Qui ho¤ch tuy¸n t½nh c§u trĩc bªc thang câ ma trªn r ng buëc chia t¡ch th nh K ×K ỉ vuỉng hay chú nhªt, méi ỉ l mët ma trªn con m ph¦n lỵn ·u l c¡c ma trªn khỉng, trø c¡c ma trªn con n¬m tr¶n hay li·n ngay d÷ỵi ÷íng ch²o ch½nh, ch¯ng h¤n:
z = c1Tx1 + c2Tx2 + c3Tx3 + c4Tx4 → min vỵi i·u ki»n
A11x1 = b1,
A21x1 +A22x2 = b2,
A32x2 + A33x3 = b3, A43x3 +A44x4 = b4, xk ≥ 0, k = 1, ..., K, ð ¥y K = 4.
Ta s³ gåi c¡c bªc thang li¶n ti¸p tø ¦u tỵi ch¥n thang l c¡c thíi ký t = 1, t = 2, t = 3 v t = 4, m°c dị trong nhi·u ùng dưng c¡c bªc thang câ thº l c¡c giai o¤n cõa qu¡ tr¼nh s£n xu§t hay c¡c ph¥n ho¤ch cõa c§u trĩc vªt lþ. Ph÷ìng ph¡p mỉ t£ sau ¥y câ t½nh kh¡i qu¡t, câ thº dịng º gi£i b i to¡n câ c§u trĩc bªc thang vỵi K b§t ký.
Trong mưc n y ta s³ ph¡c håa c¡ch ¡p dưng nguy¶n lþ ph¥n r¢ Ben- ders, k¸t hđp vỵi sû dưng truy hçi ti¸p cªn ph¥n r¢ lçng nhau (nested decomposition approach).
Mët c¡ch °t lçng c¡c ph¥n ho¤ch cõa x l ti¸n theo thíi gian, bt ¦u tø ph¥n ho¤ch x th nh 1 2 3 4 K¸t qu£ l b i to¡n con
Benders c¦n gi£i theo x1 cè ành:
γ1 = c2Tx2 + c3Tx3 + c4Tx4 →min vỵi i·u ki»n
A22x2 = b2 − A21x1,
A32x2 +A33x3 = b3, A43x3 + A44x4 = b4,
xk ≥ 0, k = 2,3,4.
B i to¡n con n y ÷đc gi£i b¬ng c¡ch ti¸p tưc ph¥n ho¤ch {x2, x3, x4}
th nh{x2},{x3, x4}, v.v ... Méi ph¥n ho¤ch l m gi£m mët bªc thang cho ¸n khi b i to¡n con cán l¤i ch¿ gçm duy nh§t mët bªc thang.
B i to¡n chõ Benders thu hµp (t÷ìng ùng vỵi ph¥n ho¤ch thù nh§t) câ d¤ng t÷ìng tü nh÷ b i to¡n (3.8) - (3.11), cư thº l câ d¤ng v²ctì nh÷ sau.
c1Tx1 +γ1 = z →min vỵi i·u ki»n
GTx1 +eγ1 ≥g, e = (1,1, ...,1)T,
HTx1 ≥ h,
x1 ≥ 0.
trong â G = G1, G2, ..., g = (g1, g2, ...)T, H = H1, H2, ... v h = (h1, h2, ...)T. B i to¡n chõ thu hµp cho c¡c b i to¡n con ti¸p theo ÷đc x¡c ành theo c¡ch t÷ìng tü.
V½ dư 3.4.1. (xem [5]). X²t qui ho¤ch tuy¸n t½nh sau.
trong â xj ≥ 0, j = 1, 2, ... , 6. B i to¡n câ d¤ng bªc thang vỵi K=2:
cTx+dTy = z(min) Ax = b1, Bx+Dy = b2, x ≥ 0, y ≥ 0.
vỵi x = (x1, x2, x3)T, y = (y1, y2, y3)T = (x4, x5, x6)T, c= (1,1,1)T d = (3,2,1)T, b1 = (6,6)T, b2 = (9,15,9)T v A = 1 2 3 3 2 1 , B = 1 1 1 3 2 1 4 −1 1 v D = 4 −1 1 3 2 1 1 1 1 .
