7. Cấu trúc đề tài
2.3.2. Khai thác bài toán quỹ tích
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB = 6cm cố định, M là điểm chuyển động sao cho MA:MB = 1:2. Tìm tập hợp các điểm M.
Giải + Phần thuận
Vẽ MC, MD lần lượt là đường phân giác trong và ngoài của (C, D∈AB).
Ta có MC, MD là hai đường phân giác trong và ngoài của tam giác AMB nên = 900 và
CA DA MA 1 = = CB DB MB =2 Suy ra: CA 1 1 CA+CB 1 2= =3 + ⇒ CA 1 CA 1AB AB = ⇒3 =3 không đổi ⇒C cố định. DA 1 DB-DA = 2 1 − ⇒DA = AB⇒D cố định.
Do đó CD cố định và = 900 suy ra M thuộc đường tròn cố định đường kính CD. * Giới hạn
Điểm M chuyển động trên cả đường tròn đường kính CD. + Phần đảo
Lấy điểm M bất kì trên đường tròn đường kính CD, ta có = 900. Vẽ AH⊥MC (H∈MC), AH cắt MB tại K.
AK AB = AH MC DM DB AH DM AH CA DM MC = DM CD ⊥ ⇒ ⇒ ⊥ P Mà DB = DA + AB = AB + AB = 12 (cm) nên AK =AB 6 1 DM DB 12= = 2 (1) CD = CA + DA = 2 + 6 = 8 (cm) nên AH =CA 2 1 DM CD = =8 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra = 2. ⇒ AK = 2.AH ⇒H là trung điểm của AK.
Xét ∆MAK có MH⊥AH, H là trung điểm AK nên MH vừa là đường cao vừa là trung tuyến.
⇒ ∆MAK cân tại M nên MC là phân giác của . ⇒ = ⇒MD là phân giác của .
+ Kết luận
Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính CD.
Thay đổi giải thiết bài toán trên, chúng ta được bài toán tổng quát sau:
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB = a cố định, M là điểm chuyển động sao cho MA : MB = m (0 < m < 1). Tìm tập hợp các điểm M.
Giải + Phần thuận
Vẽ MC, MD lần lượt là đường phân giác trong và ngoài của (C, D ∈AB).
Ta có MC, MD là hai đường phân giác trong và ngoài của ΔAMB nên = 900 và
CA DA MA
= = = m
CB DB MB
Suy ra CA = m
CA+CB m+1⇒ = ⇒ CA = a không đổi ⇒C cố định.
DA m
=
DB-DA 1-m ⇒ DA= m DA = m AB
AB 1- m⇒ 1- m ⇒D cố định.
Do đó CD cố định và = 900 suy ra M thuộc đường tròn cố định đường kính CD. * Giới hạn
Điểm M chuyển động trên cả đường tròn đường kính CD. + Phần đảo
Lấy điểm M bất kì trên đường tròn đường kính CD, ta có = 900. Vẽ AH⊥MC (H∈MC), AH cắt MB tại K. ⇒ AH∥DM ⇒ Mà DB=DA+AB= m a + a = 1 a 1-m× 1-m× nên AK AB a = 1- m 1 DM DB .a 1- m = = (1) 2 m m 2m CD=CA+AD = .a + .a = .a m +1 1- m 1- m nên 2 m .a AH CA m +1 1- m = = = 2m DM CD .a 2 1- m (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK = 2.AH AK = 2AH
DM DM ⇒ ⇒H là trung điểm của AK.
Xét ∆MAK có MH⊥AH, H là trung điểm AK nên MH vừa là đường cao vừa là trung tuyến.
⇒ ∆MAK cân tại M ⇒MC là phân giác của .
⇒ = ⇒MD là phân giác của .
+ Kết luận
Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính CD.
Ví dụ 3: Cho ΔABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM, điểm I di chuyển trên đường nào?
Giải
Phân tích tìm cách giải: Ta thấy khi M di chuyển trên BC cố định thì I di
chuyển theo và luôn nhận I là trung điểm của AM. Để xác định được quỹ tích của I, ta xét hai vị trí đặc biệt của M.
+ Khi M ≡ B thì I ≡ P (P là trung điểm của AB, P cố định). + Khi M ≡ C thì I ≡ Q (Q là trung điểm của AC, Q cố định). Suy ra I ∈ PQ (PQ là đường trung bình của ΔABC).
Giải + Phần thuận
Kẻ AH ⊥ BC, IK ⊥ BC.
Xét ΔAMH có IA = IM và IK∥AH (cùng vuông góc với BC)
Suy ra IK là đường trung bình của ΔAMH.
⇒ IK = (không đổi vì AH không đổi).
Mà K∈BC cố định nên I nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng không đổi bằng .
* Giới hạn
Khi M ≡ B thì I ≡ P (P là trung điểm của AB, P cố định). Khi M ≡ C thì I ≡ Q (Q là trung điểm của AC, Q cố định). Vậy I di chuyển trên đường trung bình của ΔABC.
+ Phần đảo
Lấy điểm I ∈ PQ, PQ ∥BC và cách BC một khoảng , kẻ AI cắt BC tại M, từ I kẻ đường thẳng IK ⊥ BC tại K.
Xét ΔAMH có IK ∥AH ⇒ ΔMIK ∽ ΔMAH ⇒ =
Mà IK = ⇒ = ⇒ = ⇒ 2IM = AM.
hay I là trung điểm của AM. + Kết luận
Vậy điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ΔABC.
Từ việc khai thác tìm cách giải khác cho bài toán ta có thể suy nghĩ đến việc thay đổi dữ kiện của đề toán để đưa ra bài toán mới phức tạp hơn xong vẫn dễ dàng tìm được lời giải dựa vào lời giải ban đầu.
Khai thác 1: Cho đoạn thẳng BC cố định, M là điểm di động trên đoạn thẳng BC. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC dựng các tam giác đều BDM, CEM. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng DE.
Giải + Phần thuận
BD cắt EM tại A nên ΔABC đều và A cố định. = (= 600) ⇒ DA ∥EM (1)
Tương tự: = (= 600) ⇒ AE ∥DM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AEMD là hình bình hành, M là trung điểm của DE cũng là trung điểm của AM.
Vẽ AH ⊥ BC, IK ⊥ BC (K, H ∈ BC) ⇒ AH ∥ IK.
ΔMAH có AH ∥ IK và IA = IM nên IK là đường trung bình của ΔMAH. ⇒ IK = (không đổi).
BC cố định. Do đó I thuộc đường thẳng (d) cố định song song với BC và cách BC một khoảng không đổi .
* Giới hạn
Khi M ≡ B thì I ≡ P (P là trung điểm của AB). Khi M ≡ C thì I ≡ Q (Q là trung điểm của AC).
Vậy I chuyển động trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ΔABC. + Phần đảo:
Lấy điểm I bất kì trên đoạn PQ. AI cắt BC tại M. Qua M kẻ MD∥AE (D∈ AB) ME ∥AD (E ∈ AC) suy ra tứ giác ADME là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của AM nên I cũng là trung điểm của DE. = = 600; = = 600. Do đó:
= = 600 nên tam giác BDM đều. = = 600 nên tam giác MEC đều. + Kết luận
Tập hợp các điểm I là đường trung bình PQ của tam giác đều ABC.
Khai thác 2: Cho đoạn thẳng BC cố định, M là điểm chuyển động trên đoạn thẳng BC. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC dựng các hình vuông BMDE, CMGF có tâm lần lượt là O, O’ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng OO’.
Giải + Phần thuận
Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa D, E. = 450 (BMDE là hình vuông)
= 450 (ΔABC vuông cân tại A)
Suy ra: B, O, A thẳng hàng nên O thuộc đường thẳng BA cố định.
Tương tự O’ thuộc đường thẳng CA cố định. Vẽ IK ⊥ BC, AH ⊥ BC (H, K ∈ BC) ⇒ IK ∥AH.
Tứ giác OAO’M là hình chữ nhật (== = 900) nên điểm I là trung điểm của AM. ΔAMH có IK∥AH, I là trung điểm của AM
Suy ra IK là đường trung bình của ΔAMH. ⇒ IK = (không đổi).
Mà đường thẳng BC cố định, do đó I thuộc đường thẳng (d) cố định song song với BC và cách BC một khoảng không đổi bằng .
