic Press, 165 – 172.
[24] Estrada E., ―Spectral scaling and good expansion properties in complex networks‖, Europhys.Lett. 73 (2006) 649–655.
[25] Freedman M., Lova’sz L., Schrijver A. (2007), ―Reflection positivity, rank connectivity, and homomorphisms of graphs‖, Math. Soc. 20, 37 – 51.
[26] Frieze and Kannan, ―Quick approximation to matrices and applications‖, Combinatorica 19, 175 – 220.
[27] Gilbert (1959), ―Random graphs‖, Ann. Math. Stat. 30, 1141 – 1144.
[28] Gradshteyn and Ryzhik, (1980), ―Table of Integrals, Series and Products‖. Academic Press, New York, xiv+1160 pp.
[29] Harary and Palmer, (1973), ―Graphical Enumeration‖. Acedemic Press, New York, xiv, p. 175).
[30] Janson S., Luczak T., Ruczynki A. (2000),―Random Graphs‖, Wiley.
[31] Java A., Song X., Finin T., Tseng B., ―Why we twitter: understanding microblogging usage and communities‖, In:
66
Proceedings of the Joint 9th WEBKDD and 1st SNA-KDD Workshop 2007, 2007.
[32] Kumar R., Novak J., Tomkins A., ―Structure and evolution of on- line social networks‖, In: Proceedings of the 12th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, 2006.
[33] Kwak H., Lee C., Park H., Moon S., ―What is Twitter, a social network or a news media?‖, In: Proceedings of the 19th International World Wide Web Conference, 2010.
[34] Leskovec J., Chakrabarti D., Kleinberg J., Faloutsos C., ―Realistic, mathematically tractable graph generation and evolution, using Kronecker multiplication‖, In: Proceedings of European Conference on Principles and Practice of Knowledge Discovery in Databases, 2005.
[35] Leskovec J., Kleinberg J., Faloutsos C., ―Graphs over time: densification Laws, shrinking diameters and possible explanations‖, In: Proceedings of the 13th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, 2005.
[36] Linked (2002), ―The New Science of Networks‖, Perseus, Cambridge, MA.
[37] Lova’sz L.(2009), “Very larger graphs”, arXiv: 09020132v1[math. CO].
[38] Lova’sz L. (2006), ―The rank of connection matrices and the dimension of graph algebras‖, Eur. J.Comb 27, 962 – 970.
[39] Lova’sz L., Szegedy B. (2006), ―Limits of dense graph sequences‖, J. Comb. Theory B 96, 933 – 957.
67
[40] Lova’sz L., Szegedy B. (2007), ―Szemere‟di‟s Lemma for the analyst‖, Geom. Func. Anal. 17, 252 – 270.
[41] Mislove A., Marcon M., Gummadi K., Druschel P., Bhattacharjee B., ―Measurement and analysis of on-line social networks‖, In: Proceedings of the 7th ACM SIGCOMM Conference on Internet Measurement, 2007.
[42] Szemere’di E. (1975),―On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression‖, Acta Artihmatica 27, 199 – 245.
[43] Szemere’di E. (1978), ―Regular partitions of graphs‖, Colloque Inter. CNRS, 399 – 401.
[44] Thomason (1987), ―Pseudorandom graphs‖, in: Random graphs 85 North – Holland Math. Stud. 144, North – Holland, Amsterdam, 307 – 331.
[45] Watts D. J. , Strogatz S. H. , ―Collective dynamics of „small-world‟ networks‖, Nature 393 (1998), 440–442.