sai phân của hàm phân hình p-adic. Năm 2008, Ojeda là người đầu tiên đã xét phân bố giá trị của fnf0 với f là hàm phân hình p-adic.
Cũng trong năm 2008, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã xét phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đối với đạo hàm bậc nhất của hàm phân hình p-adic. Họ đã tương tự được kết quả của Yang-Hua (Định lý B) cho (fn)0 với f là hàm phân hình p-adic. Tuy nhiên, vấn đề này đối với đạo hàm bậc cao của hàm phân hình p-adic là vấn đề mới.
Năm 2011, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã thiết lập kết quả về phân bố giá trị cho fn(f(k))m. Năm 2012, Hà Huy Khoái-Vũ Hoài An -Nguyễn Xuân Lai [7] đã xét vấn đề duy nhất khi (fn)(k),(gn)(k) cùng nhân một giá trị. Khó khăn gặp phải trong trường hợp đạo hàm bậc cao là thiết lập các ước lượng giữa các hàm đặc trưng, hàm đếm, hàm xấp xỉ của đa thức vi phân của hàm phân hình với hàm đặc trưng, hàm đếm, hàm xấp xỉ của hàm phân hình ban đầu. Công việc có liên hệ mật thiết với tương tự của giả thuyết Hayman cho hàm phân hình p-adic. Khoái -An- Lai [7] đã khắc phục được khó khăn này.
Gần đây, K. Boussaf-A.Ecassut-J.Ojeda đã bắt đầu nghiên cứu các hàm phân hình trên Cp: f0P0(f), g0P0 (f) nhận một hàm nhỏ.
và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đa thức sai phân của đa thức sai phân của hàm phân hình và ảnh ngược của các điểm riêng rẽ. Năm 2006, Halburd và Korhonen đã thiết lập tương tự của lý thuyết Nevanlinna cho toán tử sai phân của hàm phân hình có bậc hữu hạn. Năm 2007, I.Laine và C.C.Yang [10] đã thiết lập tương tự Đinh lý Acủa Hayman cho một kiểu đa thức sai phân đặc biệt của hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn.Hai ông đã chứng minh kết quả sau đây:
Định lý E.[10] Cho f là hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn trên C và c
là một số phức khác 0, n là một số nguyên, n ≥ 2. Khi đó fn(z)f (z+ c) nhận a, a ∈ C, vô hạn lần.
Năm 2009,K. Liu và L.Z.Yang đã tương tự Định lý D(xem [5]) cho Toán tử sai phân của hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn, đã tương tự Định lý B(xem[5]) cho một kiểu đa thức sai phân đặc biệt của hàm phân hình. Cho f là hàm phân hìnhp−dic. Toán tử sai phân củaf được xác định như sau:444cf=f (z +c)-f (z),4441
cf=444cf,...,444n+1
c f=444n
c(f (z +c)−f (z)),n = 1,2, ..., ở đó c ∈ Cp là một hằng số khác 0.
Đa thức sai phân của f được xác định như sau: A(z, f) = P
λ∈I
aλ(z)fλ0fλ1(z +c)...fλn(z +nc),c ∈ Cp,c 6= 0, n ∈ N∗, aλ(z) =o(Tf (r)).
Đơn thức sai phân của f được xác định như sau:
M (z, f) = afnfq1(z+c)...fqk (z +kc); a, ck ∈ Cp, a 6= 0, c6= 0, k ∈ N∗. Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [5] đã tương tự Định lý E,
Định lý B cho Toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình
p−dic.
Trong Chương này, chúng tôi trình bày các kết quả của Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An trong [5].
2.1 Phân bố giá trị của đơn thức sai phân của hàm phân hình p-adic
Trước tiên chúng ta cần các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. [3] Cho f là hàm chỉnh hình, khác hằng trên Cp. Khi đó
Tf(r)−Tf(ρ) =Nf(r),
ở đó 0< ρ ≤r.
Bổ đề 2.2. [9] Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cp, và a1, a2, ....aq
là các điểm phân biệt trên Cp. Khi đó
(q −1)Tf(r) ≤ N1,f(∞, r) +
q
X
i=1
N1,f(ai, r)−N0,f0(r)−logr +O(1),
ở đóN0,f0(r)là hàm đếm số không điểm của hàm f’ xảy ra tại các điểm khác nhau với các nghiệm của phương trình f(z) =ai i=1,2,...,q và 0< ρ ≤ r.