º gi£i b i to¡n theo thuªt to¡n ph¥n r¢ Benders ta xu§t ph¡t tø vi»c t¤o ra b i to¡n chõ ¦u ti¶n
β = cTx+δθ = z(min),
Ax =b1, x ≥ 0.
trong â δ = 0 n¸u khỉng câ l¡t ct tèi ÷u n o v δ = 1 n¸u câ ½t nh§t mët l¡t ct tèi ÷u. Trong tr÷íng hđp n y δ = 0 v¼ lĩc n y ch÷a câ l¡t ct tèi ÷u.
Gi£ sû b i to¡n chõ câ nghi»m tèi ÷u x= x0, ta gi£i b i to¡n con
dTy = w (min), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dy = b2 −Bx0, (3.17)
y ≥ 0.
Sau â nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n n y ÷đc dịng º x¥y düng l¡t ct cho b i to¡n chõ. Gi£i b i to¡n chõ ¦u ti¶n
x1 + 2x2 + 3x3 = 6 3x1 + 2x2 + x3 = 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
ta nhªn ÷đc nghi»m tèi ÷u x0 = 1,5 0 1,5 T. T½nh v¸ ph£i cõa b i to¡n con (3.17): b2 −Bx0 = 9 15 9 − 1 1 1 3 2 1 4 −1 1 × 1,5 0 1,5 = 6 9 1,5 .
v sau â gi£i b i to¡n con
z = 3y1 + 2y2 + 1y3 → min. 4y1 − y2 + y3 = 6 3y1 + 2y2 + y3 = 9 y1 + y2 + y3 = 1,5 y1 ≥0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
B i to¡n n y khỉng câ ph÷ìng ¡n v v¼ th¸ ta dịng c¡c nh¥n tû khỉng ch§p nhªn ÷đc cõa nâ º t¤o ra l¡t ct ch§p nhªn ÷đc. C¡c nh¥n tû khỉng ch§p nhªn ÷đc n y l u1 = −0,2 1 −2,2 T.
Ti¸p theo, ta t½nh l¡t ct ch§p nhªn ÷đc H1x ≥h1 vỵi
H1 = u1TB = −6 4 −1,4 v h1 = u1Tb2 = −6,6 B i to¡n chõ thu hµp mỵi l
z = x1 + x2 + δγ → min. x1 + 2x2 + 3x3 = 6,0 3x1 + 2x2 + x3 = 6,0 −6x1 + 4x2 −1,4x3 = −6,6, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
trong â δ = 0 v¼ v¨n ch÷a câ l¡t ct tèi ÷u. Líi gi£i tèi ÷u cõa b i to¡n n y l z1 = 3, x1 = 1,207792; 0,584416; 1,207792 T. Dịng nghi»m n y ta t½nh v¸ ph£i cõa b i to¡n con mỵi:
b2−Bx1 = 9 15 9 − 1 1 1 3 2 1 4 −1 1 × 1,207792 0,584416 1,207792 = 6,0 9,0 3,545456 .
v gi£i b i to¡n con mỵi w = 3y1 + 2y2 + 1y3 → min 4y1 − y2 + y3 = 6, 3y1 + 2y2 + y3 = 9, y1 + y2 + y3 = 3,545456 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
Ta nhªn ÷đc líi gi£i tèi ÷u
w∗ = 9,0 v y∗ = 1,9091 1,6364 0,0 T vỵi nh¥n tû tèi ÷u u2 = 0 1 0 T.
Ti¸p â, ta t½nh l¡t ct tèi ÷u G1x+γ ≥ g1 vỵi
G1 = u2TB = 3 2 1 , v g1 = u2Tb2 = 15.
B i to¡n chõ thu hµp mỵi l
z = x1 + x2 + γ → min. x1 + 2x2 + 3x3 = 6,0 3x1 + 2x2 + x3 = 6,0 −6x1 + 4x2 −1,4x3 = −6,6, 3x1 + 2x2 + x3 +γ = 6,0 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Líi gi£i tèi ÷u cõa b i to¡n chõ n y l z2 = 12, x2 = 1,207792; 0,584416; 1,207792 T, γ2 = 9, γ2 = w∗ = 9 n¶n ta ¤t tèi ÷u v døng thuªt to¡n.
