CHƯƠNG 2: BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTƠ BOOLE19 2.1. Bóng đầy của một đoạn trong poset các vectơ Boole
2.2. Bóng khuy ết của một đoạn trong poset các vectơ Boole
Với một đoạn [ ]a b; ⊂ B n k( , ), vectơ mút phải b=b b1 2...bn có hai khả năng xảy ra: hoặc b1 =0 hoặc b1=1.
Xét trường hợp b1 =1, khi đó b= g v0i và do b>a nên có 3 khả năng xảy ra cho a như sau: hoặc a=g u0i hoặc a= g0i+1u hoặc a = g v0t với t> +i 1.
Về khả năng đầu tiên cho a ta có:
Mệnh đề 2.2.1 Trong B n k( , ) cho a= g u0i < g v0i =b. Khi đó ∆d[ ]a b; là đoạn khi và chỉ khi v =wg với ω( )w =1 và u= gz.
Chứng minh.
Vì b1=1, dễ thấy rằng ∆d[ ]a b; ⊂[min∆da max; ∆db] theo mệnh đề 1.4.3.1 ta có
d 0i
a′=min∆ =a g u′, b′ =max∆ =db g0i−1v (u'=δh1u).
• Chọn y′=g0izg∈[a b′ ′; ], các vectơ y≤b mà y′∈∆dy phải có dạng y =g0isg với ω( )s =1, điều đó buộc b=g0iwg với ω( )w =1.
Chọn x′=g0i−1gz∈[a b′ ′; ], tồn tại duy nhất x= g0 zig ≤b mà x′∈∆dx. Muốn
[ ];
x′∈∆d a b cần phải có a= g u0i ≤ g0 zig = x, do đó u= gz nghĩa là a= g0 zig . Vậy điều kiện trong mệnh đề là cần.
• Bây giờ ta chỉ ra rằng điều kiện đó cũng là đủ: tức là chứng minh rằng
[min∆da max; ∆db]⊂ ∆d[ ]a b; . Trong trường hợp này min∆ = =da a′ g0 zig và 0 1
d i
max∆ = =b b′ g − wg. Lấy bất kì x′∈[a b′ ′; ]. Có 2 khả năng cho x′:
Hoặc x′ =g0i−1d với d ≤ wg. Khi đó chọn x=g0id thì hiển nhiên x∈[ ]a b; và
x′∈∆dx.
Hoặc x′ =g c0i , bổ sung vào x′ tọa độ 1 tương ứng tọa độ 1 của vectơ w trong b ta được x∈[ ]a b; mà x′∈∆dx.
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có x′∈∆d[ ]a b; nên
[min∆da max; ∆db]= ∆d[ ]a b; hay ∆d[ ]a b; là đoạn.
Về khả năng tiếp theo khi a = g0i+1uvà b= g v0i , trước hết ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 2.2.2 Trong B n k( , ) cho a=g0i+1u< g v0i =b. Khi đó ∆d[ ]a b; là đoạn nếu thỏa một trong hai điều kiện sau:
( )i a=g0i+1gz
( )ii b=g0izg. Chứng minh.
( )i Khi a=g0i+1gz thì theo mệnh đề 1.4.3.1 ta có a′ =min∆ =da g0i+1gz và 0
b′ =max∆ =b g v . Lấy x′∈[min∆ a max; ∆ b]. Khi đó có ba khả năng xảy ra cho
• x′=g0i−1w≤ =b′ max∆ =db g0i−1v w( ≤v). Chọn x=g0iw≤g v0i =b. Hiển nhiên x>a và do đó x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b; .
• x′= g0i+1s′ . Chọn x=g0i+1s sao cho x′∈∆dx thì a≤ <x b và
[ ];
d d
x′∈∆ ⊂ ∆x a b .
• x′ =g0im. Chọn x =g0i+1m thì x′∈∆dx và a≤ <x b , ta có x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b; . Vậy ∆d[ ]a b; là đoạn.
( )ii Khi b=g0izg thì theo mệnh đề 1.4.3.1 ta có a′=min∆ =da g0i+1u′ và 0 1
d i
b′ =max∆ =b g − zg. Lấy x′∈[min∆da max; ∆db]. Khi đó có ba khả năng xảy ra cho x′ như sau:
• x′ =g0i−1w. Chọn x=g0iw thì x′∈∆dx và a≤ <x b, ta có x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b; .
• x′= g m0i ′. Chọn x= g m0i sao cho x′∈∆dx thì a≤ <x b và x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b; .
