1.2. Phân tích sách giáo khoa
1.2.2. Phép đối xứng trục trong hình học 11 giai đoạn 2006 – 2010
Trước khi loại khỏi chương trình, phép ĐXT được đưa vào chương I – phép biến hình với trình tự sau: Phép tịnh tiến, phép ĐXT, phép đối xứng tâm, phép quay, phép dời hình, phép vị tự, phép đồng dạng. Như vậy phép ĐXT được giới thiệu trước bài phép dời hình và phép đồng dạng. Mục đích của SGK là trình bày các phép biến hình theo hình thức quy nạp, sau khi đã trình bày các phép biến hình cụ thể sẽ trình bày các phép dời hình, đồng dạng dưới dạng tổng quát.
Về định nghĩa, tính chất
Về cấu trúc trình bày, phép ĐXT trong SGK 11 có tiến trình gần giống như ở lớp 8 nghĩa là:
Theo nhận định ban đầu thì phép ĐXT ở lớp 11 có hai điểm khác biệt cơ bản so với ĐXT ở lớp 8:
- ĐXT bây giờ đã trở thành phép ĐXT – một bộ phận của phép biến hình, phép dời hình.
- Xuất hiện biểu thức tọa độ ( qua trục Ox và trục Oy).
Đầu tiên SGK đưa ra một vài hình ảnh trong thực tế có trục đối xứng: mặt bàn cờ tướng, con bướm, một số ngôi nhà,…để HS có thể hình dung được nội dung của bài học. Từ đó sách giao khoa nêu định nghĩa:
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép ĐXT d.(H 1.10)
Từ định nghĩa ta có thể thấy ngay được sự thay đổi thuật ngữ so với lớp 8, SGK đã sử dụng đến những thuật ngữ của phép biến hình: “biến”, “ảnh”,…mà bản chất của nó chính là một ánh xạ. trong định nghĩa cũng
Nêu vấn đề Định nghĩa phép đối
xứng
Hai hình
đối xứng Biểu thức
tọa độ Tính chất Trục đối xứng của một hình
32
Hình 1.11
đã nói rõ phép ĐXT là một phép biến hình. Tuy nhiên định nghĩa này chỉ là định nghĩa phép ĐXT của một điểm qua một đường thẳng. Sau đó SGK mới mở rộng lên thành hai hình đối xứng qua một đường thẳng :
Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép ĐXT d thì ta còn nói H đối xứng H’ qua d hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.
Tiếp theo SGK đưa ra biểu thức vectơ của phép ĐXT thông qua nhận xét:
1) Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M0
là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó:
𝑀′ =Đ𝑑(𝑀)⇔ 𝑀�����������⃗0𝑀′ =−𝑀���������⃗ 0𝑀 2) 𝑀′ =Đ𝑑(𝑀) ⇔ 𝑀 =Đ𝑑(𝑀′) .
Theo sách GV: “nhận xét 1 có thể xem như là một cách định nghĩa khác (thông qua biểu thức vectơ) của phép ĐXT”. Như vậy ngoài định nghĩa đã nêu, HS có thể hiểu phép ĐXT theo một cách khác, công cụ vectơ cũng là một công cụ rất mạnh để nghiên cứu phép ĐXT.
Đó cũng là một công cụ mới để HS có thể giải quyết những bài toán liên quan đến phép ĐXT.Như đã nói ở trên, lớp 11 HS còn được cung cấp thêm biểu thức tọa độ qua trục Ox và trục Oy:
Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d. với mỗi điểm M(x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’ ; y’) thì :
� 𝑥′ =𝑥 𝑦′ =−𝑦
Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox
SGK trình bày tương tự đối với phép đối xứng qua trục Oy
33
Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d. với mỗi điểm M(x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’ ; y’) thì :
�𝑥′ =−𝑥 𝑦′ =𝑦
Nhờ 2 biểu thức tọa độ này mà các bài toán đối xứng qua trục Ox và trục Oy được giải quyết nhanh chóng mà không cần thông qua định nghĩa.
