1. C¡c bi to¡n n t“p tuy”n sinh lp 10
Bi 1.1 Tam gi¡c ABC vung t⁄i A c BC = 2AB. L§y D; E n‹m tr¶n AC; AB sao cho
\
ABD = 1
3ABC[ v ACE[ =
1
3ACB[ . F l giao i”m cıa BD; CE . H; K l i”m Łi xøng cıa
F qua AC; BC.
(a) Chøng minh H; D; K thflng hng. (b) Chøng minh tam gi¡c DEF c¥n.
Li gi£i
(a) Gi T = F H \ AC; V = F K \ BC. Tł gi£i thi‚t c th” suy ra tam gi¡c ABC l nßa tam
gi¡c •u n¶n vi»c t‰nh c¡c gc l tƒm thng. Ta c, F HD\ = HF D\ = \ABD = 20 . Mc kh¡c, F HK\ = F T V[ (do T V kHK) = ACE[ (do CT F V nºi ti‚p) = 20 = F HD\
Suy ra H; F; K thflng hng.
(b) HK c›t BC t⁄i I. Ta lƒn læt t‰nh c¡c gc :
[
DF I = 180 DIF[ IDF[ = 180 20 40 = 120
\
BEC = 90 + 10 = 100 v BIF[ = 800 n¶n BEF I nºi ti‚p.
Suy ra 8 < : [ EF I = 180 ABC[ = 120 = DF I[ [ F IE = 20 = DIF[
Do , 4 DF I = 4 EF I ) F D = F E. Do , tam gi¡c DEF c¥n t⁄i F. r
Bi 1.2 ng trÆn (O) nºi ti‚p tam gi¡c ABC(AB > AC ) ti‚p xc vi AB; AC t⁄i P; Q. Gi R; S lƒn læt l trung i”m BC; AC. Giao i”m cıa P Q; RS l K. Chøng minh r‹ng
B; O; K thflng hng.
Qua H v‡ c¡c ng thflng song song vi BC; CA; AB c›t c¡c c⁄nh tam gi¡c ABC t⁄i
E; K; Y; I; F; L sao cho F K kAC; IE k AB; LY kBC v E; K 2 BC;I; Y 2 AC;F; L 2 AB.
Khi , hi”n nhi¶n c¡c ng thflng LY; F K; IE lƒn læt vung gc vi HA; HB; HC . Tam gi¡c AHL vung t⁄i H n¶n HA < AL . Tng t, ta cng c HC < CE . p dng b§t flng thøc tam gi¡c, ta thu æc :
HB < HL + LB = LB + BE
D§u flng thøc tr¶n do HLBE l h…nh b…nh hnh. Tł , ta thu æc :
HA + HB + HC < AL + LB + BE + EC = AB + BC
X¥y dng hai b§t flng thøc tng t ri cºng theo v‚, ta c ngay i•u cƒn chøng minh. r
Bi 1.4 Gi AB l mºt d¥y cung cŁ nh ca ng trÆn (O). P l i”m di ºng tr¶n d¥y cung AB nhng khng trng vi hai ƒu mt. V‡ ng trÆn (C) i qua A; P ti‚p xc trong vi (O) v ng trÆn (D) i qua B; P ti‚p xc trong vi (O). L§y N l giao i”m thø 2 cıa
(C);(D).
(a) Chøng minh r‹ng 4 ANB v 4 CP D. Tł h¢y ch¿ ra N di ºng tr¶n ng no. (b) Chøng minh r‹ng NP lun i qua mºt i”m cŁ nh.
Li gi£i (a) Nh“n x†t r‹ng 8 >< >: \ P AN = 1 2P CN\ = P CD\ \ P BN = 1 2P DN\ = \P DC .
Tł ¥y suy ra 4 ANB v 4 CP D
Do \ANB = \CP D. Mc kh¡c, do OCP D l h…nh b…nh hnh n¶n CP D\ = AOB[ = n¶n
\
ANB = khng Œi.
(b) Gi K l giao i”m cıa ti‚p tuy‚n t⁄i A; B cıa (O). Khi K thuºc trc flng phng cıa (C);(D) n¶n NP lun qua K cŁ nh. Ta c th” chøng minh k‚t qu£ ny ” ph hæp vi ki‚n thøc lp 9 nh sau :
Gi P1 l giao i”m cıa KN vi (C) v P2 l giao i”m cıa KN vi (D). Khi :
KP1 KN = KA2 = KB2 = KP2 KN
Tł ¥y suy ra P1 P2 P. r
Bi 1.5 Cho tam gi¡c ABC c BAC[ = 120 v c¡c ng ph¥n gi¡c AA0; BB0; CC0. T‰nh
\
B0A0C0.
