. Chứng minh rằng ba đơn thức này khụng thể cựng cú giỏ trị dương
TÍNH CHẤT CÁC ẹệễỉNG TRUNG TUYẾN, ẹệễỉNG PHÂN GIÁC, ẹệễỉNG TRUNG
TRệẽC, ẹệễỉNG CAO CỦA TAM GIÁC.
1/ Toựm taột lyự thuyeỏt:
+ ẹửụứng trung tuyeỏn laứ ủửụứng xuaỏt phaựt tửứ ủổnh vaứ ủi qua trung ủieồm cánh ủoỏi dieọn cuỷa tam giaực.
G N P A B M C M C B A
AM laứ trung tuyeỏn cuỷa ∆ ABC ⇔ MB = MC
+ Moọt tam giaực coự 3 ủửụứng trung tuyeỏn. Ba ủửụứng trung tuyeỏn cuỷa tam giaực ủồng quy tái moọt ủieồm. ẹieồm ủoự caựch ủổnh baống 2/3 ủoọ daứi ủửụứng trung tuyeỏn ủi qua ủổnh ủoự.
GA GB GC 2
AM= BN= CP = 3
+ Giao ủieồm cuỷa ba ủửụứng trung tuyeỏn gói laứ tróng tãm cuỷa tam giaực.
+ Trong moọt tam giaực vuõng, ủửụứng trung tuyeỏn ửựng vụựi cánh huyền baống moọt nửỷa cánh huyền.
+ ẹửụứng phãn giaực cuỷa tam giaực laứ ủửụứng thaỳng xuaỏt phaựt tửứ moọt ủổnh vaứ chia goực coự ủổnh ủoự ra hai phần baống nhau.
CB B A K J I O F E D C B A D C B A
+ Moọt tam giaực coự ba ủửụứng phãn giaực. Ba ủửụứng phãn giaực cuỷa tam giaực cuứng ủi qua moọt ủieồm. ẹieồm ủoự caựch ủều ba cánh cuỷa tam giaực. (giao ủieồm ủoự laứ tãm cuỷa ủửụứng troứn tieỏp xuực vụựi ba cánh cuỷa tam giaực)
+ Trong moọt tam giaực cãn, ủửụứng phãn giaực keỷ tửứ ủổnh ủồng thụứi laứ ủửụứng trung tuyeỏn ửựng vụựi cánh ủaựy.
+ ẹửụứng trung trửùc cuỷa ủoán thaỳng laứ ủửụứng vuõng goực tái trung ủieồm cuỷa ủoán thaỳng ủoự.
G N P A B M C 2/ Baứi taọp:
Baứi taọp 1: Cho hỡnh veừ. Haừy ủiền vaứo choĩ troỏng (…) cho ủửụùc keỏt quaỷ ủuựng: a) GM = …… GA; GN = …… GB; GP = …… GC. b) AM = …… GM; BN = …… GN; CP = …… GP. a) 1 2; 1 2; 1 2 b) 3 ; 3 ; 3
Baứi taọp 2: Cho ∆ ABC coự BM, CN laứ hai ủửụứng trung tuyeỏn caột nhau tái G. Keựo daứi BM laỏy ủoán ME = MG. Keựo daứi CN laỏy ủoán NF = NG. Chửựng minh:
a) EF = BC.
b) ẹửụứng thaỳng AG ủi qua trung ủieồm cuỷa BC.
+ ẹửụứng trung trửùc cuỷa tam giaực laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa cánh tam giaực. Moọt tam giaực coự ba ủửụứng trung trửùc. Ba ủửụứng trung trửùc cuỷa tam giaực cuứng ủi qua moọt ủieồm. ẹieồm ủoự caựch ủều ba ủổnh cuỷa tam giaực
BA A m O m A B B C A
+ Caực ủieồm naốm trẽn ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoán thaỳng AB caựch ủều hai ủầu ủoán thaỳng AB.
+ Taọp hụùp caực ủieồm caựch ủều hai ủầu ủoán thaỳng AB laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoán thaỳng AB.
+ ẹóan vuõng goực keỷ tửứ ủổnh ủeỏn ủửụứng thaỳng chửựa cánh ủoỏi dieọn ủửụùc gói laứ ủửụứng cao cuỷa tam giaực.
+ Moọt tam giaực coự ba ủửụứng cao. Ba ủửụứng cao cuỷa tam giaực cuứng ủi qua moọt ủieồm. ẹieồm naứy gói laứ trửùc tãm cuỷa tam giaực.
CB D B D A≡H H F E D C B A H E D F C B A
Baứi taọp 3: Keựo daứi trung tuyeỏn AM cuỷa ∆ ABC moọt ủoán MD coự ủoọ daứi baống 1/3 ủoọ daứi AM. Gói G laứ tróng tãm cuỷa ∆ ABC. So saựnh caực cánh cuỷa ∆ BGD vụựi caực trung tuyeỏn cuỷa
∆ ABC.
Baứi taọp 4: Cho ∆ ABC vuõng tái A. Gói M laứ trung ủieồm cuỷa BC vaứ G laứ tróng tãm cuỷa ∆ ABC. Bieỏt GM = 1,5cm. AB = 5cm. Tớnh AC vaứ chu vi cuỷa tam giaực ABC.