• x′=g0i+1s′≥ =a′ min∆ =da g0i+1u′ ′(s ≥u′). Chọn x=g0i+1s trong đó x có được từ x′ khi bổ sung thêm tọa độ 1 tại vị trí tọa độ 1 của a bị bỏ đi để có min∆da. Hiển nhiên khi đó a≤ <x b và x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b; .
Vậy ∆d[ ]a b; là đoạn.
Khi a và b không thỏa các điều kiện của mệnh đề 2.2.2, ta có một vài kết quả phức tạp hơn sau đây:
Mệnh đề 2.2.3 Trong B n k( , ) cho a=g0i+1u<g v0i =b và a∗ =g u0 1i . Nếu b≥a∗ thì
[ ];
d a b
∆ là đoạn.
Lấy bất kì x′∈[min∆da max; ∆db]. Theo mệnh đề 1.4.3.1 ta có a′=min∆ =da g0i+1u′ và 0 1
d i
b′ =max∆ =b g − v . Do đó có ba khả năng xảy ra cho x′ như sau:
( )i x′=g0i−1w≤ =b′ max∆ =db g0i−1v w( ≤v). Chọn x=g0iw≤g v0i =b. Hiển nhiên x>a và do đó x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b; .
( )ii x′=g0i+1s′≥ =a′ min∆ =da g0i+1u′ ′(s ≥u′). Chọn x=g0i+1s trong đó x có được từ x′ khi bổ sung thêm tọa độ 1 tại vị trí tọa độ 1 của a bị bỏ đi để có min∆da. Hiển nhiên khi đó a≤ <x b và x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b; .
( )iii x′= g0iw′, có hai trường hợp xảy ra sau đây:
+ Tồn tại x=g0iw≤b và x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b;
thì ta có điều cần chứng minh.
+ Với mọi x=g0iw mà x′∈∆dx thì x>b . Nói riêng
0i 1 0 1i
x=g w′ > ≥b a∗ =g u . Khi đó chọn x=g0i+1w′> g0i+1u=a thì x′∈∆ ⊂ ∆dx d[ ]a b; .
Vậy với mọi x′∈[min∆da max; ∆db] ta luôn có x′∈∆d[ ]a b; hay nói cách khác
[ ]; [ ; ]
d a b min da max db
∆ = ∆ ∆ . Do đó ∆d[ ]a b; là đoạn.
Còn nếu ,a b như mệnh đề 2.2.3 mà b<a∗ thì tồn tại chỉ số j mà 0 1i j 0i 0j
b=g w h<g w m=a∗. Khi đó ta có các kết quả:
Mệnh đề 2.2.4 Cho a b, ∈B n k( , ) mà b=g w h0 1i j <g w m0i 0j =a∗. Khi đó ∆d[ ]a b; là đoạn nếu ω( ) ( )w <r w hoặc ω( ) ( )w =r w và b=g0 1ig ngj với ω( )n =1.
Chứng minh.
Lấy bất kì x′∈[min∆da max; ∆db], ta cần chỉ ra sự tồn tại của x∈[ ]a b; mà x′∈∆dx. Thật vậy:
Trường hợp b= g w h0 1i j với ω( ) ( )w <r w ; gọi t là chỉ số bé nhất mà i< <t j để
t 0
a = . Nếu x′ có các thành phần từ i+1 đến t−1 đều bằng 1 thì ta bổ sung vào x′ tọa độ 1 tại chỉ số t để được x∈[ ]a b; và hiển nhiên x∈∆dx. Và nếu x′ có một thành phần bằng 0 trong khoảng từ i+1 đến t−1 thì ta chọn x bằng cách bổ sung tọa độ 1 trước i
(x= g0i+1w′) thì x∈[ ]a b; và x′∈∆dx.
Trường hợp ω( ) ( )w =r w ; tức at =1 với i< <t j. Khi đó nếu x′ có tọa độ 0 nằm giữa hai chỉ số ;i j thì x=1x′∈[ ]a b; và x′∈∆dx. Còn nếu các tọa độ của x′ nằm giữa hai chỉ số ;i j đều bằng 1 thì bổ sung thêm tọa độ 1 vào x′ tại chỉ số t ứng với tọa độ 1 trong n để có xmong muốn.
Với khả năng a= g u0t < g v0i =b với t> +i 1; xem như là hệ quả trực tiếp của mệnh đề 2.2.2, ta có kết luận sau:
Mệnh đề 2.2.5 Trong B n k( , ) nếu a =g u0t <g v0i =b với t> +i 1 thì ∆d[ ]a b; luôn luôn là đoạn.
Chứng minh.