Li gi£i
Gi Ax l tia Łi cıa tia AB. Khi , CAx[ = 60 n¶n AC l ph¥n gi¡c ngoi ¿nh A cıa tam gi¡c AA0B. Mc kh¡c, BB0l ph¥n gi¡c trong cıa tam gi¡c ny n¶n B0ch‰nh l t¥m bng ti‚p trong gc B cıa tam gi¡c AA0B.
Suy ra A0B0l ph¥n gi¡c AA\ 0C.
Chøng minh tng t, ta c A0C0l ph¥n gi¡c AA0B. V… v“yB\0A0C0= 90 . r
Bi 1.6 Cho h…nh vung ABCD c hai ng ch†o c›t nhau t⁄i E. Mºt ng thflng i qua A c›t c⁄nh BC M v c›t ng thflng CD N. Gi K l giao i”m cıa EM v BN. Chøng minh r‹ng CK ? BN.
B qua trng hæp n gi£n EM kCD. K†o di EM c›t CD t⁄i S. p dng nh l Menelaus cho tam gi¡c ACN vi c¡t tuy‚n (EMS) v tam gi¡c BCN vi c¡t tuy‚n (MKS) :
MA MN SN SC EC EA = 1 MC MB KB KN SN SC = 1 Tł ¥y suy ra : MA MN = MC MB KB KN p dng nh l Thales, ta th§y r‹ng : MA MN = MB MC = AB CN = BC CN Do , BC2 NC2 = KB KN
Gi K0l c¥n ng cao k· tł C cıa tam gi¡c BCN th… ta c k‚t qu£ quen thuºc :
BC2
NC2 = K0B
K0N
K v K0chia trong o⁄n BN theo cng mºt t sŁ n¶n trng nhau.
i•u ny chøng t CK ? BN. r
Bi 1.7 Cho 4 ABC c BAC[ = 90 (AB < AC ). ng trÆn (O;r) ng k‰nh AB v ng trÆn (P;R) ng k‰nh AC c›t nhau D v A.
(a) Gi M l i”m ch‰nh giœa cung nh DC; AM c›t (O) t⁄i N, c›t BC t⁄i E. Chøng minh 4 ABE c¥n v c¡c i”m O; N; P thflng hng.
(b) Dng ng k‰nh NQ cıa (O). Chøng minh Q; D; M thflng hng. (c) Gi K l trung i”m MN. Chøng minh P K ? OK.
(a) Vi ch r‹ng AB l ti‚p tuy‚n t⁄i A cıa (P), ta c
[
BAE = \BAD + \DEA = \ACD + CAE[
= BEA[
Suy ra tam gi¡c ABE c¥n t⁄i B.
Do N vła l ch¥n ng cao vła l trung i”m AE. Tł ¥y suy ra P; N; O thflng hng.
(b) Tł gi£ thi‚t suy ra NDQ\ = 90
Mt kh¡c :
\
DNM + DMN\ = \DBA + \DCA = 90
Suy ra MDN\ = 90 . V… v“yQ; D; M thflng hng.
(c) Ta c K l trung i”m MN n¶n KN = KD. L⁄i c ON = OD n¶n KO l ng trung trc cıa ND hay KO kMD. Do
\
OKA = DMA\ = \DCA = OP A[
V… v“y tø gi¡cOKP A nºi ti‚p. Suy ra OKP\ = 90 hay OK? P K. r
Bi 1.8 Tam gi¡c ABC nhn c 3 ng cao AA1; BB1; CC1 c›t nhau t⁄i trc t¥m H. Gi
Ha; Hb; Hc lƒn læt l trc t¥m cıa c¡c tam gi¡c AB1C1; BC1A1; CA1B1, h¢y chøng minh r‹ng 4 A1B1C1 = 4 HaHbHc.
Trc h‚t xin ph¡t bi”u v khng chøng minh mºt bŒ • quen thuºc : Vi tam gi¡c XY Z c trc t¥m Q th…QX = Y ZcotX.
p dng bŒ • tr¶n, suy ra :
B1Ha = AC1 cotAB\ 1C1 = AC1 cotABC[
(do AB\ 1C1 = ABC[ , B1C1BC nºi ti‚p)
A1Hb = BC1 BA\ 1C1 = BC1 cotBAC[
(do BA\ 1C1 = BAC[ , ACA1C1 nºi ti‚p) M BCAC1
1 = ACCC1 1
CC1
BC1 = cotBAC[
cotABC[ n¶n B1Ha = A1Hb. Hn nœa, B1Ha k A1Hb (cng vung
gc vi AB). Suy ra A1B1HaHb l h…nh b…nh hnh.
