C B= G ⇒ 2F = G ⇒ F = G (1)
B. Aựp dúng: 1) Baứi 1:
Cho tửự giaực ABCD coự M laứ trung ủieồm CD, N laứ trung ủieồm CB. Bieỏt AM, AN caột BD thaứnh ba ủoán baống nhau. Chửựng minh raống ABCD laứ hỡnh bỡnh haứnh H G F E N M D C B A Giaỷi
Gói E, F laứ giao ủieồm cuỷa AM, AN vụựi BD; G, H laứ giao ủieồm cuỷa MN vụựi AD, BD
MN // BC (MN laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa ∆BCD)
⇒ Tửự giaực HBFM laứ hỡnh thang coự hai cánh bẽn ủoứng quy tái A, N laứ trung ủieồm cuỷa ủaựy BF nẽn theo boồ ủề hỡnh thang thỡ N laứ trung ủieồm cuỷa ủaựy MH
⇒MN = NH (1)
Tửụng tửù : trong hỡnh thang CDEN thỡ M laứ trung ủieồm cuỷa GN ⇒ GM = MN (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra GM = MN = NH
Ta coự ∆BNH = ∆CNM (c.g.c) ⇒ BHN = CMNã ã ⇒ BH // CM hay AB // CD (a)
Tửụng tửù: ∆GDM = ∆NCM (c.g.c) ⇒ DGM = CNMã ã ⇒ GD // CN hay AD // CB (b)
Tửứ (a) vaứ (b) suy ra tửự giaực ABCD coự caực caởp cánh ủoỏi song song nẽn laứ hỡnh bỡnh haứnh
2) Baứi 2:
Cho ∆ABC coự ba goực nhón, trửùc tãm H, moọt ủửụứng thaỳng qua H caột AB, AC thửự tửù tá P, Q sao cho HP = HQ. Gói M laứ trung ủieồm cuỷa BC. Chửựng minh: HM ⊥PQ I K N M Q P H C B A Giaỷi
Gói giao ủieồm cuỷa AH vaứ BC laứ I Tửứ C keỷ CN // PQ (N∈ AB),
ta chửựng minh MH ⊥CN ⇒ HM ⊥PQ
Tửự giaực CNPQ laứ hỡnh thang, coự H laứ trung ủieồm PQ, hai cánh bẽn NP vaứ CQ ủồng quy tái A nẽn K laứ trung ủieồm CN ⇒ MK laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa ∆BCN ⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1)
H laứ trửùc tãm cuỷa ∆ABC nẽn CH⊥A B (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra MK ⊥CH ⇒ MK laứ ủửụứng cao cuỷa∆CHK (3) Tửứ AH ⊥BC ⇒ MC⊥HK ⇒ MI laứ ủửụứng cao cuỷa ∆CHK (4)
Tửứ (3) vaứ (4) suy ra M laứ trửùc tãm cuỷa ∆CHK⇒ MH⊥CN ⇒ MH⊥PQ
3) baứi 3:
Cho hỡnh chửừ nhaọt ABCD coự M, N thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa AD, BC. Gói E laứ moọt ủieồm baỏt kyứ thuoọc tia ủoỏi cuỷa tia DC, K laứ giao ủieồm cuỷa EM vaứ AC.
Chửựng minh raống: NM laứ tia phãn giaực cuỷa KNEã Giaỷi
Gói H laứ giao ủieồm cuỷa KN vaứ DC, giao ủieồm cuỷa AC vaứ MN laứ I thỡ IM = IN
Ta coự: MN // CD (MN laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa hỡnh chửừ nhaọt ABCD)
⇒ Tửự giaực EMNH laứ hỡnh thang coự hai cánh bẽn EM vaứ HN ủồng quy tái K vaứ I laứ trung ủieồm cuỷa MN nẽn C laứ trung ủieồm cuỷa EH
//// // I H E N M K D C B A
Trong ∆ENH thỡ NC vửứa laứ ủửụứng cao, vửứa laứ ủửụứng trung tuyeỏn nẽn ∆
ENH cãn tái N ⇒ NC laứ tia phãn giaực cuỷa ENHã maứ NC ⊥MN (Do NM ⊥
BC – MN // AB) ⇒ NM laứ tia phãn giaực goực ngoaứi tái N cuỷa ∆ENH Vaọy NM laứ tia phãn giaực cuỷa KNEã
HM M G F E D C B A
Trẽn cánh BC = 6 cm cuỷa hỡnh vuõng ABCD laỏy ủieồm E sao cho BE = 2 cm. Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia CD laỏy ủieồm F sao cho CF = 3 cm. Gói M laứ giao ủieồm cuỷa AE vaứ BF. Tớnh AMCã
Giaỷi
Gói giao ủieồm cuỷa CM vaứ AB laứ H, cuỷa AM vaứ DF laứ G Ta coự: BH AB BH 6 = CF FG ⇔ 3 =FG Ta lái coự AB BE 2 1 = = CG = 2AB = 12 cm CG EC 4 = ⇒2 ⇒ FG = 9 cm ⇒ BH 6 BH = 2 cm 3 = ⇒9 ⇒ BH = BE
∆BAE = ∆BCH (c.g.c) ⇒ BAE = BCH ã ã maứ BAE + BEA ã ã = 900
Maởt khaực BEA = MEC ; MCE = BCH ã ã ã ã ⇒ MEC + MCE ã ã = 900 ⇒ AMCã = 900 Baứi 5:
Cho tửự giaực ABCD. Qua ủieồm E thuoọc AB, H thuoọc AC veừ caực ủửụứng thaỳng song song vụựi BD, caột caực cánh coứn lái cuỷa tửự giaực tái F, G a) Coự theồ keỏt luaọn gỡ về caực ủửụứng thaỳng EH, AC, FG
b) Gói O laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ BD, cho bieỏt OB = OD. Chửựng minh raống ba ủửụứng thaỳng EG, FH, AC ủồng quy
a) Neỏu EH // AC thỡ EH // AC // FG
Neỏu EH vaứ AC khõng song song thỡ EH, AC, FG ủồng quy b) Gói giao ủieồm cuỷa EH, HG vụựi AC
Trong hỡnh thang DFEB coự hai cánh bẽn DF, BE ủồng quy tái A vaứ OB = OD nẽn theo boồ ủề hỡnh thang thỡ M laứ trung ủieồm cuỷa EF
Tửụng tửù: N laứ trung ủieồm cuỷa GH
O H H G F E N M D C B A Ta coự ME MF =
GN HN nẽn ba ủửụứng thaỳng EG, FH, AC ủồng quy tái O