K¸t qu£, ta nhªn ÷đc líi gi£i tèi ÷u cõa b i to¡n ban ¦u l
x∗ = 1,207792; 0,584416; 1,207792 T v
y∗ = 1,9091 1,6364 0,0 T, fmin = 12
Tâm l¤i, ch÷ìng n y ¢ tr¼nh b y thuªt to¡n ph¥n r¢ Benders gi£i qui ho¤ch tuy¸n t½nh k½ch th÷ỵc lỵn ho°c câ c§u trĩc °c bi»t, cho ph²p ÷a b i to¡n ban ¦u vỵi nhi·u bi¸n v· c¡c b i to¡n it bi¸n hìn. Kh¡c vỵi ph¥n r¢ Danzig-Wolfe, b i to¡n chõ Benders câ nhi·u r ng buëc ©n, c¡c r ng buëc n y s³ ÷đc t¼m v ÷a v o b i to¡n chõ thu hµp trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n thuªt to¡n. Ph¥n r¢ Benders th½ch hđp cho c¡c b i
K¸t luªn
Khi gi£i b i to¡n qui ho¤ch tuy¸n t½nh câ k½ch th÷ỵc lỵn ho°c câ c§u trĩc °c bi»t, ng÷íi ta th÷íng t¼m c¡ch chia nhä nâ th nh nhi·u b i to¡n con k½ch th÷ỵc nhä hìn ho°c dº xû lþ hìn nhí tªn dưng c§u trĩc ri¶ng cõa c¡c b i to¡n con. â l þ t÷ðng ph¥n r¢ trong qui ho¤ch tuy¸n t½nh. Câ hai c¡ch ti¸p cªn ¡ng chĩ þ l nguy¶n lþ ph¥n r¢ Dantzig - Wolfe v nguy¶n lþ ph¥n r¢ Benders.
Luªn v«n ¢ tr¼nh b y v ¤t ÷đc mët sè k¸t qu£ sau:
1. C¡c ki¸n thùc cì sð v· tªp lçi, tªp lçi a di»n, b i to¡n qui ho¤ch tuy¸n t½nh, b i to¡n èi ng¨u v thuªt to¡n ìn h¼nh c£i bi¶n. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. Nguy¶n lþ ph¥n r¢ Dantzig - Wolfe trong qui ho¤ch tuy¸n t½nh: þ t÷ðng, c¡c kÿ thuªt t½nh to¡n cư thº v v½ dư sè minh ho¤. p dưng ph¥n r¢ Dantzig - Wolfe v o qui ho¤ch tuy¸n t½nh câ c§u trĩc ma trªn ÷íng ch²o khèi.
3. Nguy¶n lþ ph¥n r¢ Benders trong qui ho¤ch tuy¸n t½nh: þ t÷ðng, kÿ thuªt t½nh to¡n v c¡c v½ dư sè. p dung ph¥n r¢ Benders v o qui ho¤ch tuy¸n t½nh câ c§u trĩc ma trªn bªc thang.
Câ thº xem luªn v«n nh÷ b÷ỵc t¼m hiºu ¦u ti¶n v· c¡c nguy¶n lþ ph¥n r¢ trong qui ho¤ch tuy¸n t½nh. T¡c gi£ luªn v«n hy vång s³ câ dàp ÷đc t¼m hiºu s¥u hìn v· m°t kÿ thuªt t½nh to¡n v c¡c ph÷ìng ph¡p ph¥n r¢ kh¡c ch÷a ÷đc · cªp tỵi trong luªn v«n n y.
T i li»u tham kh£o
[1] N. T. B. Kim (2008) Gi¡o tr¼nh c¡c ph÷ìng ph¡p tèi ÷u: Lþ thuy¸t v thuªt to¡n. NXB B¡ch Khoa H Nëi.
[2] B. T. T¥m, T. V. Thi»u (1998). C¡c ph÷ìng ph¡p tèi ÷u ho¡. NXB Giao thỉng vªn t£i.
[3] T. V. Thi»u (2004) Gi¡o tr¼nh tèi ÷u tuy¸n t½nh. NXB H QG HN. [4] M. S. Bazara et al., Nonlinear Programming: Theory and Algo- rithms.3rdEdition. A John Willey and Sons, Inc., Publication, 2006. [5] G. B. Dantzig, M. N. Thapa (2003) Linear Programming: Theory
and Extensions. Springer.
[6] S. Gass (1994) Linear Programming and its Extensions. Iternational Editions.