Trong phương pháp này, trước hờ́t ta xác định dạng các nhõn tử chứa biờ́n của đa thức, rụ̀i gán cho các biờ́n các giá trị cụ thờ̉ đờ̉ xác định các nhõn tử còn lại.
Vớ dụ . Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).
Lời giải
Thay x bởi y thỡ P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y).
Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thỡ p khụng đổi (đa thức P cú thể hoỏn vị vũng quanh). Do đú nếu P đó chứa thừa số (x – y) thỡ cũng chứa thừa số (y – z), (z – x). Vậy P cú dạng k(x – y)(y – z)(z – x).
Ta thấy k phải là hằng số vỡ P cú bậc 3 đối với tập hợp cỏc biến x, y, z, cũn tớch (x – y)(y – z)(z – x) cũng cú bậc 3 đối với tập hợp cỏc biến x, y, z.
Vỡ đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đỳng với mọi x, y, z nờn ta gỏn cho cỏc biến x ,y, z cỏc giỏ trị riờng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được:
4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1
VIII. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA Vấ̀ Mệ̃T Sễ́ ĐA THỨC ĐẶC BIậ́T1. Đưa vờ̀ đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc 1. Đưa vờ̀ đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc
Ví dụ . Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
a) a3 + b3 + c3 - 3abc.
b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.
Lời giải
a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc
= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)
b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c. Theo cõu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 ị a3 + b3 + c3 = 3abc.
Vọ̃y (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
2. Đưa vờ̀ đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
Ví dụ 21. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.
b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.
Lời giải
a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]= 3(a + b)(b + c)(c + a). b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c).
Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
Theo kờ́t quả cõu a) ta có :
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3
= 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)