Trong mat ph3ng (BCC'B'), gpi:
H = E M n B ' C '
Suy ra A' va H la hai diem chung ciia (A'MG) voi (A'B'C).
Ketlugn ( A ' M G ) n ( A ' B ' C ' ) = A ' H .
T98
Cho hinh hpp ABCD.A'B'C'D'. Gpi M la trung diem ciia canh AB. Tim thiet di^n tao boi mat phlng (P) song song voi (AB'D') va di qua M cJt hinh hop.
L O I GIAI
Vi m l t phing (P) song song voi mp(AB'D') suy ra m§t phing (P) song song voi mpi duong thupc mat phang (AB'D').
M la diem chung ciia (P) va (ABCD), c6 (P) //BD // B'D', suy ra giao tuye'n qua M va song song voi BD. Giao tuye'n nay cat A D tai E.
E la diem chung ciia (P) va H H..; , , ^ r . f< , ( A D D ' A ' ) , c 6 ( P ) / / A D ' .
Giao tuye'n qua E va song song voi AD', •^l ^ / Giao tuyen nay cat D D ' tai F.
M la diem chung ciia (P) va g, (ABB'A'), CO (P) // AB', suy ra giao tuyen qua M va song song voi AB'.
Giao tuye'n nay cat BB' tai H . , v Trong mat phang (ABBA'), gpi:
K = M H n A ' B ' (1)
Trong mat phang ( A D D A ' ) , gpi:
I = E F n A ' D ' (2)
T u ( l ) v a ( 2 ) s u y ra KI = ( P ) n ( A ' B ' C ' D ' ) . • '
Trong mat (A'B'C'D') gpi P = K I n B ' C ' , N = K I n C ' D ' :
Thiet di$n can tim la luc giac M E F N P H . . fit r ,
Cho hinh lang tru tam giac ACB.A'B'C. Gpi H la trung diem ciia A'B'.
a) Tim giao tuye'n ciia hai mp(AB'C') va (ABC). - -:
b) Chiing minh rMng CB' // ( A H C )
LOI GIAI a) Ta CO A la diem chung ciia (AB'C) va (ABC).
B ' C // BC . ,{,,{f,iT (ôOA,\o V 0:> fcM:;
Ma B ' C c ( A B ' C ) y-^M-^
B C c ( A B C )
= > ( A B ' C ) n ( A B C ) = A x ( A x // B ' C // BC) b) Ta CO tu giac A A ' C ' C la hinh binh hanh.
Suy ra A ' C cit A C tai trung diem I ciia moi duong.
Do do I H // CB' (IH la duong trung binh ciia ACB'A').
99
M a t khac I H c ( A H C ) nen CB' // ( A H C ) .
Cho h i n h lang t r u tarn giac A B C A ' B ' C . Goi H la t r u n g diem ciia canh A'B'.
a) C M R d u o n g t h i n g CB' song song v d i m p ( A H C ' ) .
b) T i m giao tuyen d cua hai mat phang ( A B ' C ) va (A'BC). C h u n g m i n h r i n g d song song v d i mp(BB'C'C).
c) Xac dinh thiet dien ciia hinh lang try A B C A ' B ' C khi cat boi mat p h i n g (H, d).
L O I G I A I a) Gpi I la tarn ciia h i n h binh hanh A A ' C C
Co H I la d u o n g t r u n g binh cua tarn giac A'B'C, nen CB' // H I .
M a t khac HI nam trong mat p h i n g ( A H C ) . A • ^ Vay C B ' / / m p ( A H C ) , ,
b) Goi J la tam ciia h i n h binh hanh AA'B'B.
R6 rang I, J la la hai diem chung ciia hai mat p h i n g (AB'C) va ( A B C ) .
Vay giao tuyen d cua chiing la d u o n g thang IJ.
Ta CO IJ la d u o n g trung binh cua tam giac A ' B C
= > d / / B C , ma B C c (BCC'B') ^ d//(BB'C'C).
c) Trong mp(ABB'A') goi E = A B n HJ .
Co E la diem chung cua hai mat p h i n g (H,d) va (ABC), nen giao tuyen cua chiing qua E va song song v d i BC // d, giao tuyen nay cat A C tai K.
K I la giao tuyen ciia (H,d) va ( A C C A ' ) , K I c i t A ' C tai L.
Ket luan thiet dien can t i m la hinh binh hanh H E K L . V i de dang chimg m i n h E, K, L Ian luot trung diem ciia AB, AC, A ' C .
Cho h i n h hop ABCD.A'B'C'D'. Goi Q, R, Ian lu(?t la tam cac mat (BCC'B'), ( C D D ' C ) .
a) . C h u n g m i n h RQ//(ABCD).
b) . Xac d j n h thiet dien cua hinh hop khi cat boi (AQR).
c) . Gpi M la giao diein cua C C vdi (AQR). T i n h ti so M C / M C . '-^!
