C B= A (đ/lớ Ta-lột)
Trung Văn Đức – THCS Lai Thành 40D
b) CE cắt AB ở F. ;
AFEK nội tiếp⇒ ã 0 ả 0 0 0
FEK 180= − A 180= −60 =120 ⇒ BECã = 1200 c) ã 0 B C ả ả 0 1200 0 BIC 180 180 120 2 2 + = − = − =
Vậy I chuyển động trờn cung chứa gúc 1200 dựng trờn đoạn BC, cung này nằm trong đường trũn tõm (O).
d) Trong đ/trũn (O) cú DASã = sđ DSằ
2 ; trong đ/trũn (S) cú ISOã = sđ IOº 2 vỡ DASã = ISOã (so le trong) nờn: DSằ
2 =IOº
2 mà DSằ = IEº ⇒IOº = IEº ⇒ đpcm.
Bài 64: Cho hỡnh vuụng ABCD, phớa trong hỡnh vuụng dựng cung một phần tư đường trũn tõm B, bỏn kớnh AB và nửa đường trũn đường kớnh AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trờn cung AC, vẽ PK
⊥AD và PH ⊥AB. Nối PA, cắt nửa đường trũn đường kớnh AB tại I và PB cắt nửa đường trũn này tại M. Chứng minh rằng:
a. I là trung điểm của AP.
b. Cỏc đường PH, BI và AM đồng quy. c. PM = PK = AH.
d. Tứ giỏc APMH là hỡnh thang cõn.
HD: a) ∆ ABP cõn tại B. (AB = PB = R(B)) màAIB 90ã = 0 (gúc nội tiếp …)
⇒ BI⊥AP ⇒ BI là đường cao cũng là đường trung tuyến ⇒ I là trung điểm của AP
b) HS tự c/m.
c) ∆ ABP cõn tại B⇒ AM = PH ; AP chung ⇒∆vAHP = ∆v PMA
⇒ AH = PM ; AHPK là hỡnh chữ nhật ⇒ AH = KP ⇒ PM = PK = AH
d) PMAH nằm trờn đ/trũn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t)
⇒PMằ = AHằ ⇒PA // MH
Vậy APMH là hỡnh thang cõn.
Bài 65: Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trờn Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.
a. Chứng minh: Tứ giỏc BOIM nội tiếp được trong 1 đường trũn. b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB.
c. Tỡm vị trớ của điểm M trờn tia Bx để diện tớch tam giỏc AIO cú GTLN. HD: a) BOIM nội tiếp được vỡ OIM OBM 90ã =ã = 0
b) INB OBM 90ã =ã = 0; NIB BOMã =ã (2 gúc nội tiếp cựng chắn cung BM) ⇒ ∆ IBN ~ ∆OMB.
c) SAIO = 1
2 AO.IH; SAIO lớn nhất ⇔IH lớn nhất vỡ AO = R(O)
Khi M chạy trờn tia Bx thỡ I chạy trờn nửa đường trũn đ/k AO. Do đú SAIO lớn nhất
Trung Văn Đức – THCS Lai Thành40 D D B S I M C P C K D H E F K I A H B M A N I B O H
Khi IH là bỏn kớnh, khi đú ∆ AIH vuụng cõn, tức HAI 45ã = 0
Võy khi M cỏch B một đoạn BM = AB = 2R(O) thỡ SAIO lớn nhất .
Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường trũn (O; R). Gọi AI là một đường kớnh cố định và D là điểm di động trờn cung nhỏ AC (D≠A và D≠C).
a. Tớnh cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phõn giỏc của BACã . b. Trờn tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI ⊥ CE. c. Suy ra E di động trờn đường trũn mà ta phải xỏc định tõm và giới hạn. d. Tớnh theo R diện tớch ∆ADI lỳc D là điểm chớnh giữa cung nhỏ AC. HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường trũn (O; R). HS tự c/m :
⇒ AB = AC = BC = R 3
Trong đ/trũn (O; R) cú: AB = AC ⇒ Tõm O cỏch đều 2 cạnh AB và AC ⇒AO hay AI là tia phõn giỏc của BACã .
b) Ta cú : DE = DC (gt) ⇒∆ DEC cõn ; ãBDC = BACã = 600 (cựng chắn BCằ )
⇒∆CDE đều. I là điểm giữa BCằ ⇒IBº = ICº ⇒BDIã = IDCã
⇒ DI là tia phõn giỏcBDCã ⇒∆CDE đều cú DI là tia phõn giỏc nờn cũng là đường cao ⇒ DI ⊥CE
c) ∆CDE đều cú DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE ⇒ IE = IC mà I và C
cố định ⇒ IC khụng đổi ⇒E di động trờn 1 đ/trũn cố định tõm I, bỏn kớnh = IC. Giới hạn :
I ∈ACằ (cung nhỏ )
D → C thỡ E → C ; D → A thỡ E → B ⇒ E đi động trờn BCằ nhỏ của đ/t (I; R = IC) chứa trong ∆ ABC đều.
Bài 67: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a. Trờn AD và DC, người ta lấy cỏc điểm E và F sao cho :
AE = DF =a
3.
a. So sỏnh ∆ABE và ∆DAF. Tớnh cỏc cạnh và diện tớch của chỳng. b. Chứng minh AF ⊥ BE.
c. Tớnh tỉ số diện tớch ∆AIE và ∆BIA; diện tớch ∆AIE và ∆BIA và diện tớch cỏc tứ giỏc IEDF và IBCF.
Bài 68: Cho ∆ABC cú cỏc gúc đều nhọn; Aà = 450. Vẽ cỏc đường cao BD và CE. Gọi H là giao điểm của BD, CE.
a. Chứng minh: Tứ giỏc ADHE nội tiếp được trong 1 đường trũn.; b. Chứng minh: HD = DC.
c. Tớnh tỷ số: DE
BC d. Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh:
OA⊥DE
Bài 69: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đỉnh D nằm trờn đường trũn đường kớnh AB. Hạ BN và DM cựng vuụng gúc với đường chộo AC. Chứng minh:
a. Tứ giỏc CBMD nội tiếp được trong đường trũn.
Trung Văn Đức – THCS Lai Thành41 I I B C O A E = = D
b. Khi điểm D di động trờn đường trũn thỡ (BMDã +BCDã ) khụng đổi. c. DB.DC = DN.AC
Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường trũn (O). Gọi D là điểm chớnh giữa cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường trũn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của cỏc cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. Chứng minh:
a. BC // DE.
b. Cỏc tứ giỏc CODE, APQC nội tiếp được. c. Tứ giỏc BCQP là hỡnh gỡ?
Bài 71: Cho 2 đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B; cỏc tiếp tuyến tại A của cỏc đường trũn (O) và (O’) cắt đường trũn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của cỏc dõy AC và AD. Chứng minh:
a. ∆ABD ~ ∆CBA. b. BQDã = APBã
c. Tứ giỏc APBQ nội tiếp.
Bài 72: Cho nửa đường trũn (O), đường kớnh AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường trũn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt cỏc tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
a. Chứng minh: AEMO là tứ giỏc nội tiếp được.
b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giỏc MPOQ là hỡnh gỡ? Tại sao?
c. Kẻ MH⊥AB (H∈AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sỏnh MK với KH. d.Cho AB = 2R và gọi r là bỏn kớnh đường trũn nội tiếp ∆EOF. Chứng minh: