ðịnh nghĩa 1. ða thức với hệ số nguyên f(x) gọi là nguyên bản nếu các hệ số của f(x) không
có ước chung nào khác ngoài 1± .
Bổñề 1. Tích của hai ña thức nguyên bản là một ña thức nguyên bản.
Bổñề 2. Nếu f(x) là một ña thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn 0 và f(x) không bất khả quy
trong ℚ[ ]x , thì f(x) phân tích ñược thành một tích những ña thức bậc khác 0 với hệ số nguyên.
Chứng minh
Giả sử f(x) không bất khả quy trong ℚ[ ]x , thế thì ta có ( ) ( ). ( )
f x =ϕ x ψ x
với ( )ϕ x và ( )ψ x là những ước thực sự của f(x) trong [ ]ℚ x . Ta có thể viết
( )x a g x( ), ( )x c h x( )
b d
ϕ = ψ =
( ) p ( ) ( ) f x g x h x q = với p ac q =bd và p, q nguyên tố cùng nhau.
Ta kí hiệu các hệ số của ña thức g(x)h(x) bằng ei, thế thì theo bổ ñề 1, g(x)h(x) là nguyên bản, cho nên các ei không có ước chung nào khác ngoài 1± . Mặt khác vì
( ) [ ]
f x ∈ℤ x nên các số pei
q phải là nguyên, do ñó q chia hết mọi ei vì q nguyên tố với p. Ta suy ra q= ±1, tức là ( )f x = ±p g x h x( ) ( ).
Vì ( )ϕ x và ( )ψ x là những ước thực sự của f(x) trong [ ]ℚ x , nên g(x) và h(x) là những ña thức bậc khác 0 của [ ].ℤ x
Tiêu chuẩn Aidenstainơ.
Giả sử
0 1
( ) ... n ( 1)
n f x =a +a x+ +a x n>
là một ña thức với hệ số nguyên, và giả sử có một số nguyên tố p sao cho p không chia hết hệ
số cao nhất a , nhn ưng p chia hết các hệ số còn lại và p không chia h2 ết số hạng tự do a . 0 Thế thì ña thức f(x) bất khả quy trong ℚ[ ]x .
Chứng minh. Giả sử f(x) có những ước thực sự trong [ ]ℚ x . Theo bổ ñề 2, f(x) có thể viết f(x) = g(x)h(x) trong ñó 0 1 0 1 ( ) ... , 0 ( ) ... , 0 r r i s s i g x b b x b x b r n h x c c x c x c s n = + + + ∈ < < = + + + ∈ < < ℤ ℤ Ta có 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 ... ... ... k k k k n r s a b c a b c b c a b c b c b c a b c − = = + = + + + =
Theo giả thiết p chia hết a0=b c0 0, vì vậy p là nguyên tố, nên hoặc p chia hết cho b0, hoặc p chia hết cho c0. Giả sử p chia hết cho b0, thế thì p không chia hết cho c0, vì nếu thế thì 2
p sẽ chia hết a0 =b c0 0, trái với giả thiết. p không thể chia hết cho mọi hệ số của g(x), vì nếu thế p sẽ chia hết an =b cr s, trái với giả thiết. Vậy giả sử bk là hệ số ñầu tiên của g(x) không chia hết cho p. Ta hãy xét ak =b ck 0+b ck−1 1+...+b c0 k
Trong ñó a bk, k−1,...,b0 ñều chia hết cho p. Vậy b ck 0 phải chia hết cho p, hoặc c0 chia hết cho p, mâu thuẫn với giả thiết về bk và c0.
Ví dụ.
1) ða thức x4+6x3−18x2+42x+12 là bất khả quy trong [ ]ℚ x . Thật vậy ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Aidenstainơ với p = 3.
2) ða thức n n 1 n 2 ...
x +px − + px − + + p với p là một số nguyên tố tùy ý, là bất khả quy trong [ ]x
ℚ .
*) Tài liệu học tập
[1]. Hoàng Xuân Sính, (2006), ðại sốñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.
[2]. Bùi Huy Hiền, (1996), Bài tập ñại sốñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3]. Nguyễn Hữu Việt Hưng, (1998), ðại sốñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận Phần : ða thức với hệ số thực và phức
2.1. Trong vành ℂ[ ]x (ℂ là trường số phức) hãy phân tích các ña thức :
2 , 4 1 , 2 4 3, 7 1 3
x +i x − −i x − i+ x − −i thành một tích những ña thức bất khả quy.
2.2. Biểu diễn hình học các nghiệm của ña thức
( ) p 1
f x =x −
( ) ( )m ( 0)
g x = x−a −b a≠
Từ ñó suy ra rằng ( )f x và ( )g x có không quá hai nghiệm chung.
