K =K =m gd (2.53)
2 4 2 x sin
K =K = m g α (2.54)
Với cách này, số biến ngõ vào của hệ thống giảm xuống còn 2. Độ phức tạp trong thiết kế bộ điều khiển mờ được đơn giản bớt đi rất nhiều và thời gian tính toán cũng giảm đi đáng kể.
Ngõ vào của hệ thống nêm ngược là điện áp điều khiển cho động cơ DC, động cơ tạo ra lực để nâng cánh nêm lên xuống để tạo cân bằng cho nêm. Có hai biến ngõ ra có thể được chọn, 1 là điện áp đưa vào cho động cơ DC, 1 là lực tác động lên cánh nêm. Do mục tiêu của ta là loại bỏ moment xoắn không cân bằng theo góc nêm khi không cân bằng và vị trí ban đầu của vật nặng trên nêm. Lực tác động lên cánh nêm là sự lựa chọn phù hợp hơn. Mối liên hệ giữa lực F và điện áp điều khiển u được thể hiện qua công thức b g b m t a g a g x u K r u K F K K R r R r ω − − = = & (2.55) Hay g a b t g r R F x u K K r = + & (2.56)
Trong đó ωmlà vận tốc của động cơ, rglà bán kính của hộp số chuyển đổi moment xoắn của động cơ thành moment xoắn để điều khiển vật nặng và Kt, Kb, Ralà các tham số
của động cơ DC mô tả hệ số moment xoắn, hệ số suất điện động hồi tiếp và điện trở động cơ (đã được đề cập trong phần thông số kỹ thuật của động cơ).
Như vậy, mối liên hệ giữa moment xoắn với góc nêm có thể được xấp xỉ dưới một hàm tuyến tính kết hợp θ và α. Tương tự, tốc độ thay đổi của moment xoắn liên hệ với góc nêm cũng có thể xấp xỉ bằng một hàm tuyến tính θ& và α&. Hai giá trị biến tích hợp này
là biến ngõ vào của bộ điều khiển mờ và đây chính là cơ sở để thiết kế bộ điều khiển mờ hai biết ngõ vào T và dT.
Chương 3: KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN
3.1.Các thông số mô hình hệ nêm ngược
Thi công thành công mô hình hệ nêm ngược với các thông số kỹ thuật được xác định bằng các phương pháp đã được đề cập ở chương 2:
Bảng 3.1 Các thông số kết quả mô hình nêm ngược
Độ dài thanh trượt Khối lượng của nêm. Khối luợng của vật nặng. Chiều cao trọng tâm nêm.
Chiều cao tính từ trục xoay lên mặt phẳng nêm. Gia tốc trọng trường
Hằng số moment xoắn của động cơ
Hằng số sức điện động hồi tiếp của động cơ Bán kính bánh răng
3.2.Mô hình toán hệ nêm ngược
Xác định thành công mô hình toán phi tuyến hệ nêm ngược được mô tả ở (2.15a), (2.15b), (2.15c), (2.15d), (2.16a), (2.16b), (2.16c), (2.16d)
Thực hiện tuyến tính hóa thành công mô hình mô hình phi tuyến hệ nêm ngược nhằm phục vụ cho việc xây dựng bộ điều khiển LQR, mô tả ở (2.19).
Thực hiện tính toán trong m-file của MatLab bằng chương trình:
g=9.8; d1=0.19; d2=0.112 mx=0.77; mn=3.3 fqtn=0.022; p=(1-mx*d1*d1)*(fqtn+mx*d1*d1); A=[0 1 0 0; mn*g*d2/p 0 mx*g/p 0; 0 0 0 1; g*(1-mn*d1*d2)/p 0 mx*g*d1/p 0] B=[0; -d1/p; 0; ((1/mx)+(d1*d1/p))] C=[1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[0; 0]; nghiem=eig(A)
Thay các giá trị đã có vào mô hình toán → Mô hình tuyến tính hóa hệ con nêm tại điểm cân bằng có dạng: 0 1 0 0 0 74.8166 0 155.867 0 3.9246 0 0 0 1 0 188.2107 0 29.6149 0 2.0444 X X u − = + & (3.1)
Giải hệ phương trình, xác định nghiệm riêng của hệ thống, ta có các giá trị riêng của ma trận hệ thống là: ±14.9993, ±10.9794. Nhận thấy rằng giá tri thực của hệ thống nằm bên phải của mặt phẳng phức → Do đó tại điểm gốc cân bằng hệ thống không ổn định và do đó hệ thống nêm là hệ thống không ổn định.