Tł c æc HaHb = A1B1. Lm tng t vi hai c⁄nh cÆn l⁄i, ta c hai tam gi¡c HaHbHc
v A1B1C1 b‹ng nhau theo trng hæp c⁄nh-c⁄nh-c⁄nh. r
Bi 1.9 Cho d¥y cung AB cŁ nh tr¶n (O) v AOB[ = 120 . M l mºt i”m di ºng tr¶n cung ln AB, ng trÆn nºi ti‚p tam gi¡c MAB ti‚p xc vi MA; MB t⁄i E; F . Chøng minh r‹ng EF lun ti‚p xc vi mºt ng trÆn cŁ nh.
Bi 1.11 Cho tam gi¡c ABC vung t⁄i A. K· ng cao AH v ng ph¥n gi¡c BE cıa tam gi¡c ABC (H 2 BC; E 2 AC). ng thflng qua A vung gc vi BE c›t BC; BE lƒn læt t⁄i M; N.
(a) Chøng minh tø gi¡c ANHB nºi ti‚p mºt ng trÆn. Gi ng trÆn l (O). (b) ng thflng CN c›t (O) t⁄i T (T 6= N). Chøng minh r‹ng : CH BC = CN CT.
(c) Gi I l giao i”m cıa ON v AH. Chøng minh r‹ng : 4HI1 2 = AB1 2 + AC12.
Li gi£i
(a) Ta c \ANB = \AHB = 90 n¶n tø gi¡c ANHB nºi ti‚p ng trÆn O;AB2 .
(b) CH BC = CN CT = PM=(O).
(c) X†t tam gi¡c ABM c BN vła l ng cao, vła l ng ph¥n gi¡c trong. Do tam gi¡c ABM c¥n t⁄i B. Suy ra N l trung i”m AM.
L⁄i c AB l mºt ng k‰nh cıa (O) n¶n O l trung i”m AB. V… v“yI l trung i”m AH
hay AH = 2HI. Tł ta c 1 4HI2 = AH1 2 V“y ta cƒn chøng minh 1 AH2 = AB1 2 + AC12
M flng thøc ny hi”n nhi¶n ng theo h» thøc læng trong tam gi¡c vung ABC. Ta c i•u
cƒn chøng minh. r
Bi 1.12 Cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p ng trÆn (O;R) c ng cao AD. Gi E l h…nh chi‚u cıa B tr¶n AO; K l trung i”m cıa BC, I l t¥m ng trÆn ngo⁄i ti‚p tø gi¡c ABDE . Chøng minh r‹ng IK l ng trung trc cıa DE.
Tø gi¡c BDEA nºi ti‚p ng trÆn ng k‰nh AB n¶n t¥m I cıa ng trÆn ngo⁄i ti‚p tø gi¡c ny l trung i”m AB.
Ta c I v K l trung i”m AB; AC n¶n OI ? AB v OK ? BC. Suy ra ng gi¡c BIOEK
nºi ti‚p ng trÆn ng k‰nh OB.
V… v“y mEIK[ = EBK\ = EBD\ = 12EID[ hay IK l ph¥n gi¡c cıa DIE[ .
L⁄i c ID = IE n¶n tam gi¡c IDE c¥n t⁄i I. Do IK l trung trc cıa DE. r
Bi 1.13 Cho tam gi¡c ABC nhn nºi ti‚p ng trÆn (O). C¡c ng cao AD; BE; CF
c›t nhau t⁄i H.
(a) K· ng k‰nh AA0cıa (O),I l trung i”m cıa BC. Chøng minh r‹ng ba i”m H; I; A0
thflng hng.
(b) Gi G l trng t¥m tam gi¡c ABC. Chøng minh r‹ng SAHG = 2SAOG.
Li gi£i
(a) Ta c BA0kCH (cng vung gc vi AB) v CA0kBH(cng vung gc vi AC) n¶n tø gi¡c BHCA0l h…nh b…nh hnh, do HA0v BC c›t nhau t⁄i trung i”m mØi ng hay I
ng thi l trung i”m A0H. V“y H; I; A0thflng hng.
