Dạng 5: Toán về logarit có nội dung thực tế

2.1.5.1. Kiến thức cơ bản.

- Sử dụng linh hoạt các phép biến đổi toán học, các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit vào bài toán cụ thể.

- Kiểm tra tính tương đương của các phép biến đổi.

2.1.5.2. Kĩ năng cơ bản.

- Biết suy luận từ những vấn đề thực tế sang những quan hệ toán học.

- Thành thạo các kĩ năng biến đổi toán học liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.

2.1.5.3. Phƣơng pháp chung.

- Khai thác những mối quan hệ toán học trong những vấn đề cụ thể, từ đó chuyển những vấn đề đó sang ngôn ngữ toán.

- Sử dụng những kiến thức toán học đã biết để giải bài toán vừa xây dựng.

2.1.5.4.Bài tập vận dụng.

Bài 1. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quí với lãi xuất 1,65% một quí, hỏi sau bao lâu người đó có ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (giả sử lãi suất không thay đổi).

Bài giải:

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi sẽ có được sau n quí là:

15(1 0, 0165)n 15.1, 0165n S    (triệu đồng). Từ đó lgS lg15 nlg1,0165 hay lg lg15 lg1, 0165 S n 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 lg 20 lg15 17,58 lg1, 0165 n   (quí).

Vậy, sau khoảng 4 năm sáu tháng (4 năm 2 quí) người gửi sẽ được ít nhất 20 triệu đồng từ số vốn 15 triệu đồng ban đầu (vì hết quí thứ 2, người gửi mới nhận lãi của quí đó).

*)Chú ý: Thông qua bài toán 1, HS thấy được toán học có thể áp dụng vào những vấn đề hết sức bình thường gặp trong đời sống. Điều đó phần nào tạo hứng thú học tập cho các em.

Bài 2: Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutanium 239

Pu là 24360

năm (tức là một lượng 239

Pu sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa).

Sự phân hủy được tính theo công thức: rt

S  Ae , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10( gam) 239

Pu sau bao

nhiêu năm sẽ phân hủy còn 1 (gam)?

Bài giải:

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ phân hủy hàng năm của 239

Pu .

Vì 239

Pu có chu kì bán hủy là 24360 (năm) do đó ta có:

.24360

5 10. er

Suy ra: ln 5 ln10 2,84543.10 5 0, 000028

24360

r       

Vậy sự phân hủy của 239

Pu được tính theo công thức: S  A e. 0,000028t

Trong đó S và A tính bằng gam, t tính bằng năm. Theo bài ra, ta có: 1 10. e0,000028t.

Suy ra: ln10 82235,18

0, 000028

t 

 

 (năm) .

Vậy sau khoảng: 82235,18 (năm) thì 10 (gam) chất 239

Pu sẽ phân hủy còn 1 (gam).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

48

Bài 3: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn được tính theo công thức:

. rt

SA e , trong đó: A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r0), t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Bài giải:

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này.

Từ giả thiết: 5

300 100. er, suy ra ln 300 ln100 ln 3 0, 2197

5 5

r 

  

Tức tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97 % mỗi giờ. Sau 10 giờ, từ 100 con vi khuẩn sẽ có: 10.0,2197

10.e 900 (con).

Từ 100 con, để có 200 con thì thời gian cần thiết là:

ln 200 ln100 ln 2

3,15 0, 2197 0, 2197

t   

(giờ) = 3 giờ 9 phút.

*) Nhận xét: Như vậy nhiều vấn đề trong thực tế cũng như trong các môn học khác như: Vật lí, Sinh học, Hóa học đều có thể nhìn nhận theo quan điểm của Toán học. Ở những bài tập trên, HS đã thấy được ứng dụng của những kiến thức toán học mà cụ thể là những kiến thức liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong việc giải đáp những vấn đề mà tưởng chừng như không hề liên quan đến kiến thức toán.

2.1.5.5.Bài tập tham khảo:

Bài tập 1: Dân số được ước tính theo công thức SAe. ni, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, Slà dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Cho biết năm 2003, Việt Nam có 80 902 400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi năm 2010 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không thay đổi?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

49

Bài tập 2: Một người gửi tiêt kiệm với lãi suất 9,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

2.2.Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm đạo hàm, cực trị liên quan tới hàm số mũ, logarit