Trong thời gian gần đây, các nhà nghiên cứu đã đưa ra một số phương pháp phân vùng dựa trên những hướng tiếp cận mới, trong đó có hướng tiếp cận phân vùng dựa trên đồ thị. Đối với phương pháp này, hình ảnh sẽ được mô tả như một đồ thị với các đỉnh của đồ thị là các điểm ảnh và các cạnh trên đồ thị nối các điểm ảnh lân cận với nhau.
Từ trước đến nay, các phương pháp phân vùng dựa trên đồ thị chỉ dừng lại ở việc lựa chọn các cạnh từ một đồ thị để thực hiện việc phân vùng ảnh. Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp phân vùng ảnh dựa trên lý thuyết đồ thị. Khác với các phương pháp phân vùng dựa trên đồ thị khác, phương pháp phân vùng dựa trên lý thuyết đồ thị thực hiện việc phân vùng dựa trên mức độ biến thiên giữa các vùng lân cận trong ảnh. Cụ thể, phương pháp này so sánh sự khác nhau trong nội tại của một vùng so với sự khác nhau của vùng đó so với các vùng khác.
a) Biểu diễn ảnh nhƣ là một đồ thị.
Kỹ thuật phân vùng ảnh dựa trên lý thuyết đồ thị biểu diễn ảnh như là một đồ thị G = (V, E). Trong đó, V là tập hợp các đỉnh và E là tập hợp các cạnh của đồ thị. Mỗi đỉnh vi ∈ V tương ứng với các điểm ảnh và các cạnh (vi , vj) ∈ E tương ứng là cạnh kết nối các cặp điểm ảnh lân cận. Mỗi cạnh (vi , vj) ∈ E có một trọng số tương ứng là sự khác nhau về màu sắc, cường độ giữa hai điểm ảnh lân cận vi, vj và được ký hiệu là w(vi,vj).
V : Tập đỉnh
E : Tập các cạch kết nối
Ảnh = {Điểm ảnh} Điểm ảnh tương tự
Hình 1.7 Biểu diễn ảnh dƣới dạng một đồ thị
Đỉnh liền kề.
Hai đỉnh vi và vj của đồ thị G được gọi là kề nhau nếu (vi,vj) là cạnh của đồ thị G. Nếu e = (vi, vj) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này nối đỉnh vi và đỉnh vj, đồng thời các đỉnh vi và vj sẽ được gọi là các đỉnh đầu của cạnh (vi, vj). Khi đó, bậc deg(v) của đỉnh v là số cạnh nối với nó. Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập, còn đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo.
Đồ thị con và đồ thị riêng.
Đồ thị G’ = (V’, E’) được gọi là đồ thị con của đồ thị G nếu V’⊆ V và E’= E ∩ (V’ × V’).
Đồ thị G”= (V, E”) với E” ⊆ E, được gọi là đồ thị riêng của đồ thị G.
Mỗi tập con các đỉnh V’ của đồ thị tương ứng duy nhất với một đồ thị con, do vậy để xác định một đồ thị con ta chỉ cần nêu tập đỉnh của nó.
Còn đồ thị riêng là đồ thị giữ nguyên tập đỉnh và bỏ bớt đi một số cạnh.
Cây bao trùm tối thiểu.
trên cây gọi là lá, và tất cả các cạnh được gọi là cành. Một cây được gọi là cây bao trùm của đồ thị G nếu cây đó chứa tất cả các đỉnh của đồ thị G. Hay nói cách khác, cây đó là một đồ thị riêng của đồ thị G.
Một cây được gọi là cây bao trùm tối thiểu của đồ thị G nếu chứa tất cả các đỉnh của G và trọng số mỗi cạnh kết nối với một đỉnh bất kì là cạnh có trọng số nhỏ nhất trong số các cạnh kết nối với đỉnh đó trong đồ thị G.
a) Đồ thị G b) Cây bao trùm tối thiểu của G
Hình 1.8 Minh họa cây bao trùm tối thiểu của một đồ thị.
Phân vùng ảnh trên đồ thị.
Một phân vùng S của ảnh trên đồ thị là tập hợp các vùng mà mỗi vùng C ϵ S tương ứng với một thành phần liên thông G’ = (V’, E’), với V’⊆V, E’ ⊆ E trong đồ thị sao cho các cạnh nối giữa hai đỉnh trong một vùng có trọng số nhỏ và các cạnh nối giữa hai đỉnh trong hai vùng khác nhau có trọng số lớn.
b) Một số định nghĩa và tính chất liên quan.
Tính chất so sánh vùng.
