việc hình thành định lý và định hớng giải các bài tập Toán
Biện pháp này đợc xây dựng dựa trên quan điểm lý luận về kiến tạo kiến thức. Học sinh phát hiện kiến thức mới dựa trên cơ sở vốn có đó là các kiến thức cũ, vốn kinh nghiệm đã có. Làm cho việc học của học sinh trở nên tự giác hơn, tích cực hơn và chủ động sáng tạo hơn.
a) Gợi động cơ và hớng đích cho việc hình thành định lý
Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và của đối tợng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu s phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ là sự an bài, đặt vấn đề một cách hình thức.
ở những lớp dới, thầy giáo thờng dùng những cách nh: cho điểm, khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình... để gợi động cơ. Càng lên lớp cao, cùng với sự trởng thành của học sinh, với trình độ nhận thức và giác ngộ chính trị ngày càng đợc nâng cao, những cách gợi động cơ xuất phát từ nội dung hớng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm đối với xã hội ngày càng trở nên quan trọng.
Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi bắt đầu dạy một tri thức nào đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì thế có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc.
Nhằm phát huy tác dụng kích thích, thúc đẩy hoạt động học tập, cần phải phối hợp những cách gợi động cơ khác nhau, cách nọ bổ sung cho cách kia [14, tr. 142].
Đối với việc dạy học Định lý Toán học, ngời ta phân biệt hai con đờng: con đờng có khâu suy đoán và con đờng suy diễn. Hai con đờng này đợc minh họa bằng sơ đồ sau:
Con đờng có khâu suy đoán Con đờng suy diễn
Qua sơ đồ trên cho thấy, dù đi theo con đờng nào chúng ta cũng phải chú ý tới bớc gợi động cơ cho việc hình thành định lý. Việc gợi động cơ cho việc hình thành định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học [13, tr. 383].
Dới đây chúng ta xét cụ thể một số ví dụ thông qua dạy học các Định lý về hai đờng thẳng chéo nhau quan hệ vuông góc:
Ví dụ 1: Gợi động cơ cho việc hình thành Định lý đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau:
"Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một đ- ờng thẳng ∆ cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đờng thẳng ấy. Đờng thẳng ∆
đó đợc gọi là đờng vuông góc chung của a và b" [4, tr. 80].
Để dạy học Định lý này, đầu tiên chúng ta có thể gợi động cơ cho học sinh nh sau:
- Hai đờng thẳng song song luôn luôn có đờng vuông góc chung.
• Xét mô hình hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'.
Nếu ta xem a là đờng thẳng đi qua B', C', b là đờng thẳng đi qua A', A. Khi đó đờng
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý
Chứng minh định lý Phát biểu định lý Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra Củng cố định lý A' B' C' D' B A D C Hình 2.6 b ∆ a
thẳng ∆ đi qua A', B' cắt và vuông góc với cả hai đờng thẳng a, b tại A' và B' (hình 2.6).
• Xét ba đờng thẳng x, y, z đôi một vuông góc và cắt nhau tại O. Tìm các đờng thẳng đó lần lợt lấy các điểm A, B, C khác O. Khi đó các đờng thẳng AB và z chéo nhau. Hãy dựng một đờng thẳng cắt và vuông góc với hai đờng thẳng chéo nhau nói trên? Đó chính là đờng thẳng d qua O và d vuông góc AB.
• Xét mô hình trực quan mô tả hai đờng chéo bất kỳ: đờng thẳng thứ ba cắt và vuông góc làm bằng các thanh thép (hoặc nhôm) đợc hàn kết với nhau.
Từ các trờng hợp riêng hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau và xét mô hình trực quan để học sinh phát biểu Mệnh đề tổng quát về sự tồn tại và duy nhất đờng thẳng cắt và vuông góc với hai đờng thẳng chéo nhau.
Ví dụ 2: Xét Định lý mở đầu về đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:
"Nếu đờng thẳng ∆ vuông góc với hai đờng thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì ∆ vuông góc với mọi đờng thẳng c nằm trong mặt phẳng (P)" [4, tr. 59].
Tạo tình huống: Chúng ta có thể dùng các mô hình (có thể làm bằng tấm bìa nhỏ và các dây thép nhỏ) và gợi ý cho học sinh nh sau:
Vật liệu: Hai thanh thép (hoặc nhôm) mảnh, thẳng đợc hàn kết với nhau ở giữa và tạo lỗ thủng để có thể cắm vừa vào thanh thép thứ ba vuông góc với hai thanh nói trên; chúng mô tả các đờng thẳng a, b cắt nhau và đờng thẳng thứ ba vuông góc với hai đờng thẳng kia.
Hệ thống các thanh thép đợc đặt trên tấm ván gỗ mỏng tợng trng cho phần mặt phẳng (P). Hai đờng thẳng a, b đợc mô tả bởi hai thanh thép a, b nằm sát trên tấm ván và đờng thẳng thứ ba xuyên qua hai thanh thép a, b và đồng
∆' ∆ a c c' b O P Hình 2.8 C O d y x z A Hình 2.7 B
thời xuyên qua tấm gỗ đợc giữ
chặt. Thanh thép thứ t đợc đặc trng cho đờng thẳng ∆ với a, b đợc cắm xuyên qua tấm ván. Khi đó, đờng thẳng thứ ba nói trên mô tả đờng ∆' song song ∆ (hình 2.8).
Khi đó xét đờng thẳng c bất kỳ đặt nằm trên tấm ván và cho học sinh nhận xét độ lớn các góc:
+ Góc giữa c và ∆', cũng là góc (c, ∆) khi c // a. + Góc giữa c và ∆' khi c // b.
+ Góc giữa c và ∆' khi c không song song với a và b.
Trong trờng hợp cuối, học sinh có thể kết luận góc (c, ∆') bằng bao nhiêu, giáo viên hớng dẫn đặt đầu thanh thép sát và vị trí giao của hai thanh a, b nằm trên mặt phẳng (P) sao cho c' // c. Học sinh trực giác phán đoán độ lớn góc (c', ∆') bằng 90o.
Từ việc xem xét trên, giáo viên cho học sinh phán đoán mệnh đề về góc giữa đờng thẳng c bất kỳ thuộc (P) và đờng thẳng ∆', có nghĩa là góc giữa c và ∆: "Nếu đờng thẳng ∆ vuông góc với hai đờng cắt nhau a, b thuộc mặt phẳng (P) thì ∆ vuông góc với mọi đờng thẳng c thuộc (P)".
Ví dụ 3: Gợi động cơ phát hiện Định lý: "Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đ- ờng thẳng a và b cắt nhau và hai đờng thẳng này cùng song song với mặt phẳng (β) cho trớc thì mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau" [4, tr.33].
Tạo tình huống: Hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 (hình 2.9a) làm bằng bìa hoặc gỗ mỏng đợc cắt thành hai nửa ((hình 2.9b) và (hình 2.9c)) và chúng có thể gắn kết lại bằng những nam châm mỏng.
Giáo viên cho học sinh quan sát (hình 2.9a) và nhận xét mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A1B1C1D1). Cho học sinh nhận xét tiếp các cặp đờng thẳng (AB, AD); (BA, BC); (CB, CD) đều có tính chất cắt nhau và song song với mặt phẳng (A1B1C1D1). Giáo viên đặt câu hỏi cho học sinh:
"Cần bao nhiêu cặp đờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A1B1C1D1)?".
"Hãy quan sát hai hình đợc cắt ra: ở (hình 2.9b) chỉ có hai đờng BA', BC' cắt nhau song song với mặt phẳng (B1C'1A'1) và (hình 2.9c) chỉ có cặp đ- ờng thẳng (DA", DC") mỗi đờng song song với mặt phẳng (A"1C"1D1). Tuy nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A1BC1); (A'1B1C'1) song song với nhau và (DA"C"), (D1A"1C"1) song song với nhau".
Từ các tình huống trên đề xuất học sinh phát biểu điều kiện để mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nhằm phát hiện Định lý.
b) Định hớng giải bài tập
Trong quá trình dạy học tìm phơng pháp chung giải toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hớng suy nghĩ tìm ra lời giải. Việc gợi động cơ định hớng giải các bài tập Toán thờng đợc xẩy ra thông qua việc sử dụng các quy trình giải các dạng toán điển hình hoặc sử dụng các bài tập gốc. Thông qua các quy trình hoặc các bài tập gốc, giáo viên hớng dẫn học sinh giải bài toán theo quy trình hoặc tơng tự bài tập gốc.
Sau đây là một gợi ý, về căn bản dựa theo G. Polya đợc tác giả Nguyễn Bá Kim đề cập trong "Phơng pháp dạy học môn Toán", chúng ta có thể áp dụng các bớc 1, 2 để gợi động cơ định hớng giải bài tập.
Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
* Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điều kiện cho trớc hay không? Hay cha đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
* Hãy vẽ hình. Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp.
* Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công chức hay không?
Bớc 2: Tìm cách giải a) A D D1 B C B 1 A1 C1 Hình 2.9 B B1 C'1 C' A' A" D C"1 C" A"1 A'1 D1 b) c)
* Bạn đã gặp bài toán này lần nào cha? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơn khác?
* Hãy xét kỹ cái cha biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái cha biết hay có cái cho biết tơng tự?
* Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định lý nào đó không?
* Thấy đợc một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phơng pháp giải bài toán đó. Có cần phải đa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng đợc bài toán đó hay không?
* Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác nữa? Quay về những định nghĩa.
* Nếu bạn cha giải đợc bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trờng hợp riêng? Một bài toán tơng tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm đợc xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi nh thế nào? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định đợc cái phải tìm hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới đợc gần nhau hơn không?
* Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay cha? Đã sử dụng hết các điều kiện hay cha? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?
* Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bớc, thấy mỗi bớc đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?
* Có thể tìm đợc kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?
* Nếu tìm đợc nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất [13, tr. 420-422].
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng cần quan tâm cho học sinh biết kiến thức nào là cơ sở và kiến thức nào có thể để học sinh tự học hoặc tự suy luận đợc trên cơ sở kiến thức đã đợc lựa chọn truyền thụ cho học sinh. Hoặc giáo viên cũng có thể hớng dẫn học sinh xây dựng các bài toán gốc để củng cố các khái niệm, định lý. Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò hết sức quan trọng
và ngoài chức năng củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bài tập gốc còn góp phần định hớng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạng toán có quy trình giải. Việc thực hiện quy trình trong dạy học Toán không những h- ớng cho học sinh tới t tởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho sử dụng mềm mại, uyển chuyển các phơng pháp dạy học khác nhau, dựa vào những kiến thức cần truyền đạt để dạy học sinh tởng tợng, phát triển trực giác Toán học, giúp học sinh phát triển t duy tích cực, độc lập sáng tạo. Chúng ta hãy xét các ví dụ sau:
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD thuộc mặt phẳng (P). Gọi S là điểm không thuộc mặt phẳng (P). Các điểm M, N lần lợt là trung điểm các đoạn AB và SD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng.
a) (SMN) và (P) b) (SMN) và (SAC)
Giáo viên định hớng tìm lời giải bài toán trên bằng các câu hỏi sau:
- Cho hai mặt phẳng (α) và (β) tìm giao tuyến hai mặt phẳng đó ta phải làm nh thế nào?
+ Ta phải tìm ra hai điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó. Vì A, B ∈ (α) nên theo Tiên đề hai của mặt phẳng thì mọi điểm trên đờng thẳng AB đều thuộc mặt phẳng (α). Tơng tự với A, B ∈ (β). Vậy giao tuyến của (α) và (β) là đờng thẳng AB.
- Hãy vận dụng quy trình trên để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (P)?
a) Hãy tìm hai điểm chung của (SMN) và (P)? D ∈ SN ∈ (SMN) ⇒ D ∈ (SMN) (1)
D ∈ (P) (2) Từ (1) (2) ta có D là điểm chung thứ nhất Lại có M ∈ AB ∈ (P)
M ∈ (SMN)
Vậy M là điểm chung thứ 2.
Giao tuyến cần tìm là đờng thẳng DM.
b) - Hãy tìm giao tuyến của (SMN) và (SAC)? S N D A M B C O Hình 2.10
- Hãy xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng đó? S là điểm chung thứ nhất. Ta tìm điểm chung thứ hai. - Nhận xét gì về hai mặt phẳng (SMN) và (SMD)? Hai mặt phẳng đó trùng nhau vì D ∈ SN.
- Vậy việc tìm giao tuyến của (SMN) với (SAC) có thể quy về tìm giao tuyến của (SMD) và (SAC). Tìm giao tuyến đó?
Gọi O là giao điểm của MD và AC. Ta có: O ∈ MD ∈ (SMD)
O ∈ AC ∈ (SAC)
⇒ D là điểm chung thứ hai cần tìm.
Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SMN) và (SAC) là SO (hình 2.10).
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng BB' và AC' [5, tr. 86].
Giáo viên có thể hớng đích gợi động cơ cho học sinh giải các bài tập trên bằng câu hỏi sau: "Để tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b ta phải làm nh thế nào?".
Học sinh có thể dựa vào bài toán khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau: "Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b. Một mặt phẳng (P) chứa b và
song song với a. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đờng thẳng a, b bằng khoảng cách giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P)" để lập quy trình giải bài toán này nh sau:
Bớc 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
Bớc 2: Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của A xuống mặt phẳng (P) là H dễ dàng xác định đợc. ⇒ O ∈ cả hai mặt phẳng (SMD) và (SAC) A' D' C' B' A B C D H Hình 2.11
Bớc 3: Gắn MH vào trong một "hình" nào đó để thuận lợi cho việc tính độ dài đoạn MH.
Học sinh vận dụng quy trình trên vào giải ví dụ thông qua việc trả lời các câu hỏi sau:
• Xác định mặt phẳng (P) chứa BB' và song song với AC' hoặc ngợc lại chứa AC' song song với BB'?
Vì BB' // AA'
BB' // CC' ⇒
AC' ⊂ (ACC')
Vậy khoảng cách giữa hai đờng thẳng BB' và AC' là khoảng cách giữa BB' với mặt phẳng (ACC').
• Xác định khoảng cách giữa đờng thẳng BB' với mặt phẳng (ACC')? Gọi H là hình chiếu của B lên AC. Khi đó, ta dễ dàng chứng minh đợc BH ⊥ (ACC'). Vậy khoảng cách giữa BB và AC' là độ dài đoạn BH.
• Hãy tính độ dài đoạn BH? Xét tam giác vuông ABC:
AC = a2 +b2 và 2 2 BC2 1 BA 1 BH 1 = + ⇒ BH = 2 2 b a ab + .
Để việc định hớng giải bài tập đợc dễ dàng, khi dạy học giáo viên nên quan tâm tới trình tự sau:
Khái niệm, Định lý ⇒ dạng toán ứng dụng ⇒ quy trình giải ⇒ xây