3.3.Điều khiển nêm ngược dùng phương pháp LQR
Với mô hình tuyến tính của hệ con nêm ngược có dạng (3.1) có 4 biến trạng thái là ,θ
θ&, x,x&.
3.3.1. Thiết kế bộ điều khiển LQR
Giả định rằng ta có thể hồi tiếp được tất cả các trạng thái (có thể đo được), và ta tìm vector K để xác định luật điều khiển hồi tiếp. Ta có thể dùng lệnh lqr để hỗ trợ bộ điều khiển tối ưu (optimal controller) theo một số giả định. Lệnh lqr cho phép ta chọn hai tham số, R và Q, theo một số giả định.
Cấu trúc Q được xác định bằng công thức Q=C’*C.
Q = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Đặt teta=50; x=10; Q=[teta 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 x 0; 0 0 0 0];
50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 Q = (3.6) Và R=1
Xác định thông số độ lợi hồi tiếp trạng thái K bằng lệnh lqr của MatLab với công thức sau:
K=lqr(A,B,Q,R)
Độ lợi hồi tiếp trạng thái tương ứng được xác định là [ 314.21 17.1952 250.18 14.0791]
K = − − − (3.8)
Hình 3.1 Đáp ứng mô phỏng góc nêm với K1
Nhận xét:
1. Đáp ứng mô phỏng sau khoảng thời gian 10s
2. Với K này, hệ nêm vẫn còn dao động rất lớn.
Kinh nghiệm cho thấy, khi tăng giá trị teta và x trong Q, đáp ứng sẽ thay đổi tích cực, đặt
Teta=1000; x=30;
Độ lợi hồi tiếp trạng thái tương ứng được xác định: [ 365.4952 19.1997 272.8339 16.1092]
K = − − −
(3.9)
Nhận xét:
1. Đáp ứng của hệ nêm ổn định sau 3s.
2. Dao động của hệ còn lớn.
Hình 3.2 Đáp ứng mô phỏng góc nêm với K2
Với giá trị ma trận đối xứng xác định không âm Q mới: 8000 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Q =
Độ lợi hồi tiếp trạng thái trong thiết kế lần cuối là [ 497 23.9643 334.7569 21.5353]
K = − − − − (3.10)
Hình 3.3 Đáp ứng mô phỏng góc nêm với K3
Nhận xét:
1. Hệ thống ổn định sau 1s.
2. Dao động của hệ không nhiều.
3.3.2. Bộ quan sát trạng thái
Trở lại với thực tế là ta chỉ có cảm biến xác định vị trí và góc lệch của nêm, như vậy còn hai biến nữa ta không có cảm biến để xác định. Thực tế với 2 biến vận tốc này ta có thể sử dụng phương pháp lấy đạo hàm hai biến vị trí và góc lệc nêm. Tuy nhiên, ở đây ta đề cập đến việc thiết kế bộ quan sát để có được 2 biến này phụ thuộc vào giá trị vị trí và góc lệch nêm trả về từ cảm biến.
Với K vừa xác định, giải phương trình tìm nghiệm riêng của hệ thống có thành phần hồi tiếp trạng thái dùng lệnh hỗ trợ của MatLab:
Ac=[(A-B*K)] P=eig(Ac)
Nghiệm riêng của hệ thống được xác định: p =
-0.9683 -11.0050i -14.9905 + 0.3325i -14.9905 - 0.3325i
Các nghiệm riêng của bộ quan sát được xác định dự kiến có các cực nhanh gấp 4 đến 10 lần cực chậm nhất. Chọn giá trị này càng cao → hệ thống lâu bám, nhưng chắc chắn sẽ bám theo được các dao động do bởi bộ quan sát đã lường hết tần số dao động. Chọn giá trị này thấp → hệ thống nhanh đáp ứng, nhưng sẽ không đáp ứng kịp nếu tần số dao động của hệ thống thực lớn hơn bộ quan sát. Các giá trị λitương ứng được xác định:
1 3.7
λ = − ,λ = −2 4.5,λ = −3 6.89,λ = −4 18.672
Áp dụng các giải thuật đề nghị ở Chương 2 cho đối tượng nghiệm riêng là số thực kiểm nghiệm lại giá trị, nhận thấy với λ = −4 18.672 bộ quan sát đáp ứng tốt nhất.
Sơ đồ dưới cho thấy dạng của hệ thống này được mô tả:
Hình 3.4 Bộ điều khiển LQR và thành phần ước lượng trạng thái
Chọn P1=[-18.672 -19.672 -20.672 -21.672]
Ma trận L được xác định: L =
2.5434 0.2253 1.7130
Đáp ứng của bộ quan sát có dạng:
Hình 3.5 Đáp ứng bộ quan góc nêm
Nhận xét: Bộ quan sát bám theo được giá trị đáp ứng của góc nêm, phù hợp để thay thế việc xác định góc nêm bằng cảm biến.
3.4.Kết quả thực nghiệm bộ điều khiển LQR
3.4.1. Đáp ứng của hệ thống với bộ điều khiển LQR
Độ lợi hồi tiếp trạng thái được thiết kế trong chương trước được dùng để điều khiển nêm ngược. Hình 3.1 cho thấy đáp ứng của hệ thống thực có rất nhiều khác biệt so với mô phỏng. Qua đáp ứng thấy góc nêm dao động khoảng 3 độ.
Sự khác biệt này là do ảnh hưởng của sự sai khác giữa các thành phần trong cấu tạo cơ khí, giá trị hồi tiếp từ cảm biến, và ngay cả tốc độ đáp ứng của hệ thống.
(a) Góc nêm (b) Vị trí vật nặng
(c) Góc nêm được lấy từ bộ quan
sát (d)Vị trí vật nặng từ bộ quan sát.
(e) Điện áp điều khiển. (Armature voltage)
Hình 3.6 Đáp ứng hệ nêm với bộ điều khiển LQR
3.4.2. Bù ma sát
Mặc dù đã thiết kế bộ điều khiển cân bằng hệ nêm ngược, dao động góc nêm vẫn còn nằm trong khoảng 3→4 độ. Đây không phải là kết quả mong muốn. Lý do chính của dao động này là ma sát giữa vật nặng và đường. Để loại bỏ vấn đề này, một thành phần được bổ sung vào bộ điều khiển. Luật điều khiển trở thành
( )
sgn
Trong đó Kfrlà một hằng số ước lượng ma sát, và thành phần cuối được dùng để so sánh ảnh hưởng của ma sát. Hình 3.2 cho thấy đáp ứng của hệ thống với bộ bù ma sát. Biên độ dao động của nêm giảm. Giá trị của Kfrđược chọn là 4.
(a) Đáp ứng góc nêm θ
(b)Đáp ứng vị trí vật nặng x (c) Tín hiệu điều khiển u.
Hình 3.7 Bù ma sát. (a) θ và x, (b) Áp điều khiển u
3.4.3. Thêm thành phần bù rung (Dithering)
Có một cách khác để giảm dao động của góc nêm. Đó là thêm thành phần tín hiệu bù rung vào luật điều khiển.
Với ý tưởng tần số dao động quanh điểm cân bằng được xác định là f, nếu có thành phần bù thụ động, sẽ làm cho nêm bớt dao động.
Quá trình thực nghiệm thực hiện thêm thành phần Kdithsin 2( π ft)vào luật điều khiển u, luật điều khiển mới có dạng :
( )
1 2 3 4 dithsin 2
u K= θ +K x K+ θ&+K x K&+ π ft
Trong đó Kdithlà biên độ tín hiệu rung, f là tần số của tín hiệu rung này. Hình 3.3 cho thấy đáp ứng sau khi thêm thành phần tín hiệu rung, biên độ của dao động được giảm. Biên độ của tín hiệu rung Kdithvà tần số của tín hiệu rung là Kdith =6.5và f =5Hz
(a) Đáp ứng góc nêm θ
(b)Đáp ứng vị trí vật nặng x (c) Tín hiệu điều khiển u.
Hình 3.8 Thêm bộ bù rung. (a) θ và x, (b) Áp điều khiển u
Trong Hình 3.9, ta tác động vào cánh của nêm ngược tại t=10s. Góc nêm nghiêng một góc khoảng 6 độ, và vị trí của vật nặng trượt khoảng 7cm hay lớn hơn. Biên độ dao động lớn hơn khi không có tác động.
(a) Đáp ứng góc nêm θ
(b)Đáp ứng vị trí vật nặng x (c) Tín hiệu điều khiển u.
Hình 3.9 Khi có tác động tại t=10s. (a) θ và x, (b) Áp điều khiển u
(a) Đáp ứng góc nêm θ
(b)Đáp ứng vị trí vật nặng x (c) Tín hiệu điều khiển u.
Hình 3.10 Kết hợp bù ma sát và bù rung (a) θ và x, (b) Áp điều khiển u
Bằng kết hợp bộ bù ma sát và thêm tín hiệu rung, luật điều khiển trở thành
( )
1 2 3 4 frsgn( ) dithsin 2
u K= θ +K x K+ θ&+K x K&+ x&+K π ft
(3.13)
Biên độ của dao động giảm đáng kể trong điều kiện không tải như trình bày trong Hình
3.5 và điều kiện có tải trong Hình 3.6. Hệ số fr
K và Kdithđược chọn là Kfr =2và
6.5
dith
3.4.4. Thêm thành phần tích phân tín hiệu hồi tiếp
Như Hình 3.6 cho thấy, khi có tác động vào cánh nêm, xảy ra sai số trạng thái ổn định của nêm. Để loại bỏ được sai số, cần thêm bộ điều khiển hệ nêm được tích hợp thêm thành phần hồi tiếp. Khi đó, bộ điều khiển trở thành:
( ) 1 2 3 4 0 sgn( ) sin 2 t fr dith i
u=Kθ +K x K+ θ&+K x K&+ x&+K π ft +K ∫θdt
(3.14)
Sai số sau đó được loại trừ. Đáp ứng của góc nêm khi có tác động được triệt tiêu về 0 sau 3s như trình bày trong Hình 3.7. Tại thời điểm t=30s, có tác động vào cánh nêm → đáp ứng thay đổi ngay khi cánh nêm được tự do và góc nêm quay lại zero trong 3s. Độ lợi tích phân hồi tiếp (integral feedback gain) được chọn là Ki =100.
(a) Đáp ứng góc nêm θ
(b)Đáp ứng vị trí vật nặng x (c) Tín hiệu điều khiển u.
Hình 3.11 Thêm bộ tích phân tín hiệu hồi tiếp. (a) θ và x, (b) Áp điều khiển u
3.5. Bộ điều khiển mờ
Bước đầu để thiết kế bộ điều khiển mờ là xác định biến ngõ vào/ra của bộ điều khiển. Như đã thảo luận ở phần trước, hai biến T và dT được định nghĩa trong (2.51) và (2.52) được chọn làm biến ngõ vào của bộ điều khiển mờ thay vì bốn biến. Đồng thời, biến ngõ ra của bộ điều khiển là lực F tác động lên cánh nêm thay vì là điện áp điều khiển động cơ.
Hàm liên thuộc (membership function) của các biến ngôn ngữ của từng biến được định nghĩa như ở Hình 3.8.
Hình 3.12 Định nghĩa hàm liên thuộc của (a)T (b) dT và (c)F
Bước tiếp là thiết kế luật điều khiển mờ. Luật mờ được hình thành với dạng.
Bảng 3.2 Bảng luật mờ với tín hiệu ngõ vào là moment xoắn và tốc độ
(NB,NS,ZE,PS,PB) (NB,NS,ZE,PS,PB)
(NB,NS,ZE,PS,PB)
Bảng 3.3 Luật điều khiển mờ với hai biến T và dT
Kết quả thực hiện luận điều khiển mờ đề nghị được mô tả trong MatLab có dạng như ở dưới:
Bề mặt mờ của bộ điều khiển mờ được xác định:
Hình 3.14 Bề mặt mờ
Để giảm thời gian tính toán, đề tài sử dụng luật điều khiển mờ với 2 biến ngõ vào. Sơ đồ khối của bộ điều khiển mờ được trình bày như Hình 3.15.
Hình 3.15 Hệ thống điều khiển mờ nêm ngược
Có một vài phương pháp để cải thiện khả năng bộ điều khiển mờ. Ví dụ:
• Điều chỉnh các hệ số tiền xử lý G1,G2,
và hệ số hậu xử lý G3
• Điều chỉnh hàm hợp thành của biến mờ.
Hai phương pháp đầu sẽ được thực hiện trong luận văn này.
Việc điều chỉnh hệ số tỉ lệ có thể thực hiện online, trong khi điều chỉnh hàm hợp thành chỉ thực hiện được khi offline (trong trường hợp hệ thống con nêm đang thực hiện). Quá trình này được thực hiện lặp đi lặp lại cho đến khi đạt kết quả mong muốn.
3.6. Kết quả thực nghiệm bộ điều khiển mờ
Hình 3.12 trình bày kết quả thực nghiệm của hệ nêm ngược trong trạng thái tĩnh. Thời gian lấy mẫu 25ms. Các biến trạng thái θ& và x& được xấp xỉ bằng.
( ) (k k 1) dt θ θ θ&= − − (3.15) ( ) ( 1) x k x k x dt − − = & (3.16)
Trong đó k là thời điểm lấy mẫu hiện tại, k-1 là thời điểm lấy mẫu trước đó, dt là khoảng thời gian lấy mẫu. Khi không có tác động bên ngoài, nêm dao động với góc khoảng ±20.
Trong Hình 3.17, nêm bị tác động một lực tại thời điểm t=20s ở góc trái của nêm. Sau đó nêm dao động với góc khoảng 30. Khoảng dao động x của vật nặng: x = 8cm. Góc nêm không cân bằng do moment xoắn bên ngoài tác động.
Ta cần loại bỏ sai số ổn định của góc nêm. Đối với thiết kế điều khiển thông thường, ta bổ sung một bộ tích phân tín hiệu hồi tiếp để loại bỏ sai số trạng thái. Sai số trạng thái của góc nêm phụ thuộc vào lực moment xoắn bên ngoài. Nếu ta thay đổi (3.16) trở thành :
1 2 i
T K= θ +K x K+ ∫θdt (3.17)
Thành phần tích phân của góc lệch nêm được bổ sung được thêm vào moment xoắn không cân bằng xấp xỉ T để bù sai số trạng thái ổn định của góc nêm. Trong trường hợp này, thành phần tích hợp trong (3.17) được tính để bổ sung moment xoắn không cân bằng bổ sung do lực bên ngoài tác động. Vì thế, sai số ổn định của góc nêm được loại bỏ. Khoảng trượt của vật nặng ngắn lại chỉ khoảng 2cm khi có lực tác động.
Trong chương này, đề tài đã thực hiện cân bằng hệ nêm dùng phương pháp điều khiển mờ. Bằng việc kết hợp hiểu biết kinh nghiệm của động học nêm, bộ điều khiển mờ có