2 Một số thuật toán giải bài toán cực đại hàm lồi
2.4 Thuật toán xấp xỉ trong
Cũng như trên, ta vẫn xét bài toán
f(C) := max{f(x) :x∈C} (P)
trong đó C := {x : aTi x ≤ bi, (i = 1,2, ..., m)} với ai ∈ Rn \ {0}, bi ∈ R,
(i= 1,2, ..., m) là tập lồi đa diện bị chặn với intC 6=∅ và f :A→R là hàm lồi liên tục trên tập A thỏa mãn C⊂A⊆Rn.
Ý tưởng
Xấp xỉ tập ràng buộc C từ bên trong bằng dãy các đa diện lớn dần D1 ⊂
D2 ⊂...⊂C sao cho
• D1 6=∅.
• x1 là một nghiệm tối ưu của bài toán max{f(x) :x∈D1∩C}.
• xk+1 là nghiệm tối ưu của bài toán max{f(x) : x ∈ Dk+1∩C} được suy ra từ nghiệm tối ưu xk của bài toánmax{f(x) :x∈Dk∩C}.
Thuật toán dừng khi Dk ⊇C, tức là C∩Dk =C.Trong trường hợp này xk hiển nhiên là nghiệm tối ưu của Bài toán (P). Dãy D1, D2, ... tạo thành một xấp xỉ trong của C bởi các đa diện mở rộng dần. Đa diệnDk+1 được xây dựng từ Dk bằng cách chọn một điểm chấp nhận được yk ∈/Dk và đặt
Dk+1 =co(Dk∪ {yk})
là bao lồi của Dk và {yk}.
Hiển nhiên, một dãy hữu hạn hội tụ xấp xỉ đảm bảo rằng Dk+1\Dk chứa một đỉnh của C. Vậy thuật toán lặp lại ở bước k+ 1 bằng cách lấy tiếp bao lồi cho nó mở rộng đúng bằng tập C.
Thuật toán Khởi tạo
Xây dựng một đa diện D0 thỏa mãnD0 ⊆C.Tìm lời giải tối ưu x0 của bài toán max{f(x) :x∈V(D0)}.
Bước lặp k
Tại thời điểm bắt đầu bước lặp k (k = 0,1, ...), ta có một đa diện Dk với tập đỉnh V(Dk) và xk là nghiệm của bài toán max{f(x) :x∈V(Dk)}.
Nếu Dk ⊇ C thì dừng: xk là nghiệm tối ưu của Bài toán (P), trong đó xk ∈V(C) là nghiệm của bài toán max{f(x) :x∈V(Dk)}.
Nếu trái lại. Tìm yk ∈V(C)\Dk. Đặt Dk+1:=co(Dk ∪ {yk}).
Giải bài toán max{f(x) :x∈V(Dk+1)} được nghiệm xk+1. Chuyển sang bước k+ 1.
Hình 2.6: Minh họa thuật toán xấp xỉ trong
Định lý 2.5. Thuật toán trên kết thúc sau hữu hạn bước lặp.
Chứng minh. Gọiv là số đỉnh của đa diệnC.Vì đa diện ban đầuDk cón+ 1
đỉnh 0, e1, ..., en và trong mỗi lần lặp có ít nhất một đỉnh mới y ∈ V(C)\Dk bị chứa trong đa diện tiếp theoDk+1, thuật toán phải dừng sau khi lặp đi lặp lại nhiều nhất là v−(n+ 1) lần.
Ta có sơ đồ khối sau Bắt đầu k = 0 D0 ⊂C và V(D0) dễ tính max{f(x) : x ∈ V(D0)} được nghiệm xk Dk ⊇C xk là nghiệm Kết thúc Tìm yk ∈ V(C)\ Dk Dk+1 := co Dk ∪ {yk} Tính V(Dk+1) max{f(x) : x∈ V Dk+1} được nghiệm xk+1 k ← k + 1 đúng sai
Ví dụ 2.4.1
Ta giải lại Bài toán (P2) bằng phương pháp xấp xỉ trong. Ta có miền chấp nhận được
C ={x∈R2:x+ 2y−1≤0, 2x−y−1≤0, x≥0, y ≥0}.
Hình 2.7: Hình vẽ minh họa
Ta lấy D0 ⊂ C. Tập đỉnh của D0 là V(D0) = {(0,0),(0,12),(12,0)}. Giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh này là f(0,0) = 0, f(0,12) = 54, f(12,0) = 74.
Gọi f(x0) = max{f(x, y) : (x, y)∈V(D0)}=f(12,0) = 74.
Vì D0+C nênx0 = (12,0) không phải nghiệm của của bài toán.
Lấy y0(35,15)∈ C\D0. Ta có D1 =co(D0∪ {y0}) là bao lồi của D0 và {y0}. Tập đỉnh của D1 là V(D1) = {(0,0),(0,12),(35,15),(12,0)}. Giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh này là f(0,0) = 0, f(0,12) = 54, f(21,0) = 74, f(35,15) = 52.
Gọi f(x1) = max{f(x, y) : (x, y)∈V(D1)}=f(35,15) = 52.
Vì D1 ≡C nên x1 = (35,51) là nghiệm tối ưu của bài toán và f(35,15) = 52 là giá trị cực đại của bài toán.
Kết luận
Bài toán cực đại một hàm lồi trên một tập lồi có một vai trò quan trọng trong tối ưu toàn cục vì bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Hơn nữa nhiều bài toán quan trọng khác của Lý thuyết Tối ưu đều có thể mô tả dưới dạng bài toán cực đại một hàm lồi.
Bản luận văn này nhằm mục đích trình bày một cách có hệ thống về bài toán cực đại hàm lồi trên tập lồi. Cụ thể luận văn đã đề cập đến các vấn đề sau:
1. Giới thiệu những kiến thức cơ bản về giải tích lồi. Đó là tập lồi, tập lồi đa diện và hàm lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó.
2. Trình bày điều kiện cần và đủ của nghiệm tối ưu (toàn cục), tính chất cực đại hàm lồi và xét một số ví dụ về bài toán cực đại của hàm lồi.
3. Giới thiệu một số kiến thức cơ bản về hàm bao lồi.
4. Trình bày ba thuật toán cơ bản để giải bài toán tìm cực đại của hàm lồi trên một tập lồi. Đó là thuật toán nhánh cận với phép chia đơn hình vét kiệt, thuật toán xấp xỉ ngoài và thuật toán xấp xỉ trong.
Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải, Giải tích lồi, nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội (2000).
[2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền và Nguyễn Hữu Điển, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, nxb Đại học Quốc gia Hà Nội (sẽ ra).
[3] Trần Vũ Thiệu và Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình tối ưu phi tuyến, nxb Đại học Quốc gia Hà Nội (2011).
Tài liệu Tiếng Anh
[4] L. D. Muu and W. Oettli, Method for Minimizing a Convex - Concave Function over a Convex Set, Journal of Optimization Theory and Appli- cations: 70 (1991), 377 - 384.
[5] P. M. Pardarlos and J. B. Rosen, Constrained Global Optimization, Lec- ture Note in Computer Science 268, Springer, Berlin (1987).
[6] N. V. Thoai and H. Tuy,Convergent Algorithm for Minimizing a Concave Function, Mathematics of Operations Research, 5 (1980), 556 - 566.
[7] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publlshers, (1997).