Tiếp đến SGK nêu ra hai tính chất của phép ĐXT:
Tính chất 1: Phép ĐXT bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép ĐXT biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Để HS thấy được các tính chất này SGV đưa ra gợi ý: “GV nên mô tả những tính chất đó bằng hình vẽ”.
Hình 1.15
Tuy nhiên SGK cũng có đưa ra một hoạt động giúp HS chứng minh tính chất 1 bằng cách sử dụng biểu thức tọa độ.
Những tính chất trên ở lớp 8 được phát biểu một cách khác, phù hợp với lớp 8, lên lớp 11 những tính chất này đã phát biểu tổng quát hơn.
Hình 1.13
Hình 1.14
34
Cuối cùng SGK đưa ra định nghĩa trục đối xứng của một hình:
Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó
Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng
SGK chỉ đưa ra một số hình ảnh minh họa hình có trục đối xứng và hình không có trục đối xứng. SGV nói rằng: “Các hình có trục đối xứng là những hình thường gặp trong đời sống…”
Hình 1.16
Về các tổ chức toán học
Phân tích hệ thống ví dụ, bài tập trong Hình học 11, chúng tôi nhận thấy có các KNV sau:
KNV T”1: xác định ảnh của một hình qua phép ĐXT.
Kỹ thuật 𝝉"𝟏:
• Nếu đề bài không cho tọa độ: việc xác định ảnh chính là vẽ hình đối xứng với một hình đã cho qua trục đối xứng bằng cách lấy các điểm đặc biệt của hình đó, sau đó vẽ đối xứng các điểm đó qua trục đối xứng, cuối cùng nối các điểm vừa vẽ được với nhau ta được ảnh của một hình cần tìm.
• Nếu đề bài cho hình có liên quan đến tọa độ ( nghĩa là cho tọa độ điểm hoặc phương trình của đường thẳng, đường tròn): khi đó ta xác định ảnh như sau:
Đối với điểm: Xác định tọa độ ảnh bằng biểu thức tọa độ ( nếu trục đối xứng là trục Ox hoặc Oy). Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng kỹ thuật của τ′1.
35
Hình 1.6
Đối với đường thẳng: Xác định phương trình ảnh của đường thẳng đã cho bằng một trong hai cách sau:
Cách 1: Tìm tọa độ ảnh của 2 điểm thuộc đường thẳng đã cho. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm vừa tìm được.
Cách 2: Gọi A’( x’; y’) là ảnh của A(x ; y), qua trục đối xứng. Biễu diễn tọa độ A qua tọa độ A’. Vì A thuộc d nên A’ thuộc d’. Thay tọa độ A theo A’ vào phương trình của d, khi đó phương trình vừa mới tìm được chính là phương trình d’ là ảnh của d qua trục đối xứng.
Đối với đường tròn: Tìm tọa độ ảnh của tâm đường tròn đã cho. Viết phương trình đường tròn mới có tâm là điểm vừa tìm, bán kính bằng đường tròn đã cho. Phương trình đường tròn vừa tìm được là ảnh của đường tròn đã cho qua trục đối xứng.
Công nghệ 𝜽"𝟏: Định nghĩa phép ĐXT, tính chất phép ĐXT, phương trình đường thẳng, đường tròn trong mpOxy, hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn số, điều kiện điểm thuộc đường thẳng, công thức tính tọa độ trung điểm.
Ví dụ 1[SBT HH 11 tr.12]: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng đường thẳng CD.
Lời giải mong đợi Chỉ cần xác định ảnh của các đỉnh của
tam giác A, B, E qua phép đối xứng đó.
Ảnh phải tìm là tam giác A’B’E’.
Ví dụ 2. [SBT HH 11 tr.12-13]:
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1 ; 5), đường thẳng d có phương trình x – 2y + 4 = 0 và đường tròn (C) có phương trình:
x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0.
36
a) Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d.
Lời giải mong đợi
a) Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d, (C) qua phép ĐXT Ox Khi đó M’(1 ; - 5).