Trong phần này, chúng ta định nghĩa một tính chất D, để đánh giá có hoặc không có một ranh giới giữa hai vùng trong một phân vùng. Tính chất này được xác định nhờ việc so sánh sự khác nhau giữa hai vùng dọc theo ranh giới với sự khác nhau giữa các điểm ảnh trong mỗi vùng. Chúng ta định nghĩa sự khác biệt nội bộ
của một vùng C ⊆ V dựa vào trọng số cạnh lớn nhất trong cây bao trùm tối thiểu MST(C, E) của thành phần trong đồ thị tương ứng với vùng đó:
Int(C)=maxeMST(C,E)w(e)
Sự khác nhau giữa hai vùng C1, C2 ⊆ V được định nghĩa bằng trọng số cạnh nhỏ nhất kết nối hai vùng. Đó là,
Dif(C1,C2)=minviC1,vjC2,(vi,vj)EW(vi,vj)
Nếu không có cạnh nối C1, C2 thì chúng ta có Dif( C1, C2) = ∞. Như vậy, giữa hai vùng lân cận sẽ có một ranh giới nến sự khác biệt giữa hai vùng Dif( C1,C2) là lớn hơn sự khác biệt nội bộ ít nhất một trong hai vùng, Int(C1) và Int(C2).
Chúng ta định nghĩa sự khác biệt nội bộ tối thiểu của hai vùng lân cận C1,C2 như sau:
Mint(C1,C2)=min(Int(C1)+T(C1), Int(C2)+T(C2))
với T(C) = k / |C|. Trong đó k là một số không đổi, |C| là kích thước của vùng C. Lúc này, tính chất so sánh cặp vùng C1 và C2, ký hiệu là D(C1, C2) được định nghĩa như sau:
D(C1,C2)=
1, Nếu Dif C1, C2 > 𝑀𝑖𝑛𝑡 C1, C2 0, Trong trường hợp ngược lại
Trong thực tế, giá trị của k là không cố định, tùy thuộc vào người thực hiện phân vùng nhưng nói chung là không nhỏ hơn kích thước của vùng nhỏ nhất. Nếu k lớn thì kích thước các vùng kết quả sẽ lớn, còn k nhỏ thì kích thước vùng kết quả sẽ nhỏ. Hay nói cách khác, kích thước của vùng kết quả tỷ lệ thuận với giá trị của k.
Một số định nghĩa.
Trong phần này sẽ giới thiệu một số định nghĩa là cơ sở nền tảng cho thuật toán thực hiện việc phân vùng theo tính chất so sánh vùng D được định nghĩa ở phần.
Định nghĩa 1.
Một phân vùng S được gọi là quá mịn nếu trong mỗi vùng kết quả C∈S bất kỳ ta lấy một số cặp vùng bất kỳ C1, C2∈ C mà không tìm thấy ranh giới giữa chúng. Định nghĩa 2.
Để bổ sung cho định nghĩa một phân vùng quá thô, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm tinh chỉnh (refinement) của một phân vùng.
Cho S và T là hai phân vùng kết quả của cùng một ảnh, ta nói rằng T là một tinh chỉnh của S khi mỗi vùng trong phân vùng S chứa một số vùng trong phân vùng T. Ngoài ra, chúng ta nói T là một tinh chỉnh đúng (proper refinement) khi T ≠ S. Lưu ý, nếu T là một tinh chỉnh dúng của S thì T có thể thu được bằng việc phân chia (splitting) một hoặc một số vùng trong S. Khi T là một tinh chỉnh đúng của S thì ta nói T mịn hơn S hay S thô hơn T.
Như vậy, một phân vùng S là quá thô nếu như tồn tại một tinh chỉnh đúng T của S sao cho T không quá mịn.
+ Tính chất 1.
Vấn đề đặt ra ở đây là liệu có phải luôn luôn tồn tại một phân vùng không quá thô và cũng không quá mịn hay không ? Và nếu như tồn tại thì phân vùng đó có phải là duy nhất hay không ? Đầu tiên chúng ta lưu ý, thực tế là có nhiều hơn một phân vùng không quá thô cũng không quá mịn, do đó một phân vùng như thế không phải là duy nhất. Đây là một tính chất quan trọng của phân vùng ảnh dựa trên lý thuyết đồ thị.
Như vậy, đối với bất kì đồ thị (hữu hạn) G = (V, E) luôn tồn tại một số phân vùng S không quá thô mà cũng không quá mịn.
Chứng minh: Thật là dễ dàng để chúng ta thấy tính chất này là đúng.
Thật vậy, nếu phân vùng mà tất cả các điểm ảnh nằm trong một vùng duy nhất thì phân vùng này không là quá mịn theo định nghĩa 1, bởi vì nó chỉ có một
thành phần. Thực ra điều này không đúng trong trường hợp lý tưởng là ảnh cùng một màu hay một cấp xám. Tuy nhiên, trong thực tế thì điều này là không thể xảy ra vì trong quá trình thu ảnh ít nhiều cũng sẽ bị nhiễu hoặc ảnh có rất nhiều đối tượng. Và nếu phân vùng này không là quá thô thì chúng ta đã giải quyết xong.
Ngược lại, theo định nghĩa 2 ở trên, chúng ta sẽ có tinh chỉnh đúng mà nó không quá mịn. Chọn một trong những tinh chỉnh đó và lặp lại thủ tục này cho đến khi chúng ta có được một phân vùng mà nó không phải là quá thô.