2 Bài tốn tựa cân bằng tổng quát loại hai
2.2.1Bao hàm thức tựa biến phân
Cho các ánh xạ đa trị G, H : K ×D ×D → 2Y. Trong phần này ta xét sự tồn tại nghiệm của các bài tốn sau:
1). Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loạiII (Ký hiệu(U IQV IP)II). Tìm x¯ ∈ D sao cho x¯∈ P1(¯x) và
G(y,x, t¯ ) ⊆ H(y,x,¯ x¯) +C(y,x¯) với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
2). Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng dưới loạiII (Ký hiệu(LIQV IP)II). Tìm x¯ ∈ D sao cho x¯∈ P1(¯x) và
H(y,x,¯ x¯) ⊆G(y,x, t¯ )− C(y,x¯) với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Các bài tốn trên là dạng mở rộng của các bài tốn đã nghiên cứu trong [10], [11], [16], [18].
Hệ quả 2.2.1. Giả sử D, K, P1, P2 và Q xác định như trong định lý 2.1.2. Cho G, H là các ánh xạ cĩ giá trị compact và G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) +
C(y, x), với mỗi (y, x) ∈ K ×D. C : K ×D → 2Y là ánh xạ nĩn nửa liên tục trên với giá trị lồi, đĩng khác rỗng. Giả thiết rằng:
i) Với mỗi điểm cố định t ∈ D, ánh xạG(., ., t) : K×D →2Y là(−C)-liên tục dưới, ánh xạ N : K ×D →2y định nghĩa bởi N(y, x) =H(y, x, x)
là C-liên tục trên;
ii) G là (Q,C)-giống như tựa lồi trên theo đường chéo theo biến thứ ba. Khi đĩ bài tốn (U IQV IP)II cĩ nghiệm.
Chứng minh. Định nghĩa các ánh xạM :K×D →2X, F : K×D×D →
2D như sau
M(x, y) = {t∈ D | G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x)},(y, x) ∈ K ×D, F(y, x, t) = t−M(y, x),(y, x, t) ∈ K ×D×D.
Với mỗi điểm cố định t ∈ D, đặt
A = {x ∈ D | 0 ∈ F(y, x, t), với mọi y ∈ Q(x, t)},
Khi đĩ
A = {x ∈ D | t ∈ M(y, x), với mọi y ∈ Q(x, t)}
Ta sẽ chỉ ra rằng A đĩng trong D. Thật vậy, giả sử dãy {xα} ⊂ A và
xα → x. Lấy tùy ý điểm y ∈ Q(x, t). Do Q(.,t) là ánh xạ nửa liên tục dưới và xα → x, nên tồn tại dãy {yα}, yα ∈ Q(xα, t) sao cho yα → y. Tính (−C)-liên tục dưới của ánh xạ G(.,.,t).Tính C-liên tục trên của H và tính nửa liên tục trên của C, kéo theo với mỗi lân cận V của điểm gốc trong Y
tồn tại chỉ số α0 sao cho với mọi α ≤ α0 thỏa mãn
G(y, x, t) ⊆ G(yα, xα, t) + V + C(y, x)
⊆H(yα, xα, xα) +V +C(yα, xα) +C(y, x) ⊆H(y, x, x) + 3V +C(y, x).
(2.1) Kết hợp (2.1) với tính compact của H(y, x, x) và tính đĩng của C(y, x) ta suy ra
G(y, x, t) ⊆H(y, x, x) + C(y, x),
do đĩ x ∈ A. Điều này dẫn đến A là tập đĩng trong D và tập
B = D\A = {x ∈ D |0 ∈/ F(y, x, t), với mỗi y ∈ Q(x, t)},
là tập mở trong D. Hơn nữa, từ G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x), với mỗi (y, x) ∈ K × D và G là (Q,C)-giống như tựa lồi trên theo đường chéo theo biến thứ ba, ta suy ra với mỗi tập hữu hạn {t1, . . . , tn} ⊆ D, x ∈
co{t1, . . . , tn} tồn tại chỉ số j ∈ {1, . . . .n} sao cho
G(y, x, tj) ⊆ G(y, x, x)+C(y, x) ⊆H(y, x, x)+C(y, x) với mọi y ∈ Q(x, tj).
Do đĩ 0 ∈ F(y, x, tj) và ta cĩ F là ánh xạ Q−KKM. Áp dụng Định lý 2.1.2, tồn tại điểm x¯ ∈ D sao cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
¯
x ∈ P1(¯x),
0 ∈ F(y,x, t¯ ), với mọi t∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Điều này tương đương với
G(y,x, t¯ ) ⊆ H(y,x,¯ x¯) + C(y,x¯), với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Vậy hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 2.2.2. ChoD, K, P1, P2 vàQxác định như trong định lý 2.1.2. G, H
là các ánh xạ cĩ các giá trị compact và H(y, x, x) ⊆ G(y, x, x) − C(y, x),
với mỗi (y, x) ∈ K ×D. Gọi C : K ×D → 2Y là ánh xạ nĩn nửa liên tục
trên với giá trị lồi, đĩng khác rỗng. Giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn: i). Với mỗi điểm cố định t ∈ D, ánh xạG(., ., t) : K×D →2Y là(−C)-liên
tục trên và ánh xạ N : K×D → 2Y định nghĩa bởi N(y, x) =H(y, x, x)
là C-liên tục dưới.
ii). G là (Q,C)-giống như tựa lồi dưới theo đường chéo, theo biến thứ ba.
Khi đĩ bài tốn (LIQV IP) cĩ nghiệm.