Mệnh đề: [Phát hiện nhiễu]:
Cho trước ngưỡng >0 và chu tuyến C1 có độ dài nhỏ hơn với các điểm là điểm nền (điểm trắng). Gọi C2 là chu tuyến láng giềng của chu tuyến C1 khi đó ta có khẳng định sau: chu tuyến C1 xác định nhiễu nếu độ dài của chu tuyến C2 nhỏ hơn độ dài của chu tuyến C1.
Chứng minh:
Gọi C1= <P1P2..Pn>, C2= <Q1Q2..Qm>. Tương tự chứng minh trên, Ta có:
in(Qi, C1) i: 1 i m (1). Theo giả thiết ta có:
Len(C1) < (2).
Từ (1) và (2) theo định nghĩa ta có chu tuyến C1 xác định nhiễu.
2.1.5 Phát hiện lỗ hổng:[7] Mệnh đề: [Phát hiện lỗ hổng]:
Cho trước ngưỡng > 0 và chu tuyến C1 có độ dài nhỏ hơn với các điểm là điểm ảnh quan tâm (điểm đen). Gọi C2 là chu tuyến láng giềng của chu tuyến C1 khi đó ta có khẳng định sau: chu tuyến C1 xác định lỗ hổng nếu độ dài của chu tuyến C1 lớn hơn độ dài của chu tuyến C2.
Chứng minh:
Gọi C1=<P1P2..Pn>, C2=<Q1Q2..Qm> và ký hiệu in(Q,C) để chỉ điểm Q nằm trong chu tuyến C. Ta phải chứng minh in(Qi,C1) (i=1,m). Giả sử k [1,m] sao cho Qk là điểm ngoài chu tuyến C1 ta đi chứng minh Qk+1 cũng là điểm ngoài chu tuyến C1. Thật vậy, giả sử Qk+1 là điểm trong chu tuyến C1 khi đó theo điều kiện Jordan về điểm trong QkQk+1 sẽ "cắt" chu tuyến C1 tại một số lẻ lần (1). Như vậy giữa Qk và Qk+1 có một số điểm (1) xen giữa, nhưng Qk+1 là điểm 8-láng giềng của Qk do là hai điểm kế tiếp trong chu tuyến C2 điều đó dẫn đến mâu thuẫn. Vậy Qk+1 cũng nằm ngoài chu tuyến C1.
Tương tự ta có Qi (i= 1,m) cũng nằm ngoài chu tuyến C1. Suy ra chu tuyến C2 bao ngoài chu tuyến C1 (Hình 2.7). Ta đi chứng minh độ dài của chu tuyến C2 lớn hơn độ dài của chu tuyến C1.
Thật vậy, xét chu tuyến C1 ta có PiPi+1 là hướng lẻ, xét điểm P là 4-láng giềng của Pi (Hình 2.8) ta có PiPi+1 < PiP + PPi+1 (tổng 2 cạnh trong một tam giác phải lớn hơn cạnh thứ 3), gọi C1' là chu tuyến thu được từ chu tuyến C1 bằng cách thay các cạnh PiPi+1 theo hướng lẻ thành PiP và PPi+1, gọi độ dài của chu tuyến là Len ta có:
Len(C1') > Len(C1) (3).
Gọi xc1min, xc1max, ycmin1 , yc1max là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong toạ độ các điểm của chu tuyến C1' ta có:
Len(C1')= 2[(xcmax1 -xc1min)+ (yc1max -yc1min)] (4)
Chu tuyÕn C1
Chu tuyÕn C2
Hình 2.7: Chu tuyến láng giềng[7] Pi
Pi+1 P
Hình 2.8: Xấp xỉ trên chu tuyến[7] Qi Q'
Qi+1
Qi-1 Q
Hình 2.9: Xấp xỉ dưới chu tuyến[7]
Mặt khác, xét chu tuyến C2 ta có QiQi+1 là hướng lẻ, xét điểm Q là 4-láng giềng của Qi (Hình 2.9) ta có QiQi+1 >QQi+1 (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông), gọi C'2 là chu tuyến thu được từ chu tuyến C2 bởi việc thay các cạnh theo hướng lẻ
bởi các cạnh góc vuông tương ứng (QiQi+1 bởi QQi+1), còn các cạnh theo hướng chẵn thì bởi các cạnh tạo bởi các điểm 4-láng giềng tương ứng (Qi-1Qi bởi Q'Q) ta có:
Len(C2) > Len(C'2) (5).
Gọi xcmin2 , xcmax2 , ycmin2 , ycmax2 là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong toạ độ các điểm của chu tuyến C2 ta có:
Len(C2' )= 2{[(xcmax2 -1)-( xcmin2 +1)]+ [(ycmax2 -1)-( ycmin2 +1)]}(6). Hơn nữa, PC theo chứng minh trên ta có P là điểm trong của chu tuyến C2, xét các nửa đường thẳng từ P song song với Ox (trục hoành) và Oy (trục tung) và theo điều kiện Jordan suy ra QC2 sao cho PQ//Ox hoặc PQ//Oy. Hơn nữa C1 là chu tuyến láng giềng của C2 nên suy ra Q C2 là 4-láng giềng của P. Từ đó
xc1max= xcmax2 -1, xc1min= xcmin2 +1, yc1max= ycmax2 -1, yc1min= ycmin2 +1, vậy Len(C1' )= Len(C2' ), kết hợp khẳng định này với (1) và (3) ta có độ dài Len(C2) > Len(C1). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy in(Qi, C1) i: 1 i m (7). Theo giả thiết ta có:
Len(C1) < (8).
Từ (7) và (8) theo định nghĩa ta có chu tuyến C1 xác định lỗ hổng