(b) Ta c H; G; O thflng hng v HG = 2GO (ng thflng Euler trong tam gi¡c ABC) n¶n
SAHG = 2SAGO. r
Bi 1.14 Cho M l mºt i”m n‹m b¶n trong h…nh b…nh hnh ABCD. Khi , h¢y chøng minh b§t flng thøc
MA MC + MB MD 6 AC BC
Li gi£i.
Dng h…nh b…nh hnh ABMT. Khi MT song song v b‹ng AB, suy ra MT cng song song v b‹ng vi CD n¶n MCDT cng l h…nh b…nh hnh.
p dng b§t flng thøc Ptolemy cho tø gi¡c AMDT :
MT AD 6 MA DT + MD AT
Ch¿ cƒn thay MT = AB; AD = BC; DT = MC; AT = MD, ta c ngay i•u cƒn chøng minh. r
Bi 1.15 Cho ng trÆn (O;R), ng k‰nh BC. A l i”m di ºng tr¶n nßa ng trÆn
(A 6= B; C). Tr¶n nßa ng trÆn kia l§y I l i”m ch‰nh giœa cung BC. Dng AH ?
BC t⁄i H. Gi (O1;R1); (O2;R2); (O3;R3) lƒn læt l c¡c ng trÆn nºi ti‚p c¡c tam gi¡c
ABH; ACH; ABC .
(a) Chøng minh AI ? O1O2.
(b) HO1 c›t AB t⁄i E, HO2 c›t AC t⁄i F. Chøng minh 4 O1O2H v 4 ABC. (c) T…m v tr‰ i”mA ” R1+ R2+ R3 ln nh§t.
(a) Gi S; P lƒn læt l giao i”m cıa O1O3 vi AO2 v O2O3 vi AO2.
Ta c B; O1; O3 thflng hng n¶n ABS[ + BAS[ = BAH\ + 2ABS[ = 90 . Suy ra O1S ? AO2. Tng t, ta c O2P ? AO1.
Do O3 l trc t¥m tam gi¡c AO1O2 hay AI ? O1O2.
(b) Ta c 4 BO1H v 4 AO2H n¶n O1H O2H = BH AH = AB AC Suy ra 4 O1HO2 v 4 BAC.
(c) Theo mºt k‚t qu£ quen thuºc ta c :
8 >>>> < >>>> : R3 = AB + AC BC 2 R2 = AH + CH2 AC R1 = AH + BH2 AB V… v“yR1+ R2+ R3 = AH 6 R.
Do R1+ R2+ R3 ln nh§t , A l i”m ch‰nh giœa cung BC. r
Bi 1.16 Cho nßa ng trÆn t¥m O ng k‰nh AB = 2R. C l mºt i”m tr¶n nßa ng trÆn (C 6= A; B). Dng CH ? AB t⁄i H. E; F lƒn læt l h…nh chi‚u cıa H tr¶n CA; CB.
(a) Chøng minh EF song song vi ti‚p tuy‚n t⁄i C cıa (O). (b) Chøng minh tø gi¡c ABF E nºi ti‚p.
(c) T…m v tr‰ i”mC ” chu vi v di»n t‰ch tam gi¡c ABC ln nh§t.
(d) Chøng minh khi C di ºng, t¥m I cıa ng trÆn nºi ti‚p 4 OCH di chuy”n tr¶n ng cŁ nh.
(a) Gi ti‚p tuy‚n cıa (O) t⁄i C l Cx. Ta c xCA[ = CBA[ = 90 HCB\ = CHF\ .
Mt kh¡c tø gi¡c CEHF l h…nh chœ nh“t n¶n ta c CHF\ = CEF[ ) xCA[ = CEF[ . Suy ra Cx kEF .
(b) Theo chøng minh c¥u (a) ta c CEF[ = CBA[ n¶n tø gi¡c AEF B nºi ti‚p.
(c) Ta c (CA+ CB)2 6 2(CA2+ CB2) = 2AB2 = 8R2. Suy ra CA+ CB 6 2p 2R.
V… v“y
CA+ CB + AB 6 2p 2 + 2 R
L⁄i c
SABC = 12CA CB 6 18(CA+ CB)2 6 18 8R2 = R2
Trong c£ hai trng hæp, d§u = x£y ra , C l i”m ch‰nh giœa cung AB.
V“y khi C n‹m ch‰nh giœa cungAB th… chu vi v di»n t‰ch tam gi¡cABC ln nh§t.