L O I G I A I
a) . C h u n g m i n h RQ//(ABCD). | f V i QR la d u o n g t r u n g binh ciia tam giac C B D , nen QR // BD . Do BD c (ABCD) nen RQ // (ABCD).
b) Xac d i n h thiet dien ciia hinh hop khi c i t boi (AQR).
A la d i e m chung ciia mat phang (AQR) va mat day (ABCD).
dA)<.-.
,!(t;c hi. (fJ
100
Qua A ke d u d n g thang d song song v d i BD t h i : d = ( A Q R ) A B C D ) .
Giao tuyen d cat d u d n g thang BC tai diem I . I va Q la hai d i e m chung ciia hai mat p h i n g (AQR) va (BCC'B) nen:
( A Q R ) n ( B C C B ' ) = I Q , giao tuyen IQ c i t BB' tai J va c i t C C tai M .
M R la giao tuyen ciia hai m p (AQR) va (CDD'C). / •
Gpi L la giao d i e m ciia M R va D D ' . , :^ . , Ket luan thiet dien can t i m la hinh binh hanh A J M L .
( A Q R ) n ( A D D ' A ' ) = A L , ;.
V i : i( A Q R ) n ( B C C ' B ' ) = JM = ^ A L / / J M ; ,,i . '
( A D D ' A ' ) / / ( B C C ' B ' ) '
• ( A Q R ) n ( A B B ' A ' ) = AJ ^^"^'^^'^^ (Mt^)gairfu •^J.DI':
( A Q R ) n ( C D D ' C ) = L M => AJ // L M . \' T " P 'V-^
( A D D ' A ' ) / / ( B C C ' B )
c) Trong mat phang day (ABCD) cd A I // BD va A D // IB, nen t i i giac A D B I la hinh b i n h hanh. fq f r , ; i .1
1 (1) i d : : BI la d u d n g t r u n g b i n h ciia tam giac I C M cd: BJ = — C M
D u n g Q E / / B J ( E € B C ) , trong AIQE cd: § = ^ = f =^ = f (2)
Q E la d u d n g t r u n g b i n h ciia A B C C Q E = ^ C C
T u (1), (2) va (3), ta cd: icM = | . i c C ' o C M = |cC' =^
(3) i ) - M C 1 ,
Cho h i n h lang t r y tam giac A B C A ' B ' C , goi I , J, K Ian l u g t la tam cua hinh b i n h hanh A C C A ' , BCC'B', A B B A ' .
a) C h u n g m i n h :IJ // (ABB'A'), JK // ( A C C A ' ) , I K // (BCC'B'), m p (IJK) song song v d i mat day ciia lang try.
b) Ba d u d n g t h i n g AJ, CK, BI dong qui tai diem O.
c) Goi G, G' la trpng tam cua tam giac ABC va A ' B ' C . C h u n g m i n h G, O, G' thang hang.
L O I G I A I A a) . K I la duong trung binh ciia AA'BC K I // B C .
Suy ra K I // (BCC'B').
IJ la duong trung binh cua tarn giac C A B , suy ra IJ // A B . Suy ra IJ // (ABB'A').
KJ la duong trung binh ciia tarn giac B ' ^ C , suy ra K J / / A C . Suy ra K J / / ( A C C ' A ' ) .
Suy ra (IJK) // (ABC) vi (ABC) // (A'B'C) nen (IJK)//(A'B'C).
b) Chung minh ba duong thang AJ, C K , BI dong qui tai diem O . Trong mat phSng ( C A B ) c6 AJ va BI la hai duong trung tuyeh.
G Q i O = A J n B I . . \ 2 'fV-^'ô;M.Vi :iVf Suy ra O la trong tarn cua tarn giac ( C A B ) c6 BO = - BI (1) ' '
3 , ••, Trong mat phJing (A'BC) c6 BI va C K la hai duong trung tuyeh. v i G 9 i O ' = B I n C K . , • ^ ^ - ^ ^ ^ 1
Suy r a O ' l a trong tarn cua tarn giac (A'BC) CO B O ' = - B I ằ v > ^ y (2) 3
Tir (1) va (2) suy ra O va O' trung nhau. vnT {:
Ket luan ba duong th^ng A J , B I , C K dong qui t^i diem O . -n^'^
c) . Chung minh G , O , G' thSng hang.
G(?i E, E' Ian lup-t la trung diem cua B C va B ' C .
Suy ra E E ' la duong trung binh cua hinh binh hanh BCC'B' nen BB' // E E ' Ma BB' // A A ' A A ' // E E ' A E E ' A ' la hinh binh hanh.
Vi G , G ' Ian lu<?t la trong tam ciia hai A A B C va A A ' B ' C . ' i l gnowt* f.| 3Q (3)
ft Trong A A E I c o : — = — = ^ G O / / E J A J A E 3
Ta CO ba diem E, J, E' thiing hang.
T u (3) va (4) suy ra ba diem G, O, G ' thSng hang.
(4)
,>j Hip ii^'
^ trT
luii'j (ft
Cho hinh hop ABCD.A'B'C'D', goi O' la tam hinh binh hanh A'B'C'D', K la trung diem cua C D , E la trung diem cua BO'. Chung minh E thuoc ( A C B ) . Xac dinh thiet dien cuo hinh hop khi cat boi mat phang (P) qua K va song song voi (EAC).
LOI G l A l Goi O la tam cua hinh binh h.inh ABCD.
Ta CO BOO'B' la hinh binh h.inh, nen hni duong cheo BO' va B'O nhnu tcii
trung diem moi duong. ,i;
Suy ra E trung diem cua B'O. Ma B'O n^m trong mat phang (ACB') suv ra E thuoc (ACB').
Ta c6: mp (ACB') cung in mp (ACE).
Vi mat phang (P) song song voi mat ph^ng (ACB') nen mat phang (P) song
song voi mpi duong thuoc mat phang . - .J^AI.K.^
(ACB').
Trong m p ( A B C D ) c6: K la diem chung va A C //'(P) nen giao tuyeh cua chung qua K va song song vcSi A C . Giao tuyeh nay cat AB, A D , BC Ian lugt
t a i F , M , N . ..iauu F la diem chung cua hai mat phang (ABB'A') va mat ph3ng (P), c6 AB' // (P).
Nen giao tuyeh cua chi'ing qua F va song song voi AB', giao tuyeh nay cat AA', A'B' Ian lugt tai P \'a Q.
Giao tuyeh cua (P) va mp(A'B'CD') qua Q va song song voi A ' C , giao tuyeh nay ck B ' C tai R.
Giao tuyeh cua (P) va mp(BCCB') qua R va song .song voi B'C, giao tuyeh nay cat C C tai S. ' ' '
Ket luan: thiet dien c<in tim la luc giac KMPQRS. Luc giac c6 tinh chat cac cap canh doi song song.
Cho hinh lang try A B C . A ' B ' C , tren canh BA keo dai ve phia A ta lay diem M sao cho A B = 2AM.
Xac djnh thiet dien cua hinh lang try tao voi (P) qua M va B' va trung diem E cua A C .
Tim giao diem D ciia B C voi (MB'E). Tinh ti so D B / D C . LOI GIAI
in:?
M , E la hai diem chung cua ( M E B ' ) va ( A B C )
=> ( M E B ' ) n ( A B C ) = M E .
G<?i D la giao diem cua M E va B C Suy ra ( M E B ' ) n ( B C C ' B ' ) = D B ' . M , B ' la hai diem chung cua ( M E B ' ) va ( A B B ' A ' ) = > ( M E B ' ) n ( A B B ' A ' ) = M B ' . Gpi N la giao diem cua A A ' vol M B ' . ., Suy ra thiet dien ciia hinh lang tru A B C . A ' B ' C voi mat ph^ng ( M E B ' ) la tu giac E D B ' N .
Trong mat phSng day ( A B C ) ke E F // B C ( F e A B ) . E F la duong trung hinh ciia tam giac A B C c6 E F = - B C
J u i {'ii'DA) qm :o:i BT 0 )
M = E F ^ 2 ^ E F = i B D
MB BD 3 3 Trong AMBD c6
T u (1) va (2) c6: - B D = - B C <:>BD = - B C =:> — = 3 3 2 4 D C
(2)
Cho hinh lang try A B C . A ' B ' C . Goi I, J, K Ian lugt la trong tam ciia tam A B C A C C , A ' B ' C . Chung minh" (IJK) // (BCC'B') va (A'JK) // (AIB').
L O I G I A I ~ Gpi E , E ' Ian lugt la trung diem ciia B C va B ' C . " ' ^ . '
Suy ra E E ' la duong trung binh ciia hinh binh hanh BCC'B' nen BB' // E E ' . Ma BB • // A A ' =^ A A ' // E E • • .^iip. -f ,
=^ A E E ' A ' la hinh binh hanh . f i A Trong hinh binh hanh A E E ' A ' c6:
A ' K A ' E '
giac
. I K / / E E ' A I A E
Ggi M trung diem ciia A C . Trong A M B C c6: -
(1)
2 3 M B M C
T u (1) va (2) suy ra ( I J K ) / / ( B C C ' B ' ) . Mat phMng ( A ' C E ' ) cung la mat phSng ( A ' J K ) . Mat phSng ( A E B ' ) cung la mat ph^ng ( A I B ' ) .