Bổ đề 2.3. [5] Cho f là hàm phân hình p-adic khác hằng và 444f không
đồng nhất không, và k, q là các số nguyên dương. Khi đó 1. mf(z+c) f(z) (∞, r) = O(1); 2. mf(z+kc) f(z) (∞, r) =O(1); 3.m4cf f (∞, r) =O(1); 4.m(4cf)q f (∞, r) =O(1); 5. Tf(z+c)(r) =Tf(z)(r) +O(1); 6. Tf(z+qc)(r) = Tf(z)(r) +O(1) 7. T4cf f (r) ≤ 2Tf(r) +O(1) Chứng minh. Đặt Ac = f(fz(+z)c). Khi đó
1. Nếu |c| < r. Chú ý rằng tập các số r ∈ R+ sao cho tồn tại z ∈ Cp với |z| = r là trù mật trong r ∈ R+. Vì thế ,không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tai z ∈ Cp sao cho |z| = r.Khi đó |c+z| = |z| = r. Vì vậy |f(z)|r = |f(z+c)|r và |Ac| = 1.
Nếu r ≤ |c|, thì |c+ z| ≤ max{|c|,|z|} ≤ |c|. Vì thế |Ac| = O(1). Vậy mAc(∞, r)= max{0,log|Ac|} = O(1).
2. Tương tự chứng minh như 1., ta có mf(z+kc) f(z)
3. Do mf(z+c) f(z) (∞, r) = O(1), m4cf f (∞, r) ≤maxnmf(z+c) f(z) (∞, r),0o nên ta có m4cf f (∞, r) =O(1). 4.Do m4cf f (∞, r) = O(1), m(4cf)q f (∞, r) = qm4cf f (∞, r), nên ta có m(4cf)q f (∞, r) = O(1).
5. Chof = f1f2 là hàm phân hình khác hằng trên Cp, ở đó f1, f2 là các hàm chỉnh hình trên Cp và không có không điểm chung. Tương tự như chứng minh 1., Ta có:
Nếu |c|< r, thì |f1(z)|r = |f1(z +c)|r và |f2(z)|r = |f2(z +c)|r . Nếu r ≤ |c|, thì |f1(z)|r ≤ |f1(z)|c,|f1(z+c)|r ≤ |f1(z)|c và |f2(z)|r ≤ |f2(z)|c,|f2(z+ c)|r ≤ |f2(z)|c.
Hơn nữa, Tf(r) = max
1≤i≤2log|fi|r nên Tf(z+c)(r) = Tf(z)(r) +O(1).
6. Tương tự như chưng minh 5. Ta có : Tf(z+qc)(r) = Tf(z)(r) +O(1). 7. Ta có T4cf f (r) =mf(z+c)−f(z) f(z) (∞, r) +Nf(z+c)−f(z) f(z) (∞, r) ≤ mf(z+c) f(z) (∞, r) +Nf(z+c) f(z) (∞, r) + O(1) ≤ mf(z)(∞, r) +Nf(z)(∞, r) +mf(z+c)(∞, r) +Nf(z+c)(∞, r) +O(1) = Tf(z+c)(r) +Tf(z)(r) +O(1) ≤ 2Tf(r) +O(1).
Bổ đề 2.4. [5] Cho f là hàm phân hình p-adic khác hằng và 444q
cf không đồng nhất không và k,q,m là các số nguyên dương và P(z) là ....Khi đó:
1. T444q cf(r) ≤2qTf(r) +O(1); 2. T444qc f f (r) ≤ 2(2q −1)Tf(r) +O(1); 3. (n+ 3 q X i=1 ki − q X i=1 ki2i+1)Tf(r) ≤ TP(f)(4441 cf)k1....(444qcf)kq(r) +O(1); 4. (n− k X i=1 qi)Tf(r) ≤ TP(f)(f(z+c))q1 ...(f(z+kc))qk(r) +O(1). Chứng minh.
j = 1 ,ta có T444cf(∞, r) ≤ Tf(z+c)(r) + Tf(z)(r) + O(1). Vì Tf(z+c)(r) = Tf(z)(r) +O(1), T444cf(r) ≤ 2Tf(r) +O(1).
Giả sử rằng T444j
cf(r) ≤2jTf(r) +O(1). Hơn nữa ta có444j+1
c f =444c(444j cf). Từ điều này và bằng quy nạp ta có:T444j+1
c f(r) =T444