6.2. Mặt cầu . . . . 32 6.3. Phương phỏp tọa độ trong khụng gian . . . . 33 Đỏp số . . . . 35
6.1. Đường thẳng và mặt phẳng
Bài 6.1 (D-02). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x−y+ 2 = 0 và đường thẳng dm :
(2m+ 1)x+ (1−m)y+m−1 = 0 mx+ (2m+ 1)z+ 4m+ 2 = 0 (m là tham số).
Xỏc định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P).
Bài 6.2 (D-03). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x−y−2z+ 5 = 0 và đường thẳng dk :
x+ 3ky−z+ 2 = 0
kx−y+z+ 1 = 0 (k là tham số). Xỏc định k để đường thẳng dk vuụng gúc với mặt phẳng (P).
Bài 6.3 (D-04). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết Ăa;0;0), B(−a;0;0), C(0;1;0), B1(−a;0;b), a>0, b>0.
a) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi, nhưng luụn thỏa món a+b = 4. Tỡm a, b để khoảng cỏch giữa hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.
Bài 6.4 (D-05). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 : x−1 3 = y+ 2 −1 = z+ 1 2 và d2 : x+y−z−2 = 0 x+ 3y−12 = 0.
a) Chứng minh rằngd1 và d2 song song với nhaụ Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2.
b) Mặt phẳng tọa độ Oxy cắt cả hai đường thẳngd1,d2 lần lượt tại cỏc điểm A, B. Tớnh diện tớch tam giỏc OAB (O là gốc tọa độ).
Bài 6.5 (D-06). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Ă1;2;3) và hai đường thẳng: d1 : x−2 2 = y+ 2 −1 = z−3 1 , d2 : x−1 −1 = y−1 2 = z+ 1 1 . 1. Tỡm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.
2. Viết phương trỡnh đường thẳng ∆ đi qua A, vuụng gúc với d1 và cắt d2.
30 Chương 6.Hỡnh học giải tớch trong khụng gian Bài 6.6 (D-07). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm Ă1;4;2), B(−1;2;4) và đường thẳng ∆ : x−1 −1 = y+ 2 1 = z 2.
1. Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua trọng tõm G của tam giỏc OAB và vuụng gúc mặt phẳng (OAB).
2. Tỡm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất. Bài 6.7 (D-09).
1. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz,cho cỏc điểm Ă2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x+y+z−20 = 0. Xỏc định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x+ 2
1 =
y−2
1 =
z −1 và mặt phẳng (P):x+ 2y−3z+ 4 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuụng gúc với đường thẳng ∆.
Bài 6.8 (D-10).
1. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x+y+z−3 = 0 và (Q):x−y+z−1 = 0. Viết phương trỡnh mặt phẳng (R) vuụng gúc với (P) và (Q) sao cho khoảng cỏch từ O đến (R) bằng 2.
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x= 3 +t y=t z =t và ∆2 : x−2 2 = y−1 1 = z
2. Xỏc định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cỏch từ M đến ∆2 bằng 1.
Bài 6.9 (B-03). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm Ă2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho −→
AC =(0;6;0). Tớnh khoảng cỏch từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OẠ
Bài 6.10 (B-04). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Ă−4;−2;4) và đường thẳng d: x=−3 + 2t y= 1−t z=−1 + 4t
. Viết phương trỡnh đường thẳng ∆đi qua điểm A, cắt và vuụng gúc với đường thẳng d.
Bài 6.11 (B-06). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Ă0;1;2) và hai đường thẳng: d1 : x 2 = y−1 1 = z+ 1 −1 , d2 : x= 1 +t y =−1−2t z = 2 +t.
1. Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.
2. Tỡm tọa độ cỏc điểm M thuộc d1, N thuộcd2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng. Bài 6.12 (B-08). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm Ă0;1;2), B(2;−2:1), C(−2;0;1).
1. Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2. Tỡm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+ 2y+z−3 = 0 sao cho MA=MB=MC. Bài 6.13 (B-09).
1. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD cú cỏc đỉnh Ă1;2;1),
Chương 6.Hỡnh học giải tớch trong khụng gian 31 B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cỏch từ C đến (P) bằng khoảng cỏch từ D đến (P).
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+ 2z−5 = 0 và hai điểm Ă−3;0;1), B(1;−1;3). Trong cỏc đường thẳng đi qua A và song song với (P), hóy viết phương trỡnh đường thẳng mà khoảng cỏch từ B đến đường thẳng đú nhỏ nhất. Bài 6.14 (B-10).
1. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc điểm Ă1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), trong đú b, c dương và mặt phẳng (P):y−z+ 1 = 0. Xỏc định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuụng gúc với mặt phẳng (P) và khoảng cỏch từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1
3. 2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x
2 = y−1
1 =
z
2. Xỏc định tọa độ điểm M trờn trục hoành sao cho khoảng cỏch từ M đến ∆bằng OM.
Bài 6.15 (A-02). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: ∆1 : x−2y+z−4 = 0 x+ 2y−2z+ 4 = 0 và ∆2 : x= 1 +t y= 2 +t z = 1 + 2t .
1. Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa đường thẳng∆1 và song song với đường thẳng ∆2.
2. Cho điểm M(2;1;4). Tỡm tọa độ điểm H thuộc∆2 sao cho đoạn MH cú độ dài nhỏ nhất. Bài 6.16 (A-03). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cú A trựng với gốc của hệ trục tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
1. Tớnh thể tớch khối tứ diện BDA’M theo a và b. 2. Xỏc định tỷ số a
b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuụng gúc với nhaụ
Bài 6.17 (A-04). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ Ọ Biết Ă2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2√
2). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
1. Tớnh gúc và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA, BM.
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABMN.
Bài 6.18 (A-05). Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:x−1 −1 = y+ 3 2 = z−3 1 và mặt phẳng (P):2x+y−2z+ 9 = 0. 1. Tỡm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cỏch từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. 2. Tỡm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆đi qua A và vuụng gúc với d. Bài 6.19 (A-06). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ với Ă0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
1. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng A’C và MN.
2. Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một gúc α biết cosα= √1
6.
http://yenphongso2.edụvn 31
32 Chương 6.Hỡnh học giải tớch trong khụng gian Bài 6.20 (A-07). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d1 : x 2 = y−1 −1 = z+ 2 1 và d2 : x=−1 + 2t y= 1 +t z = 3. 1. Chứng minh rằng d1 và d2 chộo nhaụ
2. Viết phương trỡnh đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng (P): 7x+y−4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2.
Bài 6.21 (A-08). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Ă2;5;3) và đường thẳng d:x−1 2 = y 1 = z−2 2 .
1. Tỡm tọa độ hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn đường thẳng d.
2. Viết phương trỡnh mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cỏch từ A đến (α) lớn nhất. Bài 6.22 (A-09). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng (P):x−2y+ 2z−1 = 0 và hai đường thẳng∆1 : x+ 1 1 = y 1 = z+ 9 6 , ∆2 : x−1 2 = y−3 1 = z+ 1
−2 . Xỏc định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cỏch từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhaụ
Bài 6.23 (A-10). Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng∆ : x−1
2 =
y 1 =
z+ 2 −1 và mặt phẳng (P):x−2y+z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆với (P), M là điểm thuộc∆. Tớnh khoảng cỏch từ M đến (P), biết MC=√
6.