• I J // B C
Trong m p ( B C C B ' ) c6 E B ' // C E ' .
Vi A E E ' A ' la hinh binh hanh A ' E ' // A E . Tir (3) va (4) suy ra ( A ' J K ) // ( A I B ' ) .
(4) ftJ ":OA \ JBA --.'.^
Cho hinh lang try tam giac A B C . A ' B ' C . Ggi M, M ' Ian lugt la trung diem
cua cac canh BC, B ' C . ^ a) Chung minh A M song song voi A'M'.
b) Tim giao diem ciia duong thang A ' M va mat phang ( A B ' C ) . c) Tim giao tuyen d ciia hai mat phang ( A B ' C ) va ( B A ' C ) .
d) Tim giao diem G cua duong thang ciia duong thang d voi mat phang (AM'M). C h u n g minh G la trong tam ciia tam giac A B ' C .
L O I G I A I a) V i M M ' la duong trung binh cua hinh
binh hanh BCC'B' nen M M ' - B B ' .
Ma BB' = A A ' . Tir do suy ra: M M ' = A A ' . V|y: A M M ' A ' la hinh binh hanh A M // A ' M ' b) . Tim giao diem ciia duong thang A'M
va mat phang ( A B ' C ) .
Trong mat ph5ng (AMM'A'), ggi: K = A ' M n A M ' ^ K e A ' M
Co: K € A M ' , A M ' c ( A B ' C ' ) K = A ' M n ( A B ' C ' ) . c) Tim giao tuyen d ciia hai mat phang ( A B ' C ) va ( B A ' C ) .
Trong mat phang (ABB'A'), ggi: I = B A ' n A B ' .
/• j6t xmoh us
..'A'aaA. a:>
Co: P^^'^^'^l^^'^'l ^ I e ( B A ' C ) n ( A B ' C ' ) " > l. > ^ P / ô V - I e AB', A B ' c ( A B ' C ) ^^.o . arxuô;:(t) &v IVyu Va C e ( B A ' C ' ) n ( A B ' C ) . -'i-ifvi^u ,v\A ^rc./'
Vay giao tuyen d ciia hai mat phang ( A B ' C ) va ( B A ' C ) la I C . .-- ' ' ' Trong mat phSng ( A B ' C ) ggi G = C ' I n A M '
C o G e C ' I
• G - C ' I n ( A M M ' ) .
G € A M ' , A M ' c ( A M M ' ) ^ ^ • ~^
G la giao diem ciia hai duong trung tuyen C I va A M ' ciia tam giac A B ' C . Vay: G la trgng tam ciia tam giac A B ' C .
Cho hinh lang try ABC.A'B'C c6 day la tam giac deu canh a. Cac m|t ben ABB'A', ACC'A' la hinh vuong c6 tam Ian lugt la I va J. Goi O la tam duong tron tam giac ABC. ,,. ,
a) Chung minh IJ song song voi mat phang (ABC).
b) Xac djnh thiet dien ciia lang tru vai mat phSng (IJO). Tinh dien tich thiet dien do theo a.
LOl GIAI a) Chung minh IJ song song voi mat phang ( A B C ) .
Ta CO IJ la duong trung binh cua tam giac A'BC nen IJ//BC.
Ma BC c ( A B C ) . Suy ra IJ || ( A B C ) . ' '
b) Xac djnh thiet di^n cua lang tru voi mat ph^ng(IJO).
O la diem chung cua hai mat phang
(IJO) va ( A B C ) , nen giao tuyeh cua A
chiing di qua O va song song voi BC, giao tuyeh nay cat A B , A C Ian luot tai , H vaK.
HI la giao tuyeh cua (IJO) voi ( A B B ' A ' ) , gpi M = H I n A ' B ' . . ^ T^^i;< ^^aa#
' KJ la giao tuyeh cua (IJO) voi ( A C C ' A ' ) , goi L = KJ n A ' C ' .
Tu do suy ra ML la giao tuyeh cua (IJO) va (A'B'C), vi IJ // B'C suy ra ML //
B'C'//IJ.
Ket luan thiet dien can tim la hinh thang HKLM ( vi HK // L M // BC ) (1) ' Ta CO A B B ' A ' , A C C ' A ' la hinh vuong va A H = A K , A ' M = A'L.
Suy ra M H = LK (2) r ^ ' AHV ?'<-- ^
: Tu (1) va (2) suy ra: HKLM la hinh thang can Trong AABC c6 HK // BC nen:
A B BC 3 3
IJ la duong trung binh cua HKLM, c6:
_ HK + L M
A' a/3 2a/3
=> L M = 2 I J - H K = B C - H K = a - Ve lai mat ben ABB'A' nhu hinh 2.
2a
a J :.
a a/3 \
B'
£ Hiiih 2
Taco: M H = V M E ^ . E H ^ = ^'7^ = ^ • Ve l?i thiet dien nhu hinh 3. • ' Tac6 2HI = H K - M L = ^ - ^ = ^ ^Hl = ^.
IN/39 Va M I = V M H ^ - H I ^ = 10.a2 a^
9 36
Di#n tich hinh thang can H K L M :
W L M 4 { H K1 + L M ) . M I = -^2a a^ a^f39 a^%/39
3 ^ 3 12
Cho hinh lang tru ABC.A'B'C
a) Tim giao tuyeh ciia hai mat phang (AB'C) va (BA'C).
b) Gpi M, N lain lugt la hai die'm bat ky tren AA' va BC. Tim giao diem ciia B'C voi mat phang (AA'N) va giao diem cua M N voi (AB'C).
LOI GIAI
a) Tim giao tuyeh cua hai mat phang (AB'C) va (BA'C) /,.
C la diem chung thu nha't cua hai mat phang (AB'C) va (BA'C). \ /
Trong mat ph3ng (ABB'A') goi G la giao diem cua AB' va BA'. Suy ra G la diem chung thu hai ciia hai mat phang (AB'C) va (BA'C). ^ j^j.^,, ,
Ket luan (AB'C')n(BA'C') = G C . ^4,^^ ^ A- a b) Tim giao diem ciia B'C voi mat phang
( A A ' N ) va giao diem ciia M N voi (AB'C). M ,
Chpn mat phSng (BCCB') dura B'C.
• N 6 ( A A ' N ) n ( l ^ C C ' B ' ) Taco: J A A ' // BB'
A A ' c ( A A ' N ) , B B ' c ( B C C B ' )
> ( A A ' N ) n ( B C C B ' ) = Nx(Nx// A A ' // B B ' ) .
Goi J = N x n B ' C ' => J = B ' C ' O ( A A ' N ) . J , ^ , ,
Chpn mat phjng (ANJA') chi'ra M N . ; ,, O.urtfi.' > ' a / 1 1 ' Tim giao tuyeh ciia mat phang (ANJA') va (AB'C).
Taco: A e (ANJA') n (AB'C) (1)
l j € B ' C ' c ( A B C ) > y ' ) ^ f (2)
T i r ( l ) v a ( 2 ) s u y ra AJ = ( A N J A ' ) n ( A B ' C * ) . ^f<--ằ^'f'Jiri; 'VV T r o n g m p ( A N J A ' ) g o i K = M N n A J : ^ K = M N n ( A B ' C ) . — ' Cho hinh lang try tarn giac ABC.A'B'C'. Goi M , M ' Ian l u g t la trung diem ciia cac c^nh BC, B'C.
a) C h u n g m i n h A M song song vol A ' M ' .
b) T i m giao diem cua d u o n g thang A ' M va mat phang ( A B ' C ) . ' "'''P c) T i m giao tuyen d ciia hai mat phang (AB'C) va ( B A ' C ) . ' ? d) T i m giao diem G ciia d u o n g thang d v o i mat phang ( A M ' M ) . C h i i n g m i n h G la trpng tam cua tarn giac A B ' C .
L O I G I A I a) V i M M ' la d u o n g trung binh ciia hinh
binh hanh BCC'B' nen M M ' ^ B B ' , ma BB' = A A ' tit do suy ra M M ' = A A ' , vay A M M ' A ' la hinh binh hanh, suy ra
A M // A ' M ' ; ' - ' ; ) {J'.t^A} u i&rk: jf>m tBii f,u b) T i m giao diem ciia d u o n g thang A ' M *
va mat phang ( A B ' C ) .
Trong mat phang ( A M M ' A ' ) , goi: K = A ' M n A M ' * K e A ' M
, , = > K = A ' M n ( A B ' C ' ) .
| K e A M ' , A M ' c ( A B ' C ) ^ ' c) . T i m giao tuyen d cua hai mat phang (AB'C) va ( B A ' C ) .
Trong mat phSng ( A B B ' A ) goi I = BA ' n A B ' l € B A ' , B A ' c ( B A ' C ' )
l 6 A B' , A B ' c ( A B C ' )
V a C ' € ( B A ' C ' ) n ( A B ' C ' ) \ . ,
Vay giao tuyen d ciia hai mat phang (AB'C) va (BA'C) la I C . d) Trong mat ph3ng (AB'C) goi G = C ' I n A M '
[ G e C ' I Co:
1. " I "
Co: • l 6 ( B A ' C ' ) n ( A B ' C ' )
Co: ^
G € A M ' , A M ' C ( A M M ' ) =i.G = C ' I n ( A M M ' ) .
