CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
2.1. Các bài toán về chứng minh tính vuông góc
2.1.1. Kiến thức cơ bản cần biết a. Tiêu chuẩn vuông góc
+ Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông góc với hai đường thẳng giao nhau của (P).
+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi hai mặt phẳng đó bằng 900.
b. Các định lý về tính vuông góc
b a d
P
127
d' d
P
R
Q P
a
Q P
+ Định lý ba đường vuông góc: Giả sử d P và d không vuông góc (P), P , d’
là hình chiếu của d lên (P). Khi đó d d'
+ Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ( )P ( )Q . Nếu ( ),
a P a thì a( )Q
+ Nếu P thì Δ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P).
+ Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó ( )P ( )Q thì R
+ Nếu a( )Q và P athì P Q
2.1.2. Các dạng toán thường gặp
* Chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:
- Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng 900. - Cách 2: Ta chứng minh a//c mà cb.
- Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương .u v 0 .
- Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp() chứa đường thẳng b. (hay dùng) - Cách 5: Sử dụng định lí ba đường vuông góc
* Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp():
- Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong ().
- Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với ().
- Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.
- Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mp kia.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
- Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường nào đây ta??)
- Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 900. Ví dụ 1. (ĐH Khối A năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AMBP.
Lời giải
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD
128
P N M
E
H
D
C B
A S
a 2 a
I
M D
B C
A S
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có 900
CBPDCH CBPHCB BPCH (2) Từ (1) và (2) suy ra: BPSHC (3) Do HC // AN, MN // SC SHC / / MAN (4)
Từ (3) và (4) suy ra: BPMAN AM BP (đpcm)
Ví dụ 2. (ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh
MN BD. Lời giải
Ta có SEAD là hình bình hành SE/ /DA và SE = DA
SEBC cũng là hình bình hành SC/ /EB
Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC ta có MP // EB, PN // AC.
Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1)
Ta có DB AC và BDSH do SH(ABCD) BDSAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DBMNP BDMN (đpcm) Ví dụ 3. (ĐH Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và SA(ABCD). Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh (SAC)(SMB).
Lời giải
Giả sử I là giao điểm của AC và MB Ta có MA = MD và AD // BC
nên theo định lý Talet suy ra 1 AI 2IC
2
2 2 2 2 2 1 2
3 ,
9 3
AC AD DC a AI AC a
2 2
2 1 2 1 2 2
9 9 2 6
a a
MI MB a
Từ đó suy ra
2 2 2
2 2 2 2
3 6 2
a a a
AI MI MA
Vậy AMI là tam giác vuông tại I MB AC (1) Mặt khác SA(ABCD)SAMB (2)
H
M
N P
A
C B
D S
129
Từ (1), (2) suy ra MB(SAC)(SMB) (SAC) đpcm Bài tập tự luyện.
Bài 1. (ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó ABC BAD90 ,0 BA BCa AD, 2a. Giả sử SAa 2,SA(ABCD). Chứng minh SCSD.
Bài 2. (Cao đẳng khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, với
90 ,0 ( )
ABCBAD SA ABCD , BA = BC = a, AD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật.
Bài 3. (Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a.Cạnh bên bằnga 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD, DC.Chứng minh rằng
MN SP.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC trong đó đáy ABC là tam giác vuông tại C, hai mặt bên (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB. Chứng minh (SAB) (ADE).
Bài 5. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Đoạn SA cố định vuông góc với (P) tại A, M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD. Đặt BM = u, DN = v.
Chứng minh rằng a(u + v) = a2 u2 là điều kiện cần và đủ để (SAM) (SMN).
Bài 6. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai nửa đường thăng Bx và Dy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), M và N là hai điểm di động tương ứng trên Bx, Dy.
Đặt BM = u, DN = v.
a. Tìm mối liên hệ giữa u, v để (MAC) (NAC)
b. Giả sử ta có điều kiện ở câu 1, chứng minh (AMN) (CMN). Đáp số: a. (MAC) (NAC) 2uv = a
Bài 7. (ĐH khối A năm 2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M là trung điểm của CC’. Xác định tỷ số a
b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 8. Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) vuông góc với nhau.
Bài 10. (ĐH Khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh MPC N' .