Xem vectơ ngẫu nhiên (X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn hai chiều mà một mẫu ngẫu nhiờn gồm 8 cặp ủược chọn ra như sau:
xi 1 2 3 4 5 6 7 8
yi 5 7 11 17 21 25 29 32 a) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y và cho nhận xét.
b) Hóy kiểm ủịnh giả thiết về sự tương quan giữa X à Y ở mức α =5%. c) Hãy lập hàm hồi quy tuyến tính mẫu và dự đốn nếu X lấy giá trị bằng
20 thì Y nhận giá trị bao nhiêu?
Giải:
a) r . 0,996
( 1)s .s
= − =
−
∑ i i X Y
x y n x y
n . X và Y có quan hệ gần như tuyến tính.
b) Kiểm ủịnh giả thiết
0: 0; 1: 0
H ρ = H ρ ≠ ở mức α =5%
Nếu H0 ủỳng thỡ 22 ( )
T 1 − ~ 2
= n− −
R R t n (n =8 và 1(( 1)).( )
n
i i
i
X Y
X X Y Y
n S S
R =
− −
−
∑
= là hệ số tương quan mẫu)
Với α =5%, gtth =t1( )−6α/ 2=2,4469. Với mẫu cụ thể, ta có r =0,996 và 22 0,996 6 2 27,3
1 1 0,996
t r n r
= − = =
− −
Vì t >gtth nên H0 bị bác bỏ nghĩa là X Y, thật sự tương quan.
c) Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:
0.107 4,107
y= − + x. Từ ủú, nếu X =20 thỡ Y =82,036. 7.2.
Một cơ sở sản xuất ủó ghi lại số tiền ủó chi cho việc nghiờn cứu phỏt triển và lợi nhuận hàng năm của cơ sở trong 6 năm vừa qua như sau: (ủơn vị 106 VNĐ)
Chi nghiên cứu 5 11 4 5 3 2 Lợi nhuận 31 40 30 34 25 20
nhuận.
b) Chi nghiên cứu và lợi nhuận có thực sự tương quan không? (kết luận ở mức ý nghĩa α = 2%).
c) Viết phương trỡnh ủường hồi qui tuyến tớnh mẫu của lợi nhuận theo chi phí nghiên cứu.
Giải:
a) r=0,909
b) Kiểm ủịnh giả thiết
0: 0; 1: 0
H ρ = H ρ ≠ ở mức ý nghĩa α =1%
Nếu H0 ủỳng thỡ BNN 22 ( )
T 1n ~ 2
R −R t n
−
= −
( ) ( )
1 / 2 2 0,99 4 3,7469
gtth t= −α t− =t =
Với mẫu cụ thể ta có 4 2
0,909 4,361
1 0,909
t = =
−
Vì t > gthh nên H0 bị bác bỏ. Nghĩa là X và Y thực sự tương quan.
(kết luận ở mức ý nghĩa α = 2%).
c) Phương trỡnh ủường hồi quy tuyến tớnh mẫu:
2 20
y = x +
7.3.
Đo chiều cao Y (cm) và chiều dài chi dưới X (cm) của một nhóm thanh niờn, người ta thu ủược số liệu sau:
yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172
xi 78 79 80 81 82 83 84 85
(a). Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y.
(b). Ở mức ý nghĩa α = 5%, hãy cho nhận xét về tài liệu cho rằng hệ số tương quan của X và Y là 0,9.
(c). Viết phương trỡnh ủường hồi quy mẫu của Y theo X.
Đáp số:
(a) r = 0,996
(b) Kiểm ủịnh giả thiết H0: ρ = 0,9 ủối với H1: ρ ≠ 0,9.
Trắc nghiệm U 2 ủuụi ủược sử dụng, với
σZ
Với mức α = 5% , gtth =u0,975 =1,96;
với mẫu cụ thể, chúng ta có :
(1 0,996)
12ln 1 0,996 3,106
z +
= − = ,
(1 0,9) 0,9
1 1
2ln 1 0,9 2(8 1) 1,5365; 5
Z + Z
− −
à = + = σ = ,
và Z 3,509
Z
u z − à
= σ =
Vì u >gtth nên ở mức ý nghĩa α = 5%, giả thiết H0 bị bác bỏ, nghĩa là tài liệu khụng ủược chấp nhận (ở mức ý nghĩa α = 5%).
(c) y = 1,768x + 21,857.