Để tìm d’ ta sử dụng biểu thức tọa độ của phép ĐXT Ox: Gọi điểm N’(x’ ; y’) là ảnh của điểm N(x ; y) qua phép ĐXT Ox.
Khi đó: � x′ = x
y′ =−y⟺ � x = x′ y =−y′
Ta có N∈ d ⟺ x – 2y + 4 = 0 ⟺ 𝑥′−2(−𝑦′) + 4 = 0 ⟺ 𝑥′ + 2𝑦′+ 4 = 0
⟺N’ thuộc đường thẳng d’ có phuong trình x + 2y + 4 = 0.
Vậy ảnh của d là đường thẳng d’ có phương trình x + 2y + 4 = 0.
Để tìm (C’), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm J(1 ; -2), bán kính R = 3.
Gọi J’ là ảnh của J qua phép ĐXT Ox. Khi đó J’(1; 2). Do đó (C’) là đường tròn tâm J’
bán kính bằng 3. Từ đó suy ra (C’) có phương trình (x – 1)2 + (y – 2)2 =
9
b) Đường thẳng d1
qua M vuông góc với d có phương trình
𝑥 −1
1 =𝑦 −5
−2
⟺2𝑥+𝑦 −7 =0 Giao của d1 và d là điểm M0 có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
�𝑥 −2𝑦+ 4 = 0 2𝑥+𝑦 −7 = 0⟺
�𝑥 = 2 𝑦 =3
Vậy M0(2 ; 3). Từ đó suy ra ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d là M’’
sao cho M0 là trung điểm MM’’, do đó M’’(3 ; 1).
Hình 1.7
37 Nhận xét:
KNV T”1 là KNV bao gồm cả KNV T1 và T’1 ở lớp 8 và lớp 10 và là KNV con của KNV T5 và T8. Vì vậy T”1 góp phần làm giảm sự phức tạp khi giải quyết KNV T5 và T8, nó cũng là bước đệm mà SGK mong muốn khi phía sau nó tồn tại 2 KNV T5 và T8. Mặt khác T”1 có những sự khác biệt hơn so với các lớp trước là tìm phương trình của đường thẳng, đường tròn qua một trục đối xứng. Vì vậy xuất hiện thêm những kỹ thuật mới mà HS lớp 8 và lớp 10 chưa được biết đến. Mặt khác, nhờ có biểu thức tọa độ mà việc tìm tọa độ ảnh trở nên nhanh chóng hơn.
KNV T’’2: Tìm trục đối xứng của một hình Kỹ thuật 𝝉′′𝟐: Dự đoán,quan sát, suy luận.
Công nghệ 𝜽′′𝟐: Nếu một đa giác có trục đối xứng d thì qua phép ĐXT d mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một cạnh của đa giác bằng cạnh ấy. Định nghĩa, tính chất của các hình hình học.
Ví dụ [SBT HH 11 tr.14]: Tìm các trục đối xứng của một hình chữ nhật Lời giải mong đợi
Cho hình chữ nhật ABCD, AB > BC. Gọi F là phép đối xứng qua trục d biến ABCD thành chính nó. Khi đó cạnh AB chỉ có thể biến thành chính nó hoặc biến thành cạnh CD.
Nếu AB biến thành chính nó thì chỉ có thể xảy ra F(A) = B (vì nếu F(A) = A thì F(B) = B suy ra d trùng với đường thẳng AB, điều này vô lý). Khi đó d là đường trung trực của AB.
Nếu AB biến thành CD, thì không thể xảy ra F(A) = C, F(B) = D. Vì nếu thế thì AC // BD (vì cùng vuông góc d) điều đó vô lí. Vậy chỉ có thể F(A) = D, F(B) = C. Khi đó d là đường trung trực của AD.
Vậy hình chữ nhật ABCD có hai trục đối xứng là các đường trng trực của AB và AD.