(d) Khng m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£ sß CA 6 CB. Ta s‡ chøng minh AIO[ = 135 .
Th“t v“y. K· ng k‰nh CC0cıa (O). Ta c ACH\ = C\ 0CB n¶n CI ng thi l ph¥n gi¡c
[
ACB.
Suy ra ACI[ = IHO[ = 45 n¶n tø gi¡c AHIC nºi ti‚p. V… v“y
[
AIO = AIH[ + HIO[
= ACH\ + 90 + HCI[
= 90 + ACI[ = 135
Do I lun n‹m tr¶n cung chøa gc 135 dng tr¶n o⁄n OA v thuºc nßa mt phflng b
AB chøa C.
Tng t vi CA > CB ta c I lun thuºc cung chøa gc 135 dng tr¶n o⁄n OB v n‹m tr¶n nßa mt phflng b AB chøa C.
o⁄n OA hoc OB n‹m tr¶n nßa mt phflng b AB chøa C (trł hai i”m A v B). r
Ch . C¥u (c) cıa bi to¡n ny c mºt c¡ch gi£i kh¡c c th” ¡p dng cho trng hæp tam gi¡c ABC khng vung :
Bi 1.to¡n. Cho ng trÆn (O;R) c d¥y BC cŁ nh, t…m gi¡ tr ln nh§t cıa AB+ AC vi
A l i”m di ºng tr¶n mºt cung BC cıa (O).
Li gi£i
Tr¶n tia Łi cıa tia AB l§y i”m M sao cho AC = AM. Suy ra 4 AMC c¥n t⁄i A
Do AMC\ = ACM\ = BAC[ 2 n¶n M di chuy”n tr¶n cung chøa gc BAC[ 2 dng tr¶n AB v n‹m tr¶n cng mºt nßa mt phflng b BC vi A.
Suy ra AB + AC ln nh§t , AM ln nh§t , BC? CM. Khi A l i”m ch‰nh giœa cung BC cıa (O).
Bi 1.17 Cho h…nh vung ABCD cŁ nh, c⁄nh a. E l i”m di chuy”n tr¶n c⁄nh CD. ng thflng AE v BC c›t nhau t⁄i F. ng thflng vung gc vi AE t⁄i A c›t ng thflng CD t⁄i K.
(a) Chøng minh AF(CK CF) = BD F K.
(b) Chøng minh r‹ng trung i”m I cıa KF di ºng tr¶n mºt ng thflng cŁ nh khi E
di ºng tr¶n CD. (c) Ch¿ ra v tr‰ cıa E ” º di EK ng›n nh§t. Li gi£i (a) Ta c \ KAD = 90 \DAF = 90 AF B[ = F AB[
Suy ra 4 ABF = 4 ADK. Do AK = AF hay 4 F AK vung c¥n t⁄i A. Tr¶n tia CD l§y i”m T sao cho AT = AC th…4 AT K = 4 ACF.
V… v“y AF(CK CF) = AF CT = p1 2KF p 2AC = BD KF
(b) Tam gi¡c AKF vung c¥n t⁄i A c I l trung i”m KF n¶n AI? KF . Suy ra tø gi¡c ADIK nºi ti‚p. Do IAD[ = IKD;[ AID[ = AKD\ .
V… v“yIAD[ + AID[ = AKF\ = 45 = \ADB n¶n I lun n‹m tr¶n ng thflng BD.
(c) p dng h» thøc læng trong tam gi¡c vung ta c
DE EK = AE2 ) EK = AEDE2 6 ACCD2 = 2aa2 = 2a
D§u = x£y ra khi v ch¿ khi E trng vi C. r
Bi 1.18 Cho tam gi¡c ABC •u. Gi D l i”m di ºng tr¶n c⁄nh BC. Gi (I1;R1); (I2;R2); (I3;R3) lƒn læt l c¡c ng trÆn nºi ti‚p cıa c¡c tam gi¡c
ABD; ACD; ABC v (I3;R) l ng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ABC. Tia AD c›t (I3;R)
t⁄i E. (a) Chøng minh 1 ED = 1 EB + 1 EC .
(b) T…m v tr‰ cıaE ” ED1 + EB1 + EC1 nh nh§t. Chøng minh khi §y SABEC ln nh§t. (c) T…m v tr‰ i”mD ” R1+ R2 ln nh§t.
Li gi£i
(a) Ta chøng minh EA = EB + EC
ra 4 BCF = 4 ACE.