7.4. Một giảng viên dạy môn thống kê yêu cầu mỗi sinh viên phải làm một ủồ ỏn phõn tớch dữ liệu và dự kỳ thi hết mụn. Sau ủú, một mẫu gồm 10 sinh viờn ủược chọn ngẫu nhiờn, ủiểm số ủược ghi lại như sau:
Điểm thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84 Điểm ủồ
án 76 71 69 76 87 62 80 75 92 79
(a) Tỡm khoảng tin cậy 95% cho ủiểm thi trung bỡnh của một sinh viờn (giả thiết ủiểm thi của sinh viờn tuõn theo luật phõn phối chuẩn).
(b) Ở mức ý nghĩa 5%, hóy ủỏnh giỏ về sự tương quan tuyến tớnh giữa hai loại ủiểm trờn.
Giải:
(a) Gọi X là ủiểm thi của sinh viờn. Ta cú: x =78,6 s=9,57. Khoảng tin cậy 95% cho ủiểm thi trung bỡnh của một sinh viờn: (x e x e− ; + )
( )9 1
2
. 2,2622.5,97 4,27
10 10
e t= +γ s = =
Khoảng tin cậy cần tìm (74,33; 82,87).
(b) Gọi Y là ủiểm ủồ ỏn của sinh viờn. Đặt ρ =ρX Y, . Chỳng ta phải cú quyết ủịnh giữa hai giả thiết:
H0: ρ = 0 và H1: ρ ≠ 0, Nếu H0 ủỳng thỡ BNN
1− R2
Với mức α = 5% , giá trị tới hạn là: t0,975(8) =2,3060; với mẫu cụ thể, chỳng ta cú hệ số tương quan mẫu: r=0,776. Do ủú:
2
0,776. 8
3, 48 1 (0,776)
t = =
−
Vì |t| >2,306 nên giả thiết H0 bị bác bỏ ở mức ý nghĩa α = 5%. Nói cách khác, chúng ta chấp nhận rằng X và Y tương quan ở mức ý nghĩa 5%.
7.5. Để thực hiện một công trình nghiên cứu về mối quan hệ giữa chiều cao Y(m) và ủường kớnh X(cm) của một loại cõy, người ta quan sỏt trờn một mẫu ngẫu nhiên và có kết quả sau:
xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10 (a). Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y và cho nhận xét.
(b) Viết phương trỡnh ủường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X. Hóy dự bỏo chiều cao của cõy cú ủường kớnh 45 cm.
Giải:
(a) r = 0,939.
Vì r rất gần 1 nên giữa X và Y có hồi qui tuyến tính.
(b) y = 0,166x + 1,041.
Dự bỏo chiều cao của cõy cú ủường kớnh 45 cm là:
y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m 7.6. X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Hãy tính các giá trị trung bình mẫu của X, Y; phương sai mẫu của X, Y và hệ số tương quan mẫu giữa X và Y.
b) Viết phương trình hồi quy mẫu của Y theo X. Từ đĩ dự đốn xem nếu chỉ tiêu X là 9 thì chỉ tiêu Y là bao nhiêu?
Giải:
a) Ta có trung bình mẫu:
Phương sai mẫu:
2 3,44; 2 28, 42
X Y
σ = σ =
Hệ số tương quan mẫu: r =0,66
b) Phương trình hồi quy Y theo X: y=3,86 1.91+ x
Nếu X có giá trị là 9 thì Y sẽ nhận giá trị là 21.
7.7. X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu giữ X và Y. Viết Viết phương trình hồi quy mẫu của Y theo X.
b) Kiểm ủịnh giả thiết xem X và Y cú tương quan khụng ở mức ý nghĩa 5%?
Giải:
a) Giá trị hệ số tương quan mẫu: r=0,66.
Phương trình hồi quy Y theo X: y=3,86 1.91+ x. b) Kiểm ủịnh giả thiết H0:ρ =0; H1:ρ ≠0 ở mức ý nghĩa 5%
Nếu H0 ủỳng thỡ BNN
2 2
T 1n ~ ( 2)
R −R t n
−
= −
Với mức ý nghĩa 5%, gtth t= 0,975( )28 =2,0484 Với mẫu cụ thể ta có
2
2 4,69 1
t r n r
= − =
−
Vì t >gtth nên H0 bị bác bỏ, nghĩa là X và Y tương quan ở mức ý nghĩa 5%.
7.8. X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho chỉ tiêu Y (giả thiết chỉ tiêu Y tuân theo luật phân phối chuẩn).
tiêu X là 9 thì chỉ tiêu Y là bao nhiêu?