* Giới hạn
Khi M ≡ B thì I ≡ P (P là trung điểm của AB). Khi M ≡ C thì I ≡ Q (Q là trung điểm của AC).
Vậy I chuyển động trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ΔABC. + Phần đảo
Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn thẳng PQ, AI cắt BC tại M. Vẽ các hình vuông BMDE, CMGF có tâm lần lượt là O, O’. Dễ dàng chứng minh được tứ giác OAO’M là hình chữ nhật. Mà I là trung điểm của AM nên I cũng là trung điểm của OO’. + Kết luận
Tập hợp các điểm I là đường trung bình của tam giác ABC vuông cân tại A.
Khai thác 3: Trên cạnh AB, AC, BC của tam giác đều ABC lấy theo thứ tự ba điểm M, P, N (khác các đỉnh của tam giác) sao cho: AM = BN = CP. Tìm tập hợp điểm I của MP.
Giải + Phần thuận
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. O là trọng tâm của ΔABC.
Ta có: ΔAMO = ΔBNO = ΔCPO (cạnh - góc - cạnh).
⇒ OM = ON = OP.
Mặt khác: OE ⊥ AB, OF ⊥ AC, OI ⊥ MP. Nếu M ≡ E thì P ≡ F và I thuộc EF.
Nếu M E thì MEOI nội tiếp nên: = . Tương tự: = .
Mà ΔMOE = ΔPOF nên = , suy ra = .
Do E, F thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ MP nên E, I, F thẳng hàng. Vậy I thuộc đường trung bình EF của tam giác ABC.
+ Phần đảo
Lấy I trên EF. Qua I kẻ đường vuông góc với OI cắt AB tại M và cắt AC tại P. Khi đó ΔMEO = ΔPOF ⇒ MI = PI và AM = CP.
+ Kết luận
Vậy tập hợp trung điểm I của MP là đường trung bình của ΔABC.
2.4. Một số bài toán đề xuất
Bài 1. Cho góc vuông xOy, trên cạnh Ox lấy điểm A cố định (A≠O); B là điểm di động trên cạnh Oy. Tìm quỹ tích điểm C sao cho tam giác ABC đều.
Bài 2. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O), A là điểm chuyển động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M là điểm chính giữa cung BC. Tìm tập hợp trung điểm N của MA khi A chuyển động sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn.
Bài 3. Cho đường tròn (O; R) cố định. Từ một điểm M ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến(O; R). Tìm tập hợp các điểm M sao cho tam giác MAB đều.
Bài 4. Cho hai điểm A, B trên đường thẳng yx. Hai đường tròn bất kì tiếp xúc ngoài với nhau tại T và cũng tiếp xúc với đường thẳng đã cho tại A và B. Tìm quỹ tích những tiếp điểm T đó.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB = R. Lấy điểm C trên đường tròn (O) sao cho B thuộc cung AC và sđ = 300. Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MAC di động trên một đường cố định khi M chuyển động trên cung lớn AC.
Bài 6. Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng (d) song song với AB, M là một điểm không nằm trên đường thẳng AB, nằm trong mặt phẳng bờ AB, nửa mặt phẳng đó không có chứa đường thẳng (d). Gọi C và D là giao điểm của các tia MA và MB với đường thẳng (d). Tìm tập hợp những điểm M sao cho diện tích ΔMCD nhỏ nhất.
Bài 7. Cho đường tròn đường kính AB, điểm N di động trên đường tròn. Trên tia đối của NA lấy điểm M sao cho NM = NB. Tìm quỹ tích của điểm M.
Bài 8. Cho hai điểm A, B và một điểm C di động sao cho = α không đổi. Trên tia AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Tìm quỹ tích điểm M.
Bài 9. Cho ba điểm A, B, C cố định, tìm quỹ tích điểm M sao cho: MB2 + MC2 = MA2.
Bài 10. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và cho điểm A không thuộc đường tròn đó. Tìm quỹ tích giao điểm M của đường thẳng AB và phân giác trong của góc AOB.
Bài 11. Cho nửa đường tròn tâm C đường kính AB, điểm M di động trên nửa đường tròn đó. Vẽ hình vuông BMCD nằm ngoài tam giác AMB. Tìm quỹ tích điểm C và điểm D.
Bài 12. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau ở O. Hai điểm A, B lần lượt thay đổi trên a và b sao cho OA .OB = k2 không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB.
Bài 13. Cho hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc với nhau tại điểm A. Một cát tuyến thay đổi đi qua điểm A cắt hai đường tròn lần lượt tại hai điểm B, C. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng BC.
Bài 14. Cho hai đường tròn tâm O và O’ có bán kính bằng nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm B. Đường thẳng nối tâm cắt đường tròn tâm O tại điểm A và cắt đường tròn tâm O’ tại điểm C. Kẻ hai dây AP thuộc đường tròn tâm O và BM thuộc đường tròn tâm O’, với AP//BM. Các tia AP và CM cắt nhau tại điểm H.
a) Tìm tập hợp các điểm H.
b) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng PM.
Bài 15. Cho một hình vuông ABCD, tâm I. Một điểm F di chuyển trên cạnh AB. Tia CF cắt đường chéo BD tại điểm E. Gọi H là hình chiếu của A trên tia CF.
a) Tìm tập hợp điểm H.
b) Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIE.
Bài 16. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường thẳng d quay quanh A (d không cắt đoạn thẳng BC). Trên d lấy điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến B và C nhỏ nhất. Tìm tập hợp điểm M.
Bài 17. Cho tam giác đều ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A bằng tổng các khoảng cách từ M đến B và C.
Bài 18. Cho tam giác ABC có BC cố định, A di động trên đường tròn tâm O là trung điểm của đoạn thẳng BC và bán kính là R. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho có SMAB = SMBC = SMCA.
Bài 19. Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O bán kính R. C là trung điểm cung AB, M là điểm chuyển động trên cung BC, AM cắt CO tại N. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. Tìm tập hợp các điểm I.
Bài 20. Cho tam giác ABC có = 900, D là điểm chuyển động trên đoạn thẳng AB. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = BD. Đường thẳng vuông góc với ED tại
E cắt đường thẳng AC tại điểm F. Tìm tập hợp các tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
KẾT LUẬN
Trên cơ sở phân tích, tổng hợp và tham khảo tài liệu, Khóa luận đạt được một số kết quả sau
Thứ nhất, khóa luận đưa ra được những phương pháp giải chung về bài toán quỹ tích.
Thứ hai, Khóa luận đã hệ thống một cách tương đối các dạng toán và phương pháp giải cho bài toán quỹ tích thường gặp của Toán THCS.
Thứ ba, xây dựng được hệ thống ví dụ minh họa, bài tập tự luyện cho mỗi dạng toán và mỗi phương pháp giải.
Thứ tư, Tìm được mối quan hệ giữa các phương pháp giải bài toán quỹ tích, khai thác được một số bài toán quỹ tích cơ bản.
Trên đây là những nghiên cứu của chúng tôi về việc giải bài toán quỹ tích ở cấp Trung học phổ thông. Qua đó, chúng tôi nhận thấy được việc dạy học giải bài toán quỹ tích có ý nghĩa thực tế và tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện cho HS về tư duy lôgic, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng nhiều kiến thức toán học vào việc giải bài toán. Để nâng cao hiệu quả dạy học vấn đề này, chúng ta cần tuân thủ chặt chẽ quy trình giải toán đặc biệt là khâu phân tích bài toán và phát huy tính chủ động tích cực của HS.
Do điều kiện và năng lực của bản thân chúng tôi còn hạn chế, các tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn nhiều hạn chế và thiếu sót, những lời giải chưa phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng chúng tôi mong rằng đề tài này ít nhiều cũng giúp cho HS hiểu kỹ hơn về việc giải bài toán quỹ tích. Chúng tôi cũng rất mong sự chỉ bảo, ý kiến đóng góp của thầy cô để cho đề tài này hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Vĩnh Cận (2000), Bài tập quỹ tích và dựng hình, NXB giáo dục.
2. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Thành Công, Nguyễn Duy Thuận (2005), SGK Toán 7, NXB giáo dục.
3. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Thành Công, Nguyễn Duy Thuận (2005), SGK Toán 8, NXB giáo dục.
4. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Thành Công, Nguyễn Duy Thuận (2005), SGK Toán 9, NXB giáo dục.
5. Văn Như Cương (2005), Hình học sơ cấp và thực hành giải toán, NXB ĐHSP Hà Nội.