Định nghĩa 2.2.1 ( Phép lấy chuyển vị)
Cho A= ( là một ma trận loại mxn. Ta gọi ma trận chuyển vị của A với ký hiệu là ma trận loại nxm, có đƣợc từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tƣơng ứng, nghĩa là nếu:
29 Thì
Nhƣ vậy
Lƣu ý: Nếu thì ta nói A là ma trận đối xứng. Nếu thì ta nói A là ma trận phản xứng.
Ví dụ
A= Thì ta có:
Định nghĩa 2.2.2 ( Phép nhân vô hƣớng với ma trận)
Cho ma trận A= và số thực Ta định nghĩa là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với nghĩa là:
Nhƣ vậy ta có: Ví dụ: Ta có ma trận sau: A= Tính chất 2.2.3 Với A = Định nghĩa 2.2.4 ( Phép cộng ma trận)
Cho hai ma trận cùng loại mxn là: A = . Ta định nghĩa tổng hai ma trận A và B với ký hiệu A + B, là ma trận loại mxn mà các hệ số có đƣợc bằng cách lấy tổng của các hệ số tƣơng đƣơng của A và B nghĩa là
Nhƣ vậy:
30
Ví dụ:
Tính chất 2.2.5
Định nghĩa 2.2.6 (Phép nhân ma trận)
Cho hai ma trận A và B có tính chất: Số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. Cụ thể: A = ( loại m x n và B = loại n x p.
Ta định nghĩa tích của hai ma trận A và B, ký hiệu AB là ma trận C loại m x p định bởi:
Về loại : C có loại m x p.
Về hệ số: C có hệ số ở dòng i, cột j đƣợc tính bởi công thức:
Cách nhân
Hệ số dòng i, cột j của AB có đƣợc bằng cách nhân các hệ số ở dòng i của ma trận A với các hệ số tƣơng ứng ở cột j của ma trận B rồi lấy tổng của chúng:
Ví dụ
Cho A= .
31
Tính chất 2.2.7
Lƣu ý:
1) Phép nhân ma trận không có tính giao hoán nghĩa là thông thƣờng ta có: AB BA .
2) Nhiều tính chất quen thuộc của phép nhân giữa các số thực không còn đúng đối với phép nhân ma trận.
Ví dụ: A= và B = thì AB = 0 nhƣng A và B khác 0.
Định nghĩa 2.2.8 (Lũy thừa của ma trận vuông).
Với A và k là số nguyên không âm ta đặt: