Cụng thức: V b[f x ] dx a 2 ) ( ∫ =π V b[f y ] dy a 2 ) ( ∫ =π
Bài1:Tớnh thể tớch của vật thể trũn xoay do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau:
a) y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e quay quanh trục Ox. b) y = tanx , y = 0 , x = 0 , x =
4 π
quay quanh trục Ox. c) y =
x
4
, y = 0 , x = 1 , x = 4 quay quanh trục Ox. d) y = x.lnx , y = 0 , x = 1 , x = e quay quanh trục trục Ox e) 2 1 2 1 e x
y= , y = 0 , x = 1 , x = 2 quay quanh trục Ox. f) y = 5x – x2 , y = 0 quay quanh trục Ox.
g) y = 2x2 , y = 2x + 4 quay quanh trục Ox. h)
3 3
x
y = , y = x2 quay quanh trục Ox
k) y =x ln(1+x2) , y = 0 , x= 1 quay quanh trục Ox.
Bài 2: Tớnh thể tớch của vật thể trũn xoay do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau quay quanh trục tung.
a) y = x2 , x = 0 , y = 0 , y = 4 b) y = x3 , x = 0, y = 1 , y = 2 c) y = lnx , x = 0 , y = 0 , y = 1. d) y = 3 – x2 , x = 0 , y = 1
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường : y= x;y 2 x;y 0= − =
a y=0 b ) ( : ) (C y= f x b a x= x=b x y O b a x y 0 = x O ) ( : ) (C x= f y b y= a y=
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Oy
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)= − 2 và y = 4 Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh:
a) Trục Ox b) Trục Oy
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y= −4 x y x2; = 2+2.
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường :
221 ; 21 ; 1 2 x y y x = = +
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox
Bài tập về toạ độ điểm-véc tơ trong không gian và ph ơng trình mặt phẳng
Tóm tắt lí thuyết
Cho a(x;y;z) và b(x ';y ';z ')r r
không cùng phơng và cùng //(α) thế thì n [a.b]r = r r là một véc tơ pháp tuyến của mp(α)
- Hai véc tơ trên gọi là cặp véc tơ chỉ phơng của mp(α)
- Để các định véc tơ pháp tuyến của mp đi qua A, B, C ta xác định véc tơ pháp tuyến n [AB.AC]r = uuur uuur
Chú ý :
Bài tập:
Bài 1 : Xét sự thẳng hàng của 3 điểm , nếu thẳng hàng thì B chia AC theo tỉ số nào ? a, A ( 1; 3; 1) B ( 0; 1; 2) C (0; 0; 1)
b, A ( 0; -2; 5) B ( 3; 4; 4) C (2; 2; 1) c, A ( 1; 2; 4) B ( 2; 5; 0) C (0; 1; 5)
Bài 2 : Cho 4 điểm A ( 1; -1; 1) B ( 1; 3; 1) C (4; 3; 1) D ( 4; -1; 1) a, CMR 4 điểm trên là 4 đỉnh của 1 hình chữ nhật
b, Tính độ dài các đờng chéo và góc giữa AC và AB
Bài 3: a, Tìm trên Oy điểm cách đều 2 điểm A ( 3; 1; 0) , B ( -2; 4; 1) b, Đờng thẳng AB cắt ( Oyz) tại điểm M. Tìm toạ độ điểm M
c, Tìm trên (Oxz) điểm D cách đều 3 điểm A ( 1; 1; 1) , B ( -1; 1; 0), C ( 3; 1; -1). Tính VABCD
Bài 4: Cho 4 điểm A ( 1; 1; 0), B ( 0; 2; 1) C ( 1; 0; 2), D ( 1; 1; 1) a, CMR 4 điểm đó không đồng phẳng. Tính VABCD
b, Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD c, Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD
d, Tính độ dài các đờng cao của tứ diện e, Tính góc giữa 2 đờng thẳng AD và BC
g, Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
h, Tìm toạ độ điểm E để ABEC là hình bình hành, tính SABEC
i, Tính độ dài đờng cao AH của tam giác ABC
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) 2x - y + z + 1 = 0 , (Q) x + 3y - z + 2 = 0 và đi qua điểm M(1 ; 2 ;1)
Bài 6Lập pt mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + z + 1 = 0 và x + 3y - z + 2 = 0 và a)song song với trục ox
b)vuông góc với mặt phẳng :x+2y-z+3=0
Bài 7: Viết phơng trình mặt phẳng trong các trờng hợp sau: a, Đi qua 3 điểm A ( -1; 2; 3) , B( 2 ; -4; 3), C ( 4; 5 ; 6) b, Đi qua M ( 1; 3 ; -2) và vuông góc với Oz
c, Đi qua M ( 1; 3 ; -2) và vuông góc với BC với B ( 0; 2 ; -3), C( 1; -4; 1) d, Đi qua M ( 1; 3 ; -2) và chứa trục Oy
e, Đi qua M ( 1; 3 ; -2) và song song với (P) 2x – y + 3z -5 = 0.
g, Đi qua 2 điểm A ( 3; 1 ; -1), B ( 2 ; -1; 4) và vuông góc với (P) 2x – y + 3z -5 = 0.
h, Đi qua M ( 1; 3 ; -2) và vuông góc với 2 mặt phảng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, (Q) 3x + 2y+z-3=0 Bài 8: (ĐHL-99) :Trong Oxyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 . Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 9 :Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau: 1) (P): 2x+y-3z+3=0
2) (P):12x-4x+3y-15=0
Bài 10:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5;1;3) ,B(1;6;2) , C(5;0;4) ,D(4;0;6)
1) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC).
2) Tính chiều dài đờng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện .
Bài 11:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,1,-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phơng trình : (P1): x-y+z-4=0 và (P2) 3x-y+z-1=0
Bài 12 : Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P1): y+2z-4=0 và (P2) : x+y-z-3=0 và song song với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0.
Bài 13 : Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P1): 3x-y+z-2=0 và (P2): x+4y-5=0 và vuông góc với mặt phẳng (Q):2x-z+7=0.
Bài 14: a, Cho (S) có pt x2 + y2 + z2 -6x -2y + 4z + 5 = 0 và điểm M ( 4; 3; 0). Viết pt (P) tiếp xúc với (S) tại M.
c, Cho 4 điểm A(5;1;3) ,B(1;6;2), C(5;0;4) ,D(4;0;6). Lập pt mcầu tâm A và tiếp xúc với (BCD) Bài 15 : Cho khối lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a, Tính góc tạo bởi AC’ và A’B
b, Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm các cạnh A’B’, BC, DD’.Chứng minh AC’ vuông góc với (MNP) c, Tính VAMNP.
Bài 16 : Cho khối lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng a. a, Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’).
b, Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm BB’. Chứng minh A’C vuông góc với MN c, Tính góc giữa MN và AC’