Nhận xét:
KNV T’2 có đã tồn tại trong chương trình hình học 8, nay xuất hiện trong chương trình hình học lớp 11 với những thay đổi. Trong hình học 8 KNV này chỉ có dạng tìm trục đối xứng của một số hình quen thuộc, gần gũi với cuộc sống hàng ngày: hình trái tim, hình con
38
bướm,… Trong chương trình hình học 11 nó xuất hiện dưới 2 dạng sau: dạng 1 là giống với hình học 8, nghĩa là tìm trục đối xứng của một số hình quen thuộc, dạng 2 là dạng giống như ví dụ ở trên, có nghĩa là dựa vào định nghĩa, tính chất của hai hình đối xứng suy luận, tìm ra trục đối xứng của hình đó. Như vậy trong hình học 11 đã có sự chuyển biến, không chỉ dự đoán, quan sát rồi kết luận mà còn có sự suy luận logic, chứng minh tính hợp lí của những suy luận ấy nhờ công nghệ đã nêu ở trên. Nhờ T’2 mà HS có thể nhận biết các hình đối xứng nhau qua trục đối xứng, giúp vận dụng chúng hiệu quả hơn vào việc giải quyết các KNV T6, T7, T9, T10 của phép dời hình và phép đồng dạng.
KNV T11: Dùng phép ĐXT để giải bài toán dựng hình
Kỹ thuật 𝝉𝟏𝟏: Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép ĐXT, hoặc xem điểm M như giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép ĐXT.
Công nghệ 𝜽𝟏𝟏: định nghĩa, tính chất phép đối xứng trục và tính chất các hình đã học trong hình học bậc THCS.
Ví dụ [SBT HH 11 trang 14 – 15]: Cho hai đường tròn (C), (C’) có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C), (C’) còn hai đỉnh kia nằm trên d.
Lời giải mong đợi Phân tích
Giả sử hình vuông đã được dựng. Ta thấy hai đỉnh B và D của hình vuông ABCD luôn thuộc d nên hình vuông hoàn toàn được xác định khi biết đỉnh C. Xem C là ảnh của A qua phép ĐXT d. Vì A thuộc đường tròn (C) nên C thuộc đường tròn (C1) là ảnh của (C) qua phép ĐXT d. Mặt khác C phải luôn thuộc đường tròn (C’). Vậy C
phải là giao của đường tròn (C1) với đường tròn (C’).
Từ đó suy ra cách dựng.
Cách dựng
Hình 1.8
39
a) Dựng đường tròn (C1) là ảnh của (C) qua phép ĐXT d.
b) Từ C thuộc (𝐶1∩(𝐶′) dựng điểm A đối xứng C qua d. Gọi I là giao của AC với d
c) Lấy trên d hai điểm B và D sao cho I là trung điểm BD và IB = ID = IA. Khi đó hình vuông ABCD là hình cần dựng.
Chứng minh
Dễ thấy ABCD là hình vuông có B và D thuộc d, C thuộc (C’). Ta chỉ cần chứng minh A thuộc (C). Thật vậy vì A đối xứng C qua d, mà C thuộc (C’) nên A phải thuộc (C) là ảnh của (C’) qua phép ĐXT qua trục d.
Biện luận
Bài toán có một, hai, hay vô nghiệm tùy theo số giao điểm của (C1) với (C’).
Nhận xét:
Nếu như hai KNV trên HS bắt gặp được một phần quen thuộc thì KNV T11 là KNV hoàn toàn mới liên quan đến ĐXT cũng như phép ĐXT. Cũng dễ hiểu vì KNV T11 là KNV đặc trưng của phép biến hình nói chung và phép ĐXT nói riêng, có thể nói rằng nhắc đến phép biến hình thì không thể nào không đề cập đến bài toán tìm quỹ tích, mà ở các lớp trước ĐXT chưa được xem xét là một phép dời hình nên KNV này đến hình học 11 mới xuất hiện.
KNV T12: Dùng phép ĐXT để giải bài toán quỹ tích
Kỹ thuật 𝝉𝟏𝟐: Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép ĐXT.