Baứi taọp 5: Cho ∆ ABC cãn tái A. Caực ủửụứng cao BH vaứ CK caột nhau tái I. Chửựng minh AI laứ phãn giaực cuỷa goực BAC.
Baứi taọp 6: Cho xOˆy=900vaứ tam giaực ABC vuõng cãn tái A, coự B thuoọc Ox, C thuoọc Oy, A vaứ O thuoọc hai nửỷa maởt phaỳng ủoỏi nhau coự bụứ laứ BC. Chửựng minh raống OA laứ tia phãn giaực cuỷa goực xOy.
Baứi taọp 7: Caực phãn giaực ngoaứi cuỷa tam giaực ABC caột nhau vaứ táo thaứnh ∆ EFG. a) Tớnh caực goực cuỷa ∆ EFG theo caực goực cuỷa ∆ ABC.
b) Chửựng minh raống caực phãn giaực trong cuỷa ∆ ABC ủi qua caực ủieỷnh E, F, G.
Baứi taọp 8: Cho goực nhón xOy. Trẽn tia Ox laỏy hai ủieồm A vaứ B. Tỡm trẽn tia Oy ủieồm C sao cho CA = CB.
Baứi taọp 9; Cho tam giaực ABC coự AC > AB, phãn giaực trong cuỷa goực A caột BC tái D. trẽn AC laỏy ủieồm E sao cho AB = AE. Chửựng minh raống AD vuõng goực vụựi BE.
BAỉI TẬP Tệẽ LUYÊN
Baứi 1 : Cho ∆ ABC cãn tái A, ủửụứng cao AH. Bieỏt AB=5cm, BC=6cm. a) Tớnh ủoọ daứi caực ủoán thaỳng BH, AH?
b) Gói G laứ tróng tãm cuỷa tam giaực ABC. Chửựng minh raống ba ủieồm A,G,H thaỳng haứng?
c) Chửựng minh:ABˆG=ACˆG ?
Baứi 2: Cho ∆ ABC cãn tái A. Gói M laứ trung ủieồm cuỷa cánh BC.
a) Chửựng minh : ∆ ABM = ∆ ACM
b) Tửứ M veừ MH ⊥AB vaứ MK ⊥AC. Chửựng minh BH = CK
c) Tửứ B veừ BP ⊥AC, BP caột MH tái I. Chửựng minh ∆ IBM cãn.
Baứi 3 : Cho ∆ ABC vuõng tái A. Tửứ moọt ủieồm K baỏt kyứ thuoọc cánh BC veừ KH ⊥ AC. Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia HK laỏy ủieồm I sao cho HI = HK. Chửựng minh :
a) AB // HK
b) ∆ AKI cãn
c) BAˆK =AIˆK
d) ∆ AIC = ∆ AKC
Baứi 4 : Cho ∆ ABC cãn tái A (Aˆ< 900), veừ BD ⊥AC vaứ CE ⊥AB. Gói H laứ giao ủieồm cuỷa BD vaứ CE.
a) Chửựng minh : ∆ ABD = ∆ ACE
b) Chửựng minh ∆ AED cãn
d) Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia DB laỏy ủieồm K sao cho DK = DB. Chửựng minh ECˆB=DKˆC
Baứi 5 : Cho ∆ ABC cãn tái A. Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia BA laỏy ủieồm D, trẽn tia ủoỏi cuỷa tia CA laỏy ủieồm E sao cho BD = CE. Veừ DH vaứ EK cuứng vuõng goực vụựi ủửụứng thaỳng BC. Chửựng minh :
b) HB = CK c) AHˆB=AKˆC
d) HK // DE
e) ∆ AHE = ∆ AKD
f) Gói I laứ giao ủieồm cuỷa DK vaứ EH. Chửựng minh AI ⊥DE.
BAỉI TẬP Tệẽ LUYỆN
Bài 1: Cho ∆ABC cĩ gĩc A bằng 600. Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở M, tia phân giác của gĩc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng BN + CM = BC.
Bài 2: Cho ∆ABC vuơng tại A, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng:
a) KC vuơng gĩc với AC. b) AK song song với BC.
Bài 3: Cho ∆ABC, kẻ BD vuơng gĩc với AC, kẻ CE vuơng gĩc với AB. Trên tia đối của tia BD, lấy điểm H sao cho BH = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AH = AK.
Bài 4: Cho ∆ABC cĩ AB = AC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE = CD b) ∆KBD = ∆KCE.
Bài 5: Cho ∆ABC cĩ gĩc A = 600. Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở D, tia phân giác của gĩc C cắt AB ở E. Các tia phân giác đĩ cắt nhau ở I. Chứng minh rằng ID = IE.
Bài 6: Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng:
a) ∆MAE = ∆MCB. b) AE = AF.
c) Ba điểm A, E, F thẳng hàng.
Bài 7: Cho đoạn thẳng AB, D là trung điểm của AB. Kẻ Dx vuơng gĩc với AB. Trên Dx lấy hai điểm M và N (M nằm giữa D và N). Chứng minh rằng:
a) ∆NAD = ∆NBD. b) ∆MNA = ∆MNB.
c) ND là phân giác của gĩc ANB. d) Gĩc AMB lớn hơn gĩc ANB.
Bài 8: Cho ∆ABC vuơng tại A, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng: