Mục tiêu của ch−ơng

4. Ph−ơng pháp nghiên cứu

2.2 Mục tiêu của ch−ơng

2 2 2 2 2 2 2 cosA 2 cosB 2 cosC a b c bc b a c ac c b a ab = + − = + − = + −

Ví dụ 16: Hãy viết định nghĩa sau d−ới dạng kí hiệu Toán học. - Bình ph−ơng vô h−ớng của một vectơ bằng bình ph−ơng độ dài của vectơ đó.

- Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đ−ờng chéo vuông góc là tổng các bình ph−ơng của các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Trên đây là 5 dạng hoạt động gắn liền với môn Toán. Với 5 dạng hoạt động trên tùy theo nội dung bài học, từng mục đích khác nhau mà giáo viên lựa chọn, vận dụng vào bài học cho phù hợp. 5 dạng hoạt động gắn liền với môn Toán đó có thể áp dụng trong hình thành kiến thức mới, hay củng cố, vận dung kiến thức, hay hệ thống hóa kiến thức.

1.3 Những thành tố cơ sở của ph−ơng pháp dạy học

Điều căn bản của ph−ơng pháp dạy học là khai thác những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội dung làm cơ sở cho việc tổ chức quá trình dạy học đạt đ−ợc mục tiêu đề ra.

Từ định h−ớng học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, phân tích các thành phần của hoạt động về mặt lí luận và thực tiễn, ta rút ra đ−ợc những thành tố cơ sở của ph−ơng pháp dạy học đó là:

- Hoạt động và hoạt động thành phần - Động cơ hoạt động

- Tri thức trong hoạt động - Phân bậc hoạt động

Chúng đ−ợc coi là những thành tố cơ sở của ph−ơng pháp dạy học vì tr−ớc hết bản thân chúng là những thành tố của ph−ơng pháp dạy học mà dựa vào đó, ta có thể tổ chức cho chủ thể (học sinh) hoạt động một cách tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo, đảm bảo sự phát triển nói chung và kết quả học tập nói riêng.

1.3.1 Hoạt động và hoạt động thành phần

Nội dung của t− t−ởng chủ đạo này là: cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần t−ơng thích với nội dung và mục tiêu dạy học.T− t−ởng này có thể cụ thể hóa nh− sau.

1.3.1.1.Phát hiện những hoạt động t−ơng thích với nội dung môn Toán

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định. Đó tr−ớc hết là những hoạt động đã đ−ợc tiến hành trong quá trình hình thành và ứng dụng những tri thức bao hàm trong nội dung này, cũng chính là những hoạt động để ng−ời học có thể kiến tạo và ứng dụng tri thức trong nội dung đó. Trong quá trình dạy học, ta còn kể tới những hoạt động có tác dụng củng cố tri thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành thái độ.

Từ đó, một hoạt động của ng−ời học đ−ợc gọi là t−ơng thích với một nội dung dạy học nếu nó góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng những tri thức đ−ợc bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện những kĩ năng, hình thành những thái độ có liên quan.

Việc phát hiện những hoạt động t−ơng thích với mỗi nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những nội dung khác nhau:

khái niệm, định lý hay tri thức ph−ơng pháp, về những con đ−ờng khác nhau để dạy học từng dạng nội dung, chẳng hạn con đ−ờng quy nạp, suy diễn hay kiến thiết để tiếp cận khái niệm, con đ−ờng thuần túy suy diễn hay con đ−ờng có khâu suy đoán để dạy học định lý.

Ví dụ 17: Khi dạy bài Khoảng cách và góc sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 10 trang 85 có 2 nội dung là “khoảng cách từ một điểm đến một đ−ờng thẳng” và “góc giữa hai đ−ờng thẳng”.Từ đó dẫn đến việc thiết kế các hoạt động t−ơng thích với 2 nội dung đó nh− sau:

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đ−ờng thẳng ∆ có ph−ơng trình tổng quát ax + by +c = 0. Hãy tính khoảng cách d M( ,∆) từ điểm

( M; M)

M x y đến ∆.

Bài toán: Tìm cosin của góc giữa hai đ−ờng thẳng ∆1 và ∆2 lần l−ợt cho bởi các ph−ơng trình a x1 +b y c1 + 1 =0 và a x2 +b y c2 + 2 =0.

1.3.1.2. Phân tách hoạt động thành những hoạt động thành phần

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiện nh− một thành phần của một hoạt động khác. Phân tách đ−ợc một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết đ−ợc cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh toàn bộ vừa chú ý cho họ tập luyện những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết.

Ví dụ 18 : Viết ph−ơng trình tiếp tuyến với đ−ờng tròn x2 +y2 =4

biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;3) bao gồm các hoạt động sau: + Tìm tâm và bán kính đ−ờng tròn.

+ Tìm vị trí t−ơng đối của điểm M đối với đ−ờng tròn.

+ Viết ph−ơng trình tiếp tuyến với đ−ờng tròn tùy theo vị trí của M đối với đ−ờng tròn.

1.3.1.3 Lựa chọn hoạt động dựa vào mục tiêu

Mỗi nội dung th−ờng tiềm tàng nhiều hoạt động. Tuy nhiên nếu khuyến khích tất cả các hoạt động nh− thế thì có thể sa vào tình trạng dàn trải, làm cho học sinh thêm rối ren. Để khắc phục tình trạng này cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện đ−ợc để tập trung vào một số mục tiêu nhất định. Việc tập trung vào những mục tiêu nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của các mục tiêu này đối với việc thực hiện những mục tiêu còn lại.

Ví dụ 19 : Hoạt động tính khoảng cách từ một điểm đến một đ−ờng thẳng tùy theo mức độ yêu cầu của hoạt động : nhận dạng công thức tính, nắm chắc công thức, vận dụng công thức tính khoảng cách một cách sáng tạo. Khoảng cách từ một điểm M x y( 0; 0) đến đ−ờng thẳng :Ax By C 0 ∆ + + = là ( ) 0 0 2 2 , Ax By C d M A B + + ∆ = + . Hoạt động 1 : (Mức độ nhận dạng)

Hãy tính khoảng cách từ điểm M(13;14)đến đ−ờng thẳng : 4x 3y 15 0

∆ − + =

Hoạt động 2: (Mức độ sáng tạo) Cho tam giác ABC với 7;3

4

A   

 , B( )1;2 ; C(−4;3). Hãy viết ph−ơng trình đ−ờng phân giác ngoài của góc A.

1.3.1.4 Tập trung vào các hoạt động Toán học

Trong khi lựa chọn hoạt động, để đảm bảo sự t−ơng thích của hoạt động đối với mục tiêu dạy học, ta cần nắm đ−ợc chức năng ph−ơng tiện

và chức năng mục tiêu của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năng này. Trong môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện tr−ớc hết nh− ph−ơng tiện để đạt những yêu cầu Toán học : kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng Toán học. Một số trong những hoạt động nh− thế nổi bật lên do tầm quan trọng của chúng trong Toán học và việc thực hiện thành thạo những hoạt động đó trở thành một trong những mục tiêu dạy học. Đối với những hoạt động này ta cần phối hợp chức năng mục tiêu và chức năng ph−ơng tiện theo công thức: “thực hiện chức năng mục tiêu của hoạt động trong quá trình thực hiện chức năng ph−ơng tiện”. Chẳng hạn, ta cần tập luyện cho học sinh các hoạt động trừu t−ợng hóa, khái quát hóa không phải chỉ để trừu t−ợng hóa và khái quát hóa nh− mục tiêu tự thân, mà là nhằm cho họ lĩnh hội một khái niệm , chứng minh một định lý, phát triển một kỹ năng Toán học nào đó…

Hiệu quả của việc tập luyện các hoạt động nêu trên phải thể hiện ở chỗ nâng cao chất l−ợng thực hiện các yêu cầu Toán học này.

Theo quan điểm này thì năm dạng hoạt động đã nêu ở mục 2.2 có vai trò không ngang nhau. Ta cần tập trung vào những hoạt động Toán học, tức là những hoạt động nhận dạng và thể hiện những khái niệm, định lý và tri thức ph−ơng pháp; những hoạt động Toán học phức hợp…Các dạng hoạt động còn lại không hề bị xem nhẹ, nh−ng đ−ợc tập luyện trong khi và nhằm vào việc thực hiện các dạng hoạt động nói trên.