2.3. Tìm các nghiệm phức của ña thức
2 3 3
( ) (1 ) 8
f x = −x + x
Phân tích ña thức ( )f x thành tích những ña thức bất khả quy với hệ số thực.
2.4. Trong vành ℂ[ ]x chứng minh rằng ña thức ( )f x chia hết cho ña thức ( )g x khi và chỉ khi mọi nghiệm của ( )g x ñều là nghiệm của ( )f x và mọi nghiệm bội cấp k của ( )g x cũng là nghiệm bội cấp lớn hơn k của ( )f x .
2.5. Trong vành ℚ[ ]x (ℚ là trường số hữu tỷ), chứng minh rằng ña thức
3 3 1 3 2
( ) k l n
f x =x +x + +x + chia hết cho ña thức g x( )=x2+ +x 1 với , ,k l n∈ℕ.
2.6. Trong vành ℚ[ ]x , chứng minh rằng ña thức f x( )=x3=3n x2 +n3, với n là một số tự nhiên khác 0, là một ña thức bất khả quy.
2.7. Giả sử α= +1 i.
a) Biểu diễn α dưới dạng lượng giác. Tìm môñun và ac-gu-men của αn và α−n. b) Viết αn và α−n dưới dạng a bi+ .
d) Chứng minh rằng mọi số phức z tùy ý ñều có thể biểu diễn ñược một cách duy nhất dưới dạng z= +x yα với x, y là những số thực. e) Chứng minh rằng ánh xạ : f ℂ→M 2 2 x y z x y y x y α = + − + ֏
từ vành số phức ñến vành các ma trận thực vuông cấp 2 là một ñẳng cấu. Từ ñó suy ra rằng tập hợp các ma trận thực vuông cấp 2 dạng 2 2 x y y x y − + là một trường. f) Tính 0 1 2 2 n −
2.8. Giải các phương trình bậc ba sau:
a) 4y3−36y2+84y−20 0= b) x3− − =x 6 0
c) x3+18x+15 0= d) x3+3x2−6x+ =4 0
2.9. Chứng minh (bằng ña thức ñối xứng):
2 2 2 3 2
1 2 2 3 1 3
(x −x ) (x −x ) (x −x) = −4p −27q
với x x x1, ,2 3 là nghiệm của phương trình
3 0 x +px+ =q . 2.10. Giải các phương trình a) x4−3x3+x2+4x− =6 0 b) x4−4x3+3x2+2x− =1 0 c) x4+2x3+8x2+2x+ =7 0 d) x4+6x3+6x2− =8 0
Phần: ða thức với hệ số hữu tỷ
2.11. Tìm nghiệm hữu tỷ của các ña thức
a) x3−6x2+15x−14 b) 2x3+3x2+6x−4
c) x6−6x5+11x4−x3−18x2+20x−8 d) x5+2x4+6x3+3x2−42x−48
2.12. Giả sử p
q với ,p q∈ℤ nguyên tố cùng nhau, là nghiệm của ña thức
1
1 ... 0
n n n n
a x +a − x − + +a
với hệ số nguyên. Chứng minh rằng: a) p a| và |q a
b) p−mq là ước của ( )f m với m nguyên, ñặc biệt p – q là ước của f(1), p + q là ước của f(-1).
2.13. Áp dụng bài tập 12 ñể tính nghiệm hữu tỷ của ña thức
5 4 3 2
10x −81x +90x −102x +80x−21
2.14. Chứng minh rằng ña thức f(x) với hệ số nguyên không có nghiệm nguyên nếu f(0) và
f(1) là những số lẻ.
2.15. Giả sử p(x) là một ña thức với hệ số nguyên và p(x) bất khả quy trong Z[ ]x . Chứng minh rằng, trong Z[ ]x , nếu p(x) | f(x)g(x), thì hoặc p(x) | f(x) hoặc p(x) | g(x).
2.16. Trong vành Z[ ]x chứng minh rằng mọi ña thức, khác 0 và khác 1± , ñều có thể viết dưới dạng tích những ña thức bất khả quy.
2.17. Dùng tiêu chuẩn Aidenstainơ ñể chứng minh rằng các ña thức sau bất khả quy trong
[ ]x ℚ a) x4−8x3+12x2−6x+3 b) x4−x3+2x+1 c) p 1 p 2 ... 1 x − +x − + + +x với p là số nguyên tố.
2.18. Tìm ñiều kiện cần và ñủ ñể ña thức x4+ px2+q là bất khả quy trong ℚ[ ]x .
2.19. Giả sử f x( ) (= x−a1)(x−a2)...(x−an) 1− , với các ailà các số nguyên phân biệt. Chứng minh rằng f(x) là bất khả quy trong ℚ[ ]x .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Hoàng Xuân Sính (2006), ðại số ñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục. [2]. Bùi Huy Hiền (1996), Bài tập ñại số ñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục. [3]. Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), ðại số ñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.