Công nghệ 𝜽𝟏𝟐: định nghĩa, tính chất phép đối xứng trục và tính chất các hình đã học trong hình học bậc THCS.
40 Ví dụ [ SBT HH 11 trang 16]
Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di dộng trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn
Lời giải mong đợi
Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường tròn (O). Ta có
𝐵𝐴𝐼� =𝐼𝐶𝐵�(tương ứng vuông góc) 𝐵𝐴𝐼� =𝐵𝐶𝐼′�(cùng chắn một cung).
Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H và H’ đối xứng với nhau qua đường thẳng BC.
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường tròn (O). Do đó H phải chạy trên
đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC.
Nhận xét:
Tương tự như KNV T11, KNV T12 cũng hoàn toán mới đối với HS. Để giải quyết được 2 KNV này HS phải hiểu rõ về phép ĐXT để vận dụng vào việc giải toán. Có thể nói 2 KNV này thuộc cấp độ 3 – phép biến hình được xem là công cụ giải toán hình học, một cấp độ cao hơn việc hiểu phép biến hình theo nghĩa của ánh xạ.
Bảng 1.3: số lượng bài tập các KNV trong hình học 11
SGK 11 SBT 11 Tổng
VD BT VD BT
T”1 3 2 2 2 9
T’2 2 1 1 1 5
T11 1 1
T12 1 2 3
Hình 1.9
41
18 Thông qua Bảng 1.3 chúng tôi nhận thấy SGK ưu tiên cho KNV T”1 và T’2. Như vậy hai KNV T11, T12 chỉ mang tính chất giới thiệu. Điều đó càng góp phần khẳng định rằng hai KNV T”1 và T’2 đóng vai trò làm bước đệm để giải quyết các KNV trong phép dời hình, phép đồng dạng.
Nhận xét 5:
Qua những phân tích trên cho phép chúng tôi rút ra một số kết luận sau:
- Phép ĐXT trong chương trình 11 được hiểu ở cấp độ 2 và cấp độ 3.
- HS được cung cấp 2 công cụ mới để giải quyết bài toán liên quan đến phép ĐXT:
công cụ vectơ và biểu thức tọa độ. Việc cung cấp 2 công cụ này giúp HS có nhiều kỹ thuật hơn để giải quyết các bài toán, đồng thời cũng giảm bớt độ phức tạp trong quá trình giải toán.
- Phép ĐXT trong lớp 11 đưa vào những yếu tố công nghệ mới mà các lớp trước đó chưa được học: các tính chất về bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ, mặc dù các tính chất này được thừa nhận mà không chứng minh.
- Một số KNV ở lớp 8 và lớp 10 xuất hiện lại trong chương trình lớp 11 nhưng đa dạng hơn, có nhiều kỹ thuật giải hơn. Xuất hiện những KNV mới, HS chưa được tiếp xúc ở các lớp trước, để giải quyết những KNV này đòi hỏi HS phải hiểu phép ĐXT ở một mức độ cao hơn. Nhờ có những KNV này mà việc giải quyết các KNV của phép dời hình, phép đồng dạng đã được giảm độ phức tạp.
Từ những nhận xét đó phần nào cho chúng tôi khẳng định việc loại bỏ phép ĐXT đã ảnh hưởng đến việc dạy – học phép dời hình, phép đồng dạng. Việc loại bỏ phép ĐXT chẳng những ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân của HS với phép ĐXT nói riêng, phép biến hình nói chung mà nó còn ảnh hưởng đến mối quan hệ giữa cá nhân GV với các phép biến hình đó.
Các phân tích, nhận xét trên cho phép chúng tôi rút ra giả thuyết sau:
H1: Khi loại bỏ phép ĐXT trong chương trình và SGK lớp 11 mà không điều chỉnh những nội dung liên quan đến các phép biến hình khác sẽ dẫn đến một bộ phận giáo viên tự động thêm nội dung phép đối xứng trục vào bài giảng của mình, tạo nên sự không đồng nhất trong nội dung giảng dạy.