> + = + ( ≥ ∈ ) ứng minh quy nạp theo
Trường hợp t = +i 2 , chọn c= g0i+1zg và d =g0i+1gz . Khi đó
[ ]; [ ]; [ ];
d a b d a c d d b
∆ = ∆ ∆ và vì [ ]a c; và [ ]d b; thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề 2.2.2 nên ta có ∆d[ ]a c; và ∆d[ ]d b; là các đoạn. Hơn nữa, theo cách chọn này thì rõ ràng ∆d[ ]a c; ∆d[ ]d b; ≠ ∅ do đó ∆d[ ]a b; là đoạn.
Giả sử mệnh đề đúng với t = + −i m 1, ta chứng minh ∆d[ ]a b; là đoạn với t = +i m. Chọn c =g0i+1zg và d =g0i+1gz, khi đó ∆d[ ]a b; = ∆d[ ]a c; ∆d[ ]d b; . Vì ∆d[ ]a c; và
[ ];
d d b
∆ là các đoạn không rời nhau nên ∆d[ ]a b; là đoạn.
Trường hợp b=b b1 2...bn mà b1 =0, có hai khả năng xảy ra cho a=a a1 2...an là a1=0 hay
1 1
a = .
Khi a1=1, chú ý rằng có c=1zg∈[ ]a b; , và vì rằng ∆d[ ]a c; ⊂ ∆d[ ]a b; ⊂ [min∆da zg; ]
nên ∆d[ ]a b; là đoạn nếu ∆d[ ]a c; =[min∆da zg; ] . Và đẳng thức cuối xảy ra nếu
[ ];
d a c
∆ là đoạn, và bởi vì a c, thõa mãn điều kiện là tọa độ đầu bằng 1, vậy nên xem như là hệ quả trực tiếp của các mệnh đề 2.2.1, 2.2.2 và 2.2.5 ta có:
Mệnh đề 2.2.6 Trong B n k( , ) cho a= gu< zv=b. Khi đó ∆d[ ]a b; là đoạn nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
( )i Hoặc a=10 zg
( )ii Hoặc a=g u0i với i≥3.
Khi a1 =0 , khả năng đầu tiên xảy ra là: a=z u1i <z0izv=b . Khi đó tồn tại
[ ]
0 1z ;
c= z g∈ a b với max∆ =c z0 zg . Dễ thấy ∆ [ ]a c; ⊂ ∆ [ ]a b; ⊂
[min∆da max; ∆dc]. Với bất kỳ d′ =z w0i ∈[min∆da max; ∆dc], ta chọn d = z0 1i w thì
[ ];
d d
d′∈∆ ⊂ ∆d a c . Vậy ∆d[ ]a c; là đoạn, do đó ∆d[ ]a b; là đoạn, tức ta có:
Mệnh đề 2.2.7 Trong B n k( , ) cho a=z u1j <z v0i =b với j<i. Khi đó ∆d[ ]a b; là đoạn.
Khả năng xảy ra tiếp theo là a=z u1i <z0igv=b sẽ cho ta kết quả sau:
Mệnh đề 2.2.8 Trong B n k( , ) cho a=z u1i <z0igv=b. Khi đó ∆d[ ]a b; là đoạn nếu hoặc u=0 zg hoặc u =gw.
Chứng minh.
Chọn c= z zg1i ∈[ ]a b; với max∆ =dc zg . Dễ thấy
[ ]; [ ]; [ ; ]
d a c d a b min da max dc
∆ ⊂ ∆ ⊂ ∆ ∆ , vì vậy ∆d[ ]a b; là đoạn nếu
[min∆da max; ∆dc]⊂ ∆d[ ]a c; .
Trước hết, xét trường hợp a=z gw1i : Lấy bất kỳ x′∈[min∆da max; ∆dc]. Có hai khả năng xảy ra cho x′:
• Hoặc tọa độ thứ i của x′ là 1, khi đó ta bổ sung vào x′ tọa độ 1 ở vị trí tọa độ 1 của a được bỏ đi để có min∆da thì dễ thấy x∈[ ]a c; .
• Hoặc tọa độ thứ i của x′ là 0; khi đó ta bổ sung vào x′ tọa độ 1 ở vị trí thứ i (tọa độ 0 được đẩy lên vị trí thứ i+1) để được xthì x∈[ ]a c; . Vậy kết luận đã rõ với giả thiết thứ nhất.
Xét trường hợp a = z1 0 zi g ; với bất kỳ x′∈[min∆da max; ∆dc] cũng xét hai khả năng về tọa độ thứ i của x′ như trên, và ta cũng chọn x∈[ ]a c; tương tự như trên cho từng khả năng đó, và việc chọn tương tự đó là hợp lý.
Trường hợp a=z g0i 0ju<z g0i 0jv=b. Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.2.9 Trong B n k( , ) cho a=z g0i 0ju<z g0i 0jv=b với j> +i 1. Khi đó
[ ];
d a b
∆ là đoạn khi và chỉ khi v=wg với ω( )w =1 và u = gz.
