Định nghĩa 4.1.1. Cho hàm ba biến f(x, y, z) xác định trong miền bị chặn V của không gian Oxyz. Chia tùy ý miền V thành nmiền nhỏ không dẫm lên nhau có tên và thể tích gọi chung là ∆V1,∆V2, ...∆Vn. Trong mỗi miền nhỏ ∆Vi lấy điểm tùy ý (xi, yi, zi) và lập tổng τn = n X i=1 f(xi, yi, zi)∆Vi.
Gọi di là đường kính của miền con ∆Vi. Nếu khi n→ ∞ sao cho maxdi →0 mà tồn tại giới hạn
I = lim
maxdi→0τn (2.4)
không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm (xi, yi, zi) thì giới hạn trên được gọi là tích phân ba lớp của hàm f(x, y, z) lấy trên miền V và được kí hiệu là
Z Z Z
V
f(x, y, z)dV, (2.5)
trong đó f(x, y, z) là hàm dưới dấu tích phân, V là miền lấy tích phân, dS là yếu tố thể tích.
Nếu hàm f(x, y, z) có tích phân ba lớp trong miền V thì ta nói f(x, y, z) khả tích trong miền V. Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để f(x, y, z) khả tích trong miền
V.
Định lí 4.1.1. Nếu f(x, y, z) liên tục trong miền hữu hạn V thì f(x, y, z) khả tích trong miền V.
Chú ý 4.1.1.
1. Vì giá trị của tích phân ba lớp không phụ thuộc vào cách chia miền V nên ta có thể chọn cách chia miền V bởi các mặt phẳng song song với các mặt
Oxy, Oyz, Ozx. Khi đó các miền nhỏ ∆Vi (trừ một số không đáng kể các ∆Vi giao với biên) là hình hộp chữ nhật nên ta có dV =dxdydz. Vì vậy tích phân ba lớp thường được kí hiệu dưới dạng
Z Z Z
V
f(x, y, z)dxdydz.
2. Tích phân ba lớp của f(x, y, z) = 1 lấy trên miền ω chính là thể tích của miền
ω, tức là V(ω) = Z Z Z ω dV = Z Z Z ω dxdydz.