5. Các phụ thuộc dữ liệu
5.1.Phụ thuộc hàm và tập các luật suy dẫn
Trong mô hình cổ điển của CSDLQH, ngữ nghĩa tự nhiên của một phụ thuộc hàm có thể được hiểu là có một thuộc tính hoặc một tập thuộc tính mà các giá trị của nó xác định duy nhất một bộ của quan hệ thoả phụ thuộc hàm này. Như vậy, về trực giác có thể thấy rằng phụ thuộc hàm liên quan trực tiếp đến dư thừa dữ liệu và vì vậy nó là một trong những vấn đề trung tâm được nghiên cứu trong lý thuyết thiết kế CSDL.
Cho R(U) là một lược đồ quan hệ có m thuộc tính U={A1, A2,…, Am} tương ứng với các miền D1, D2,…, Dm. Cho X là tập các thuộc tính (X⊆U), hai bộ t1=(d11, d12,…, d1m) và t2=(d21, d22,…, d2m), nói rằng t1, t2 thừa (hay tương đương) đối với nhau trên X và viết t1[X]≈t2[X] nếu ∀j: Dj⊆X ta có ∀x∈d1j ∃x’∈d2j: x∼x’, và ngược lại ∀x∈d2j ∃x’∈d2j: x∼x’.
Định nghĩa 2.12. Một phụ thuộc hàm mờ X≈→αY được gọi là được thoả trong quan hệ r (với ngưỡng α) khi với hai bộ bất kỳ t1, t2∈r: nếu có t1[X]≈t2[X] thì cũng có t1[Y]≈t2[Y].
Khi xét quan hệ r với một ngưỡng α đã xác định, không sợ nhầm lẫn chúng ta viết X≈→Y thay vì viết X≈→αY. Có những trường hợp cần thiết chúng ta sẽ viết cụ thể XαX≈→YαY.
Trong phần tiếp theo sẽ giả sử rằng một lược đồ quan hệ mờ R(U) đã cho với tập các thuộc tính U, một tập các phụ thuộc hàm mờ chỉ chứa các thuộc tính trong tập U. Với một ngưỡng α xác định, các luật suy dẫn tương tự với các tiên đề suy dẫn Amstrong trong trường hợp cổ điển là:
FFD1: phản xạ Nếu Y⊆X thì có X≈→Y.
FFD2: tăng trưởng Nếu có X≈→Y thì có XZ≈→YZ.
FFD3: bắc cầu Nếu có X≈→Y và Y≈→Z thì có X≈→Z.
Bổ đề 2.7. Tập các tiên đề suy dẫn (FFD1-FFD3) là xác đáng . Nghĩa là, nếu X≈→Y được suy dẫn từ một tập các phụ thuộc hàm mờ F nhờ sử dụng các tiên đề này thì X≈→Y được thoả trong bất kỳ quan hệ mờ nào thoả tất cả các phụ thuộc hàm trong F.
Chứng minh:
(FFD1) Dễ dàng thấy tiên đề phản xạ đúng.
(FFD2) Giả sử t1, t2∈r sao cho t1[XZ]≈t2[XZ] (1) từ định nghĩa của “≈” chúng ta có t1[X]≈t2[X].
Vì có X≈→Y nên t1[Y]≈t2[Y] (2)
(1) cho thấy ∀j: Dj∈XZ thì ∀x∈d1j ∃x’∈d2j: x≈x’ và ngược lại. (2) cho thấy ∀j: Dj∈Y thì ∀x∈d1j ∃x’∈d2j: x≈x’, và ngược lại.
Do vậy chúng ta có ∀j: Dj∈YZ thì ∀x∈d1j ∃x’∈d2j: x≈x’, và ngược lại. Điều này cũng có nghĩa là chúng ta có XZ≈→YZ.
(FFD3) Nếu t1[X]≈t2[X] thì t1[Y]≈t2[Y] do X≈→Y và t1[Z]≈t2[Z] do Y≈→Z. Từ các tiên đề trên chúng ta có thể suy dẫn ra các tiên đề sau:
FFD4: Hợp Nếu có X≈→Y và có X≈→Z thì có X≈→YZ. FFD5: Tách Nếu có X≈→YZ thì có X≈→Y và có X≈→Z.
FFD6 : Giả bắc cầu Nếu có X≈→Y và có YW≈→Z thì có XW≈→Z.
Định lý 2.2. Tập các tiên đề suy diễn (FFD1-FFD3) là xác đáng và đầy đủ. Chứng minh tính đủ của hệ tiên đề tương tự trường hợp cổ điển.