. i J is I '
G la giao d i e m ciia hai d u o n g trung tuyen C I va A M ' ciia tam giac A B ' C . V$y G la trpng tam ciia tam giac A B ' C .
Cho hinh hpp ABCD.A'B'C'D'. Goi M , N Ian l u g t la trung diem ciia hai canh ben A A ' va C C . M o t diem P nam tren canh ben D D ' .
a) Xac d j n h giao diem Q ciia d u o n g thang BB' v o i mat phang ( M N P ) . b) M a t phang ( M N P ) cat hinh hgp theo mgt thiet di^n. Thiet di^n do c6 tinh
c) T i m giao tuyen ciia mat phang (MNP) voi mat phJtng (ABCD) ciia hinh hop.
, r , L O I G I A I
a) Xac d j n h giao d i e m Q cua d u o n g thang BB' voi mat phMng ( M N P ) . Gpi O va O' Ian iupt la tam cua hai day (ABCD) va (A'B'C'D').
Suy ra: 0 0 ' = { B D D ' B ' ) o ( A C C ' A ' ) . Gpi I = M N n O O ' ( M N , 0 0 ' c ( A C C ' A ' ) ) .
l € M N , M N c ( M N P ) I G O O ' , 0 0 ' C ( B D D ' B ' )
= > I e ( M N P ) n ( B D D B ' ) (1) P e ( M N P )
P € D D ' , D D ' c ( B D D ' B ' )
• P G( M N P ) n ( B D D ' B ' ) . Taco:
Ta c6: •
Tir (1) va ( 2 ) suy ra: ( M N P ) n ( B D D ' B ' ) = PI . • f i r . b , ! ô ! . Gpi Q = P I n B B " = > Q = B B ' n ( M N P ) . ' • ' ằ^ ^^^^^^r{^^^^^H,k)%^^^^:.m^.••
b) Mat phang ( M N P ) cat hinh hop theo mot thiet dien la tir giac M N P Q .
kN P va Q M la giao tuyC-n i ua mat phang ( M N P ) voi hai mat phclng song song v o i nhau la ( A B B A ) va ( C D D C ) . Nen suy ra N P // Q M (3) Ly luan t u o n g t u thi M P // Q N (4) ... ,t>./ v
Tir (3) va (4) suy ra: Thiet dien M N P Q la hinh binh hanh. T.,, : • c) T i m giao tuye'n ciia mat phang ( M N P ) vol mat phcing ( A B C D ) ^f,.,,^
Trong mat phSng ben ( C D D ' C ) gpi E = C D n NP .
Vi M N la d u o n g trung binh cua hinh binh hanh A C C A ' , suy ra M N // A C . Tir do suy ra giao tuyen cua hai mat phang ( M N P ) va mat phang ( A B C D ) qua E va song song voi M N / / A C . , j „ ^ j ••(-•i!' i r -nr
109
Cho h i n h lang t r u tam giac ABC.A'B'C. Gpi G, G' Ian l u p t la trpng tam cua ABC va A ' B ' C . M o t mat phcing P cSt cac canh AA', BB', C C , GG' Ian lupt t^i A i , B i , C i , G , . C h u n g m i n h . . a) GG' song song va bang canh ben ciia lang tru. -^-^ & ' ' A A .>
b) Gi la trpng tam cua AA|B,C,. ' . r
c) G i G ' = - ( A , A ' + B , B ' + C | C ' ) ; G , G = ^ ( A , A + B,B + C , C ) . v,^,,,(
L O I G I A I a) G G ' s o n g song va bang canh ben cua lang t r u .
Gpi M va M ' theo t h u tir la trung diem ciia BC va B'C. N e n M M ' la d u o n g t r u n g b i n h cua hinh binh hanh BCC'B'. ' •' - "
Suy ra: M M ' / / B B ' / / C C • , v a M M ' = BB' = CC' (1) V i A B C . A ' B ' C la hinh lang tru nen:
,:M A A ' / / B B ' v a A A ' = BB' (2) T u (1) va (2) suy ra:
A M M ' A ' la hinh binh hanh va c6:
A C A ' G ' 2 , , , ,
TU = = r (tm h i-^'i'it trpng tam A M A M 3
N e n GG' // A A ' va GG' = AA'.
b) Gpi M , = M M ' n B , C | { M M ' , B , C , c ( B C C ' B ' ) ) .
