TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1 Khái niệm hai tam giác đồng dạng

1. Khái niệm hai tam giác đồng dạng

a) Định nghĩa: Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:       A B B C C A       A B B C C A

A A B B C C

AB BC CA

, , ;      

    

Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo đúng thứ tự các cặp

đỉnh tương ứng: A B C   ABC.

b) Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai

A

B C

M N

2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

A B B C C A

AB BC CA

     

   ABC  ABC

Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

  A B A C A A AB AC ,         ABC  ABC

Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

AA B,B  ABC  ABC

3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác

vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc

vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó

đồng dạng với nhau.

4. Tính chất của hai tam giác đồng dạng

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

 Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.  Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.  Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.  Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.

 Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

VẤN ĐỀ I. Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán

Bài 1. Cho tam giác ABC đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác.

b) Cho k 3

5

 và hiệu chu vi của hai tam giác là 40dm. Tính chu vi của mỗi tam giác.

HD: a) P k P



 b) P 60(dm P), 100(dm).

Bài 2. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k 4

3

 . Tính chu vi của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác ABC bằng 27cm.

HD: P20,25(cm).

Bài 3. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 75cm. Tính độ dài các cạnh của

ABC.

HD: A B 15cm B C,  25cm A C,  35cm.

Bài 4. Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK.

a) Chứng minh ABH ACK. b) Cho ACB400. Tính AKH. HD: b) AKH ACB400.

Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P và Q sao cho BP = BQ. Gọi H là hình chiếu của B trên đường thẳng CP.

a) Chứng minh BHP CHB. b) Chứng minh: BH CH

BQ  CD.

c) Chứng minh CHD BHQ. Từ đó suy ra DHQ900.

HD: c) Chứng minh DHQ CHD CHQ    BHQ CHQ BHC900.

Bài 6. Hai tam giác ABC và DEF có AD, BE, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm.

a) Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm. b) Cho diện tích tam giác ABC bằng 39,69cm2. Tính diện tích tam giác DEF.

HD: a) ABC  DEF  EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF 22,33(cm2).

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.

a) Chứng minh AKI ABC. b) Tính diện tích tam giác ABC. c) Tính diện tích của tứ giác AKHI.

HD: b) SABC 39cm2 c) SAKHI 216cm2

13

 .

Bài 8. Cho tam giác ABC, có A900B, đường cao CH. Chứng minh:

a) CBAACH b) CH2 BH AH.

Bài 9. Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC bằng S.

HD: SGMN S

12 .  .

Bài 10. Cho hình vuông ABCD, cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM = DA.

a) Chứng minh EMC ECB. b) Chứng minh EB.MC = 2a2. c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

HD: c) SEMC 4a2

5

 .

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB, lấy điểm M sao cho

AM MB

2 3 . Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC tại N. Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC tại D.

a) Chứng minh AMN  NDC.

b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm. Tính diện tích cáctam giác AMN, ABC và NDC.

HD: b) SAMN 24cm2, SABC 200cm2

3

 , SNDC 32cm2

3

 .

VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. a) Chứng minh ABCCAB.

b) Tính chu vi của ABC, biết chu vi của ABC bằng 54cm.

HD: b) P 27(cm).

Bài 2. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh các tam giác EFH và ABC đồng dạng với nhau và G là trọng tâm của tam giác EFH.

HD: Sử dụng tính chất đường trung bình và trọng tâm tam giác.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.

a) Chứng minh: FCM OMB và PAE PBO. b) Chứng minh: MB NC PA

MC NA PB. . 1.

HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét và tam giác đồng dạng.

Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm D, E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm.

a) Chứng minh AED ABC.

b) Tính chu vi của tam giác ADE, khi biết BC = 25cm. c) Tính góc ADE, biết C200.

HD: b) PADE 24(cm) c) ADE200.

Bài 5. Cho góc  xOy xOy( 180 )0 . Trên cạnh Ox, lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh Oy, lấy 2 điểm C, D sao cho OC = 8cm, OD = 10cm.

a) Chứng minh: OCB OAD.

b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh BAI DCI

 .

HD:

Bài 6. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm, AC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của các điểm B, C trên đường thẳng AD. a) Tính tỉ số BM CN b) Chứng minh AM DM AN  DN . HD: a) Chứng minh BDM  CDN  BM CN 6 7

 b) Chứng minh ABM  CAN.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ CE  AB và CF  AD, BH  AC.

a) Chứng minh ABH ACE. b) Chứng minh: AB AE. AD AF. AC2.

HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH  đpcm.

Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.

b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh

OH AB

OK CD.

HD: a) Chứng minh OAB  OCD.

Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi O là giao điểm của ba đường cao AH, BK, CI.

a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI OCB

c) Chứng minh BOH BCK d) Chứng minh BO BK CO CI .  . BC2.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm. a) Tính BC.

b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB CAB.

c) Tính EB và EM.

d) Chứng minh BH vuông góc với EC. e) Chứng minh HA.HC = HM.HE.

HD: a) BC9(cm) c) EM6(cm EB), 7,5(cm)

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Hãy nêu từng cặp các tam giác đồng dạng.

b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.

HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm.

Bài 12. Cho tam giác ABC và đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC 20cm

3

 .

a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ABH CAH. Từ đó tính BAC. HD: a) AH = 4cm b) BAC900.

Bài 13. Cho tứ giác ABCD, có DBC900, AD 20cm, AB4cm, DB6cm,

DC9cm.

a) Tính góc BAD b) Chứng minh BAD DBC c) Chứng minh DC // AB. HD: a) BAD900

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, AC = 20cm. Tia phân giác của góc A, cắt cạnh BC tại D.

a) Tính DB

DC.

b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC tại E. Chứng minh EDC ABC. c) Tính DE và diện tích của tam giác EDC.

HD: a) DB DC 3 4  c) DE 60(cm) 7  , SEDC 2400(cm2) 49  .

Bài 2. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a. Vẽ các đường cao BH, CK. a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC và HK.

HD: c) HC a b 2 2  , KH a a b 3 2 2   .

Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm K, H sao cho BK CH. BI2. Chứng minh:

a) KBI ICH b) KIH KBI c) KI là phân giác của góc BKH d) IH KB HC IK.  . HK BI. . HD: d) Chứng minh IH KB HC IK.  . BI KI( IH)HK BI. .

Bài 4. Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác trong AD, đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh HD DM HM.

b) Vẽ các đường cao BF, CE. So sánh hai đoạn thẳng BF và CE. c) Chứng minh AFE ABC.

HD: a) AB < AC  DC > MC,  A CAH

2

  D nằm giữa H và M  đpcm. b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH

Bài 5. cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm D, E sao cho

AD AE

AB  AC. Đường trung tuyến AI (I  BC) cắt đoạn thẳng DE tại H. Chứng minh DH

= HE.

HD: DH HE

BI  IC  đpcm.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, C300 và đường phân giác BD (D  AC). a) Tính tỉ số DA