12 Một số chuyên đề phương trình hàm
12.1 Phương trình hàm giải nhờ tính giá trị hàm số theo hai cách khácnhau
nhau
Ví dụ 12.1. (THTT 11/394) Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn
f(f(x) +y) = f(x+y) +xf(y)−xy−x+ 1.
Giải
Thay y= 0 vào quan hệ hàm ta được
f(f(x)) =f(x) +xf(0)−x+ 1,∀x∈R.
Và thay x= 0 vào đẳng thức trên ta được
f(f(0)) =f(0) + 1.
Thay y bởif(y) vào quan hệ hàm ban đầu ta được
f(f(x) +f(y)) =f(x+f(y)) +xf(f(y))−xf(y)−x+ 1
= [f(x+y) +yf(x)−xy−y+ 1] +x[f(y) +yf(0)−y+ 1]−xf(y)−x+ 1 =f(x+y) +yf(x) +xyf(0)−2xy−y+ 2.
Hoán chuyển vài trò x vày trong kết quả trên ta được
f(f(x) +f(y)) = f(x+y) +xf(y) +xyf(0)−2xy−x+ 2.
Từ đây ta nhận được
yf(x)−y=xf(y)−x,∀x, y ∈R.
Thay x = 0, y = 1 ta được f(0) = 1, do đó f(f(0)) = 2. Lại thay y = 1 và sử dụng kết quả
f(f(0)) = 2, f(0) = 1 ta được
f(x) = x+ 1,∀x∈R.
Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 12.2. Tìm tất cả các hàm số f :Q+ →Q+ thỏa mãn hai điều kiện: 1.f(x+ 1) =f(x) + 1,∀x∈Q+
2.f(x3) =f3(x),∀x∈Q+
Giải
Quy nạp ta chứng minh đượcf(x+n) =f(x) +n,∀x∈Q+,∀n∈N (*). Với mỗi số thực r= pq ∈Q+.
- Tính theo cách (*) được:f(r+q2)3 =f3(r) + 3p2+ 3pq3+q6
- Tính theo điều kiện (b) được: f(r+q2)3 =f3(r) + 3f2(r)q2+ 3f(r)q4+q6
Từ hai điều kiện trên ta được:
q2f2(r) +q4f(r)−(p2+pq3) = 0
12.1 Phương trình hàm giải nhờ tính giá trị hàm số theo hai cách khác nhau12 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Giải phương trình này ta tìm được:f(r) = r,∀r∈Q+
Nhưng từ kết quả của hàm số f(x) =x,∀x∈Q+ thì ta thay điều kiện (b) cho hai ẩn:
f(x3+y) =x3+y=f3(x) + f(xy)
f(x) và điều kiện cũng được mở rộng từQ+ thànhR+ vậy ta được bài toán:
Bài tập tương tự: Tìm tất cả các hàm f :R+ →R+ thỏa mãn:
f(x3+y) = f3(x) + f(xy)
f(x) ,∀x, y ∈R+
Vấn đề gian nan nhất của mở rộng này là tính được f(1). Cho y= 1 ta được: f(x+ 1) =f3(x) + 1(1) Cho x= 1 ta được: f(y+ 1) =f3(1) + f(y) f(1)(2) Đặt f(1) =a thì sử dụng (1) ta tính được: f(2) =a3+ 1, f(9) = (a3+ 1)3+ 1 Sử dụng (2) ta tính được: f(9) = a3+a2+a+ 1 +1 1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 a4 + 1 a7 Giải phương trình: (a3+ 1)3+ 1a3+a2+a+ 1 + 1 1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 a4 + 1 a7
ta được: a=1. Vậy ta được:
f(x+ 1) =f(x) + 1 và f(x3) = f3(x)
Tức là ta có được bài toán ban đầu. Còn vấn đề sử lý trên R+ ta sử dụng tính trù mật của tập số thực với chú ýf là hàm tăng.