T i n h chat hinh binh hanh thi M i la trung diem cua BiCi (3) (f) liT T a c 6 : A i M j = ( A , B , C , ) n ( A A ' M ' M ) . c ' a j i n N ^ ^ 0 i^.O Gi chinh la giao diem cua A i M i voi GG'. ryS^i f^--,,••; ;,:^/!,
A G _ A , G , 2 V i M M i // GGi // A A i suy ra ' 3
A M A , M , (4)
Tir (3) va (4) suy ra: Gi la trpng tam ciia tam giac A A j B , C , . ' ,• J c) Gpi N , N ' Ian l u o t t r u n g diem cua A G va A'G'. \ằv ' • v-' 'J
De Chung m i n h dupe NN'//GG'//AA' ' " J " ' Gpi N i la giao diem ciia N N ' va A i G i suy ra N i trung diem cua A i G i . '•^
Ta c6: G i G ' la d u o n g t r u n g binh ciia hinh thang M i M ' N ' N i ; ''^
N i N ' la d u o n g t r u n g binh cua hinh thang A i A ' G ' G i ; • '''^ ^'' M i M ' la d u o n g t r u n g binh cua hinh thang BiB'C'Ci. ' ^ ^
110
N e n : G i G ' = i ( M , M ' + N , N ' ) (1) N i N ' = ^ ( A , A ' + G i G ' ) (2)
(O ' , - : } r . \ : .
M , M' 4( B , B ' . q C ) (3) , ' V . '
T u ( l ) v a ( 2 ) : G , G ' = 1A, A ' , f M , M ' (4) '"'^'^ •'>A ' ^ ' H y D ôv ,) , Thay (3) vao (4) ta dupe: G | G ' = - ( A , A ' + B j E ' + C j C ) . ằniov,^rHv;, C h u n g m i n h t u o n g t u : G,G = - ( A , A + BjB + C j C ) .
Cho h i n h hpp A B C D . A ' B' C' D ' .
a) Chung m i n h rang hai mat phSng ( B D A ' ) va ( B ' D ' C ) song song voi nhau.
b) C h u n g m i n h r^ng d u o n g cheo A C d i qua trpng tam G' va G " Ian l u o t cua hai tam giac B D A ' va B ' D ' C . ' " 'vt-*- t .i <v.i c) C h u n g m i n h G' va G " chia doan thling A C thanh ba phan bang nhau.
d) Gpi E, F, G, H , K, L Ian luot la trung diem ciia BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B. C h u n g m i n h sau diem o tren dong phang.
Loi giai:
a) C D A ' B ' la hinh binh hanh nen
D A ' / / C B ' (1) "
B D D ' B ' la h i n h hanh nen: i
B D / / B ' D " (2) T u ( l ) v a (2) suy ra ( A ' B D ) / / ( B ' D ' C ) . b) Gpi O va O' Ian lupt la tam ciia
A B C D va A ' B ' C ' D ' . • , r
Trong m p ( A C C ' A ' ) , A C Celt A ' O va ^.
C O ' tai G ' va G " (theo thii tu). , ^..^..^ . ..^
O la t r u n g d i e m ciia B D nen A ' O la
t r u n g tuye'n ciia tam giac B D A ' va j
G ' G A ' O ( ] ) , •{(, A ' C / / O A nen:
O' c
I ' M ! I
G : 0 = 0 ^ = i = : > G ' A ' = 2 G ' 0
G ' A ' A ' C 2 (2)
\ G > ^
O Hinh 2
111
Tir (1) va (2) suy ra: G ' la trpng tam cua tarn giac A ' B D Tuong tu, G " la trong tam cua tam giac B ' D ' C .
c) Tam giac A C G ", O G ' la duang trung binh nen G ' la trung diem cua A G '
^ A G ' = G ' G " (3)
Tuang tv, ta CO C ' G " = G "G' (4) T u ( 3 ) v a (4) suy ra A G ' = G ' G " = G " C '
Vay G ' va G " chia A C ' thanh ba phan b3ng nhau (dpcm). '
d) Vi CO F G // C D ' , H K // B'D', L E // B'Cba duong thSng F G , H K , L E cung song song v6i mp(CB'D'). •^8,;ô:*^A, nv.vh f.l c,i\f I'p) *{T Tuong tu ba duong thang EF, G H , K L cimg song song voi mp(A'BD).
Ma (A'BD) // (CB'D') suy ra sou diem E, F, G, H , K, L dong phSng.
Cho htnh hop A B C D . A ' H C D ' . Goi M, N Ian luot la trung diem ciia C D va C C .
a) Xac djnh duang thang A quaMcSt A N va cat A ' B .
b) Goi I, J Ian luot la giao diem cua A voi A N va A ' B . Hay tim ti so . IM IJ LOI GlAI
a) . Gia su da dung duac duong thang A can tim cat ca A N va A ' B .
