CHƯƠNG 3: MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN
3.8. Mô hình cho 2 X khi X là compactum vô h ạn đếm được bất kỳ
Trong phần này ta sẽ xây dựng một mô hình hình học cho 2X khi X là một compactum vô hạn đếm được bất kì.Tổng quát hơn, ta xây dựng một mô hình hình học cho 2X khi X là một compactum vô hạn không chiều với một tập trù mật những điểm cô lập. Ta chứng minh rằng tất cả các compacta có cùng mô hình hình học các siêu không gian của chúng.
Xét hai compacta sau:
0,1, , ,...1 1 Y = 2 3
1 1: 1, 2,...
Z Y n
n
= ∪ + =
Trước khi xây dựng mô hình cho 2X khi X là compactum vô hạn đếm được bất kỳ ta có một số thuật ngữ cơ bản sau.
3.8.1. Một số thuật ngữ cơ bản
36
Số chiều có nhiều kí hiệu khác nhau trong những không gian metric riêng biệt nhưng không tổng quát. Một không gian tôpô Y không chiều được kí hiệu là dim( )Y =0 ,Y ≠ ∅ và
có một cơ sở cho tôpô Y sao cho mỗi phần tử của cơ sở đều đóng và mở trong Y . Ví dụ một không gian metric hóa đếm được khác rỗng là không chiều.
Ta nói rằng một tập là đóng-mở trongY có nghĩa là tập vừa đóng vừa mở trong Y . Một không gian tôpô Y là đầy đủ cho ta mỗi điểm của Y là một điểm giới hạn của Y Một điểm cô lập của không gian Y là một điểm của Ynhưng không phải là một điểm giới hạn của Y , nghĩa là một điểm y Y∈ sao cho { }y là mở trong Y .
3.8.2. Tập Cantor
Trong phần này tập Cantor đóng vai trò rất quan trọng.
Tập Cantor bị khoét đi khoảng một phần ba ở giữa là không gian con C của [ ]0,1 như sau
1
i i
C = ∩∞=C , với 1
1 2
0, ,1
3 3
C = ∪ và bằng cách qui nạp ta đã định nghĩa Ci, ta định nghĩa Ci+1 là tập con của Ci , Ci+1 thu được bằng cách: trong Ci bỏ đi khoảng mở một phần ba ở giữa của mỗi khoảng con cực đại của Ci . Không gian bất kỳ đồng phôi với C được gọi là tập Cantor.
3.8.3. Những tính chất đặc trưng của tập Cantor
3.8.3.1. Định lý. Một không gian là một tập Cantor nếu và chỉ nếu nó là một compactum trù mật không chiều.[24,trang 109] và [25,trang 216]
Ta sử dụng những kết quả cơ bản sau để xây dựng mô hình cho 2X .
3.8.3.2. Bổ đề. Cho (X d, ) là một không gian metric và A∈2X . Nếu điểm p của A là điểm giới hạn của X thì có một dãy { }Ai i∞=1 hội tụ về A trong 2X sao cho p∈Ai và
Ai ≠ A với mỗi i.
37
Chứng minh. Vì p là điểm giới hạn của X nên có một dãy { }pi i∞=1 trong X −{ }p sao
cho { }pi i∞=1 hội tụ về p . Đặt
( )
2 1 ,
i i
r = − d p p với mỗi i Ta định nghĩa Ai với mỗi i như sau:
{ }
( { } )
,
, ,
i i
i
d i i i
A p khi p A
A A N r p khi p A
∪ ∉
= − ∈
Dễ thấy dãy { }Ai i∞=1 hoàn toàn được xác định.
3.8.3.3. Mệnh đề. Cho (X d, ) là một không gian metric và A∈2X . Khi đó A là một điểm cô lập của 2X khi và chỉ khi mỗi điểm của A là một điểm cô lập của X .
Chứng minh.Nếu A là một điểm cô lập của 2X thì theo 4.3.2 ta có mỗi điểm của A phải là một điểm cô lập của X . Ngược lại, giả sử mỗi điểm của A là một điểm cô lập của
X , khi đó vì A compact nên A phải là một tập hữu hạn
{ 1,..., n}
A= a a .
Rõ ràng { } { } { }A = a1 ,..., a2 mở trong 2X vì mỗi { }ai mở trong X . Nói cách khác A là một điểm cô lập của 2X .
Để có thể áp dụng dễ dàng hơn, trong mệnh đề này ta sử dụng kí hiệu sau: với một không gian Y , kí hiệu ( )Y là tập tất cả những điểm cô lập.
3.8.3.4. Mệnh đề. Nếu (X d, ) là không gian metric thì ( )2X =2( )X .
3.8.3.5. Hệ quả. Cho (X d, ) là một không gian metric thì ( )2X trù mật trong 2X khi và
chỉ khi ( )X trù mật trong X .
3.8.3.6. Mệnh đề. Cho (X T, ) là không gian T1 thì dim( )X =0 khi và chỉ khi dim 2( )X =0
.
38
Với một không gian Y , ta đặt ( )Y là tập cả các điểm không cô lập của Y hay
( )Y = −Y ( )Y
Định lý sau nói lên rằng 2X là một compact hóa metric của tập số nguyên với một tập Cantor như là phần dư.
3.8.3.7. Định lý. Cho X là một compactum vô hạn không chiều sao cho ( )X trù mật trong X . Khi đó, 2X là một compactum sao cho ( )2X trù mật trong 2X và ( )2X là
một tập Cantor.
Mệnh đề sau nói rằng với một compactum Y cho trước chỉ có một metric compact hóa của tập số nguyên với Y là một phần dư.
3.8.3.8. Mệnh đề. Cho Y và Z là compacta vô hạn sao cho ( )Y trù mật trong Y và
( )Z
trù mật trong Z . Nếu ( )Y ≅ ( )Z thì Y ≅Z . 3.8.4. Mô hình cho 2X
Ta xét một compactum đặc biệt P (Hình 3.11) được mô tả như sau: P là một metric compact hóa của tập số nguyên với tập Cantor là phần dư . Trong Hình 3.11, tập Cantor khoét đi khoảng mở một phần ba ở giữaC là phần dư và những điểm cô lập của P nằm phía trên các điểm chính giữa của những khoảng cực đại trong [ ]0,1 −C . Ta gọi P là compactum Pelczynski.
Hình 3.11. Compactum Pelczynski
39
3.8.4.1. Định lý. Cho X là một compactum vô hạn không chiều sao cho ( )X trù mật trong X . Khi đó 2X ≅P với P là compactum Pelczynski trong hình 3.11, nói cách khác
P là một mô hình hình học cho 2X .