1.3.2 Động cơ hoạt động

Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đã đặt ra và tạo đ−ợc động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt đ−ợc mục tiêu đó. Điều này đ−ợc thực hiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục tiêu mà quan trọng hơn còn do gợi động cơ.

Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và của đối t−ợng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu s− phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức.

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào đó (th−ờng là một bài học), mà phải xuyên suốt qúa trình dạy học. Vì vậy có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc. Sau đây là những cách gợi động cơ xuất phát từ nội dung môn Toán theo từng giai đoạn nh− vậy.

1.3.2.1 Gợi động cơ mở đầu

Có thể gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ Toán học.

Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên: + Thực tế gần gũi xung quanh học sinh.

+ Thực tế xã hội rộng lớn ( kinh tế, kĩ thuật, quốc phòng..,). + Thực tế ở những môn học và khoa học khác.

Trong việc gợi động cơ xuất phát từ thực tế, ta cần chú ý những điều kiện sau:

+ Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực, đ−ơng nhiên có thể đơn giản hóa vì lí do s− phạm trong tr−ờng hợp cần thiết.

+ Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung.

+ Con đ−ờng từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng tốt. Gợi động cơ xuất phát từ nội bộ Toán học là nêu một vấn đề Toán học xuất phát từ nhu cầu Toán học, từ việc xây dựng khoa học Toán học, từ những ph−ơng thức t− duy và hoạt động Toán học. Gợi đông cơ theo cách này là cần thiết vì :

+ Thứ nhất, việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũng thực hiện đ−ợc.

+ Thứ hai, nhờ gợi động cơ từ nội bộ Toán học, học sinh hình dung đ−ợc đúng sự hình thành và phát triển của Toán học cùng với đặc điểm của nó và có thể dần dần tiến tới hoạt động Toán học một cách độc lập.

Thông th−ờng khi bắt đầu một nội dung lớn, chẳng hạn một phân môn hay một ch−ơng, ta cố gắng gợi động cơ xuất phát từ thực tế. Còn đối với từng bài hay từng phần của bài thì cần tính tới những khả năng gợi động cơ từ nội bộ Toán học mà những cách thông th−ờng là:

(i) Chính xác hóa một khái niệm.

Có những khái niệm mà học sinh đã biết nh−ng tr−ớc kia ch−a có thể định nghĩa chính xác; tới một thời điểm nào đó có đủ điều kiện thì thầy giáo gợi lại vấn đề và giúp học sinh chính xác hóa khái niệm đó.

Ví dụ 20 : Khái niệm hai vectơ cùng h−ớng

Sách giáo khoa Hình học nâng cao lớp 10 không đề cập t−ờng minh khái niệm hai vectơ cùng h−ớng mà chỉ định nghĩa qua mô tả.

Nh−ng đến một thời điểm nào đó có thể chính xác hóa khái niệm hai vectơ cùng h−ớng cho học sinh nh− sau

Hai vectơ AB và CD gọi là cùng h−ớng nếu chúng nằm trên hai đ−ờng thẳng song song với nhau và cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ đi qua gốc hai tia.

Tr−ờng hợp AB và CD cùng nằm trên một đ−ờng thẳng, hai vectơ đó gọi là cùng h−ớng nếu một trong hai tia AB, CD là một bộ phận của tia còn lại.

(ii) Lật ng−ợc vấn đề

Sau khi đã chứng minh đ−ợc một định lí, một bài toán một câu hỏi rất tự nhiên th−ờng đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lí, của bài toán đó có đúng hay không?

Ví dụ 21: Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đ−ờng thẳng đều có ph−ơng trình tổng quát dạng ax + by + c = 0, với a2 +b2 ≠0. Ng−ợc lại mỗi ph−ơng trình dạng ax + by + c = 0, với a2 +b2 ≠0 có là ph−ơng trình của một đ−ờng thẳng hay không?

(iii) Xét t−ơng tự

Ví dụ 22 : Trung điểm của đoạn thẳng AB đ−ợc đặc tr−ng bởi đẳng thức vectơ OA OB+ =0

. T−ơng tự hãy tìm và chứng minh những đẳng thức vectơ đặc tr−ng cho trọng tâm G của tam giác ABC hay giao điểm O của hai đ−ờng chéo của hình bình hành ABCD.

