3.1.2.1. Biến đổi Fourier rời rạc.
Với dãy {x(n)} có độ dài hữu hạn là L(x(n)=0 với n<0 và n ) ta có biến đổi fourier:
X( ) = Với 0
Việc phân tích tín hiệu rời rạc theo thời gian trong miền tần số thường được thực hiện rất hiệu quả và tiện lợi bằng bộ vi xử lý tín hiệu số. Bộ vi xử lý này có thể là máy tính được sử dụng cho các mục đích chung hoặc là một thiết bị số chuyên dụng. Để thực hiện việc phân tích này, tín hiệu rời rạc theo thời gian {x(n)} cần được chuyển từ miền thời gian sang miền tần số tương ứng thông qua biến đổi Fourier X (ω) của dãy. Tuy vậy, do X (ω) là hàm liên tục của biến tần số nên có thể thấy việc xử lý bằng máy tính của cách biểu diễn này là không thuận tiện.
Để tránh nhược điểm nêu trên có thể đưa ra một cách biểu diễn khác của {x(n)} biểu diễn thông qua việc lấy mẫu phổ X (ω) của tín hiệu tại N tần số cách
đều nhau: k , k=0,1,.., N-1 với N
Các mẫu nhận được là: X(k)= X(2 k/N) =
Đặt = khi đó
X(k) =
Như vậy, từ biểu diễn của tín hiệu trong miền tần số liên tục ta đã đưa đến biến đổi Fourier rời rạc (DFT). Biến đổi này là một công cụ rất hiệu quả trong việc phân tích các tín hiệu rời rạc theo thời gian.
x(n)=x(n+LN) với L là số nguyên
Ta có định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn x(n):
Đặt =
Viết lại biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc:
X(k)= (3.31)
3.1.2.2 Biến đổi Fourier nhanh phân thời gian.
a. Định nghĩa.
Thuật toán tính nhanh biến đổi Fourier rời rạc dựa trên việc phân dãy x(n) thành các dãy con có chiều dài ngắn hơn được gọi là thuật toán biến đổi Fourier nhanh phân theo thời gian.
b. Thuật toán FFT cơ số 2
Nếu N=2Y thì N là một số nguyên chẵn. Vậy chúng ta có thể phân chia dãy x(n)N thành hai dãy có chiều dài N/2:
Dãy thứ nhất được hình thành bởi các giá trị chẵn x(2r) 2
N . Dãy thứ hai được hình thành bởi các giá trị lẻ. x(2r+1)N2 . Khi đó ta có công thức biến đổi FFT:
= + = + X(k) = + (3.32) X(k)N = G(K + H(K (3.33) Với: g(m)= x(2m) và h(m) = x(2m+1) m=0,1,..,N/2-1 G(K = : 0 (3.34) H(K = : 0 (3.35) Đặt (k) = G(k) và (k) = H(k Suy ra: X(k)N = (k) + (k) k=0,1,…,N/2-1 (3.36)
X(k+ )N = (k) - (k) k = 0,1,…,N/2-1
Hình 3.1 FFT cơ số 2
Tiếp tục phân h(m) và g(m) thành các chuỗi N/4 điểm (n)=g(2n) n = 0,1,..,N/4-1
(n)=h(2n+1) n = 0,1,..,N/4-1
G(k) = (k) + (k) k = 0,1,..,N/4-1
G(k+N/4) = (k) - (k) k = 0,1,..,N/4-1 (3.38)
H(k) = (k) + (k) k = 0,1,..,N/4-1
H(k+N/4) = (k) - (k) k = 0,1,..,N/4-1
Tiếp tục phân các chuỗi (n) thành các chuỗi có độ dài bằng một nửa của chúng. Quá trình tiếp diễn cho đến khi tạo thành những chuỗi phân chia có độ dài bằng 2. Khi đó chỉ phải tính duy nhất các DFT 2 điểm
Tính DFT trực tiếp Tính DFT cơ số 2 Nhân phức : Nhân phức : (N/2)*
Cộng phức : Cộng phức : N*
Bảng so sánh giữa phương pháp DFT trực tiếp và FFT cơ số 2 Ví dụ trong trường hợp N=8 điểm
Hình 3.2 Sơ đồ giàn tính FFT cơ số 2