Giải:
a) Trung bình mẫu chỉ tiêu Y là: y =15,17;sY =5,33 Khoảng tin cậy 95% cho trung bình chỉ tiêu Y là:(y e y e− ; + )
Với 0,975( )29 5,33
. 2,0452. 1,99 2
30 30
sY
e t= = = ≈
Vậy khoảng tin cậy cần tìm là:
(13,18;17,16)
b) Phương trình hồi quy Y theo X: y=3,86 1.91+ x Nếu X có giá trị là 9 thì Y sẽ nhận giá trị là 21.
7.9. X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, bảng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
Tần số 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Có tài liệu cho rằng trung bình chỉ tiêu X là 6,5%. Hãy cho nhận xét về tài liệu trên ở mức ý nghĩa 5%. Giả thiết các chỉ tiêu X, Y tuân theo luật phân phối chuẩn.
b) Tớnh giỏ trị hệ số tương quan mẫu của X và Y. Viết phương trỡnh ủường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X.
Giải:
a) Kiểm ủịnh giả thiết H0:àX =à0 =6,5; H1:àX ≠à0 ở mức ý nghĩa 5%.
Nếu H0 ủỳng thỡ BNN T X 0 n ~t n( 1)
S à
= − −
Với ở mức ý nghĩa 5%, gtth t= 0,975( )29 =2,0452 Vúi mẫu cụ thể ta tớnh ủược: 5,93 6,5
30 0,908 t 3,44−
= =
Vì t < gtth nên H0 không bị bác bỏ nghĩa là ta chấp nhận tài liêu trên ở
mức ý nghĩa 5%.
b) Giá trị hệ số tương quan mẫu: r=0,66. Phương trình hồi quy Y theo X: y=3,86 1.91+ x.
một vụ; Y(kg/1000m2) là năng suất lỳa. Thống kờ ở 30 hộ gia ủỡnh, kết quả như sau:
Số hộ 3 5 2 6 4 3 5 2
xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi 270 280 280 290 300 300 310 320
a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y. Viết phương trình hồi quy mẫu Y theo X.
b) Kiểm ủịnh giả thiết cho rằng hệ số tương quan của X và Y bằng 0,9 ở mức ý nghĩa α = 5%.
Giải:
a) Giá trị hệ số tương quan mẫu: r=0,891. Phương trỡnh ủường hồi quy mẫu: Y =210,15 1,64+ X . b) Kiểm ủịnh giả thiết H0:ρ =ρ0 =0,9; H1:ρ ≠ρ0 ở mức ý nghĩa α = 5%.
Trắc nghiệm U 2 ủuụi ủược sử dụng, với
~ (0,1)
Z Z
U Z − à N
= σ .
Với mức α = 5% , gtth =u0,975 =1,96;
Với mẫu cụ thể, ta có
1 2
1 0,891
ln 1,427
1 0,891
+
= = =
−
z z
(1 0,9) 0,9
1 1
2ln 1 0,9 2(30 1) 1,488; 27
Z + Z
− −
à = + = σ =
0,317
− à
= σ Z =
Z
u z
Vỡ | |u < gtth nờn H0 ủược chấp nhận nghĩa là giả thiết hệ số tương quan của X và
Y bằng 0,9 là ủỳng ở mức ý nghĩa α = 5%.
7.11. Để nghiên cứu sự tương quan giữa chiều cao X (cm) và sức nặngY (kg) con người, quan sát trên một mẫu ngẫu nhiên, người ta có kất quả sau:
yk xi
[40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, 65)
[140, 145) [145, 150) [150, 155) [155, 160) [160, 165)
1 4
2 6 1
10 8 2
8 6 3
1 1
(a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất cho các giá trị của X, Y. (b) Tớnh cỏc giỏ trị trung bỡnh mẫu, ủộ lệch chuẩn mẫu và hệ số tương quan mẫu của X và Y. Viết phương trỡnh ủường thẳng hồi quy tuyến tớnh mẫu của Y
theo X. Giải: a) Bảng tần số, tần suất của X và Y: Biến X Biến Y Lớp Tần số Tần suất Lớp Tần số Tần suất [140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019 [145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113 [150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453 [155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302 [160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113 b) x =152,69;y =54,23;sX =5,14;sY =4,41 0,6544
r = Phương trình hồi quy: 31,59 0,56
y = − + x 7.12. Để nghiên cứu sự tương quan giữa chiều cao X (cm) và sức nặngY (kg) con người, quan sát trên một mẫu ngẫu nhiên, người ta có kất quả sau: yk xi
[40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, 65)