(iv) Khái quát hóa

Ví dụ 23: Cho 2 điểm A, B và hai số thực α β, thỏa mãn

0

α β+ ≠ . Tồn tại duy nhất một điểm I thỏa mãn αIA+βIB=0

.

Cho 3 điểm A, B, C và 3 số thực α β γ, , thỏa mãn α +β +γ ≠ 0. Tồn tại duy nhất một điểm I thỏa mãn αIA+βIB+γIC=0

. Hãy khái quát bài toán trên?

(v) Tìm sự liên hệ và phụ thuộc

Ví dụ 24 : Có thể đặt vấn đề xem xét ảnh h−ởng của tham số m đối với vị trí t−ơng đối của đ−ờng thẳng : 3∆ x+ +y m=0 và đ−ờng tròn (C) có ph−ơng trình: x2+ y2 −4x+2y+ =1 0 nh− thế nào ?

1.3.2.2 Gợi động cơ trung gian

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những b−ớc trung gian hoặc những hoạt động tiến hành trong b−ớc đó để đi đến mục đích. Gợi động cơ trung gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn đề.

Sau đây là những cách th−ờng dùng để gợi động cơ trung gian : (i) H−ớng đích

H−ớng đích cho học sinh là h−ớng cho học sinh vào những mục đích đặt ra, vào hiệu quả dự kiến của những hoạt động của họ nhằm đạt những mục đích đó.

Điểm xuất phát của h−ớng đích là việc đặt mục tiêu. Để đặt mục tiêu một cách chính xác, cụ thể, ng−ời thầy giáo cần xuất phát từ ch−ơng trình và văn bản giải thích ch−ơng trình, nghiên cứu sách giáo khoa và tham khảo sách giáo viên. Trong một tiết học, ng−ời thầy giáo phát biểu những mục tiêu một cách dễ hiểu dể học sinh nắm đ−ợc.

Đặt mục tiêu là điểm xuất phát của h−ớng đích nh−ng không đồng nhất với h−ớng đích. Đặt mục tiêu th−ờng là pha ngắn ngủi lúc ban đầu một quá trình dạy học, còn h−ớng đích là một nguyên tắc chỉ đạo toàn bộ quá trình này. Việc h−ớng đích tạo động lực cho những quyết định và hoạt động để đạt đ−ợc mục tiêu đề ra, cho nên nó là một cách gợi động cơ trung gian.

Ví dụ 25: Khi chứng minh đ−ợc mọi ph−ơng trình đ−ờng tròn

( ) (2 )2 2

0 0

x x− + y y− = R đều có dạng x2 +y2 +2ax+2by c+ =0. Ng−ợc lại cho ph−ơng trình x2 +y2 +2ax+2by c+ =0 với a, b, c bất kỳ ng−ời ta lại biến đổi về dạng (x a+ )2 +(y b+ )2 =a2 +b2 −c. Nhờ gợi động cơ bằng h−ớng đích, học sinh sẽ hiểu rằng việc đ−a ph−ơng trình

2 2 2 2 0

x +y + ax+ by c+ = về dạng (x a+ )2 +(y b+ )2 =a2 +b2 −c là nhằm mục tiêu xét xem ph−ơng trình x2 +y2 +2ax+2by c+ =0 với a, b, c tùy ý là ph−ơng trình đ−ờng tròn khi nào.

(ii) Xét t−ơng tự

Ví dụ 26: Giả sử học sinh đã giải xong bài toán’’ Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có :

( )

1 3

OG = OA OB OC+ +

‘’ bằng cách phân tích vectơ nh− sau : OG OA AG OG OB BG OG OC CG = + = + = +

Khi học sinh giải bài toán t−ơng tự đối với trọng tâm G của tứ giác ABCD, có thể đặt vấn đề để họ phân tích vectơ t−ơng tự nh− đối với tr−ờng hợp tam giác. OG OA AG OG OB BG OG OC CG OG OD DG = + = + = + = +

(iii) Khái quát hóa

Ví dụ 27: phát triển ví dụ ở trên khi học sinh giải bài toán tổng quát đối với trọng tâm G của một hệ n điểm A A1, ...,2 Antrong mặt phẳng,