Chứng minh.
Hiển nhiên với ,a b như trên thì ∆d[ ]a b; ⊂[min∆da max; ∆db] với min∆ =da z g0i 0ju′
và max∆ =db z g0i 0j−1v với u′ =min∆da.
Chọn x′ =z g0i 0j−1gz∈[min∆da max; ∆db]. Tồn tại duy nhất x=z g0i 0jgz<b mà x′∈∆dx. Từ điều kiện x≥a buộc a= z g0i 0jgz hay u = gz.
Lại chọn y′ =z g0i 0jzg∈[min∆da max; ∆db] . Khi đó muốn có y∈[ ]a b; mà
y′∈∆dy buộc b=z g0i 0jwg với w chứa chỉ một tọa độ 1 tức ω( )w =1.
Vậy điều kiện nói trong mệnh đề là cần.
Ta chứng minh điều kiện trên cũng là đủ để ∆d[ ]a b; là đoạn. Với 0i 0j z 0i 0j
a=z g g <z g wg =b thì ∆d[ ]a b; ⊂[min∆da max; ∆db] trong đó
0 0 z
d i j
min∆ =a z g g và max∆ =db z g0i 0j−1wg . Lấy bất kỳ x′∈∆d[ ]a b; , khi đó có 2 khả năng xảy ra cho x′:
Hoặc x′=z g0i 0je′∈∆d[ ]a b; thì ta chọn x = z g0i 0je trong đó e có được từ e′
bằng cách bổ sung tọa độ 1 tại vị trí tọa độ 1 của w trong b. Khi đó x′∈∆dx và
[ ];
x∈ a b .
Hoặc x′ =z g0i 0j−1 f ∈∆d[ ]a b; với f ≤wg . Chọn x =z g0i 0j f thì x′∈∆dx và
[ ];
x∈ a b .
Trường hợp a=z g u0 1i j <z g0i 0jv=b. Khi đó ta có:
Mệnh đề 2.2.10 Trong B n k( , ) cho a=z g u0 1i j <z g0i 0jv =bvới j> +i 1. Khi đó
[ ];
d a b
∆ là đoạn nếu v=wg trong đó ω( )w =1.
Chứng minh.
Vì min∆ =da z g u′0 1i j và max∆ =db z g0i 0j−1wg nên có ba khả năng xảy ra cho
[ d ; d ]
x′∈ min∆ a max∆ b như sau:
Hoặc x′=z g e0 1i j ′∈∆d[ ]a b; . Khi đó ta chọn x∈[ ]a b; bằng cách bổ sung vào x′ tọa độ 1 tại vị trí tọa độ 1 của a được bỏ đi để có min∆da.
Hoặc x′=z g0i 0jk′∈∆d[ ]a b; . Khi đó ta chọn x∈[ ]a b; bằng cách bổ sung vào x′ tọa độ 1 tại vị trí tọa độ 1 của w.
Hoặc x′ =z g0i 0j−1f ∈∆d[ ]a b; . Khi đó chọn x=z g0i 0j f thì x′∈∆dx và
[ ];
x∈ a b .
Cuối cùng để kết thúc phần này, ta xét một trường hợp đặc biệt khi a là phần tử bé nhất và b là phần tử lớn nhất trong B n k( ), . Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.2.11 Trong B n k( ), cho a là phần tử bé nhất và b là phần tử lớn nhất. Khi đó, với bất kì x∈B n k( ), , ta luôn có:
( )i ∆d[ ]a x; là đoạn trong B n( −1,k −1) ( )ii ∆d[ ]x b; là đoạn trong B n( −1,k −1).
Chứng minh.
( )i Nếu x có tọa đầu là 0 thì theo mệnh đề 2.2.6 ta có ngay điều cần chứng minh.
Còn nếu x có tọa độ đầu là 1 thì ∆d[ ]a x; ⊂[min∆da max; ∆dx]. Khi đó với bất kì
[ d ; d ]
y′∈ min∆ a max∆ x , ta bổ sung vào y′ tọa độ 1 tại vị trí tọa độ 1 của x bị bỏ đi để có max∆dx. Hiển nhiên y∈[ ]a x; và y′∈∆dy.
( )ii Hiển nhiên trong trường hợp này ta có ∆d[ ]x b; ⊂[min∆dx max; ∆db]. Với bất kì y′∈[min∆dx max; ∆db]. Ta bổ sung vào y′ tọa độ 1 tại vị trí tọa độ 1 của x bị bỏ đi để có min∆dx thì y∈[ ]x b; và y′∈∆dy.