Goi I, J Ian luot la giao diem cua A voi A' A N va A ' B .
Xet phep chieu song song len mat phang ( A B C D ) theophuongchieu A ' B . Khi do ba diem J, I, M Ian luot c6 hinh
chieu la B, r, M . A
D o d 6 : b a d i e m B, r,M lhanghang. fj' ir,ul o Go! N ' la hinh chieu cua N thi A N ' la hinh chieu cua A N .
Vi I thupc A N nen I' thugc A N ' . Vay I' la giao diem ciia B M va A N ' . Tu phan tich tren ta c6 the dung duong thang A theo cac buoc sau day:
Lay giao diem I'ciia A N ' va BM .
Trong m p ( A N N ' ) dung 1 1 ' / / N N ' (da c6 N N ' / / C D ' ) c3t A N tai I . Ve duong thang M I , do la duong thang A can tim.
b) De chung minh duoc, duong thang A ncSi tren cat A ' B . D l tha'y M C = C N ' suy ra M N ' = C D = AB .
Do do I la trung diC'm cua BM .
112
A O W J' A A O ^ (JD '5'"A " ' A' 5
Mat khac: 11'/ /JB , nen I F la duong trung binh ciia tam giac MBJ . IM
Suy ra: IM = IJ — = 1
Cho hinh hpp A B C D . A ' B' C' D ' .
Hay xac djnh duong thang A cat ca hai duang thang A C va BA' dong thai song song voi B ' D ' . v v, ^' • ' —
Gpi I/J Ian lugt la giao diem ciia A voi A C va B A ' . Tinh ti so A I A C LOI GIAI
a). Gia su da xac djnh dugc duong thSng A cat A C va B A ' Ian lugt tai I va J.
Xet phep chieu song song len mp (ABB'A') theo phuong chieu D ' B ' . Khi do, hinh chieu ciia ba diem A , I , C ' Ian luot la ba diem thang hang A , J , K . M|t khac: J thuoc B A ' , nen J chinh la giao diem ciia A K va B A ' .
T u do, ta CO each dung duong thang A theo cac buoc sau day: '
* Dung diem K la hinh chieu ciia C (theo phuong chieu D'B').
* Lay giao diem J ciia A K va BA' .
* Qua J dung duong thSng A / / C ' K ( da CO C K // B ' D ' ), ta duoc duong thing A can tim. K
Pthay A ' B ' = B'K=> A ' K = 2AB (do A ' B ' = A B ) . A B / / A ' K = > — = — = -1.
t k h a c : I J / / C K ^ - ^ = i ^ = U ^ = l I C JK 2 A C 3 Cho hinh hpp A B C D . A B C D ' .
a) Chung minh rang duong cheo B ' D cat m p ( A ' B C ' ) t^i diem G sao cho BG = ^ G D va G la trong tam tam giac A ' B C .
b) Chung minh rang ( D ' A C ) // ( B A ' C ) va trpng tam G ' ciia A D ' A C cung n l m tren B ' D va B ' G ' = - B ' D .
3
c) Gpi P, Q, R Ian lugt la cac diem doi xung cua diem B' qua A, D', C.
Chii-ng minh rSng (PQR) // (BA'C). • . 1 : . r. >{ M| - ( V , d) Chung minh rang D la trong tam tiV dien B'PQR .
i.^f^ff,--/.^R ; LOIGIAI a). Goi O' la giao diem cua A ' C va B ' D ' .
Khido: (A'BC')n(BDD'B') = BO'.
Gpi G la giao diem cua B'D va BO' thi G chinh la giao diem cua B'D voi mp(A'BC').
^ Dethay AGBO-AGO'B', t i s o d o n g d a n g I a 2 ( d o - ^ = 2). "
B'O' "> • • Vay: B'G = - G D va GO' = - G B , suy la G la trong tarn tam giac A ' B C . b) Dethay: AC//A'C', D'A//C'B
Chung minh tuong tu nhu cau a), ta c6 trong tam G' ' ciia tam giac D'AC n^im 1>
7 tren duong cheo DB' va DG' = - G ' B ' .
2
, Tu do va ket qua ciia cau a)
=> G va G' chia duong cheo B'D thanh ba phan bang nhau.
•(D'AC)//(BA'C').
D
A'
Vay: B ' G ' = - B ' D . ' . ( ^ A '8'/., \U c. />
(A f / c) Do A,D',C Ian lugt la trung diem ciia PB',QB',RB' nen:
PQ // AD', QR // D'C, RP // CA .Tu do, suy ra (PQR) //(AD'C) Mat khac, theo cau b), ta c6 (D'AC)//(BA'C) nen (PQR)//(BA'C).
d) Vi A,D',C Ian lugt la trung diem cua B'P,B'Q,B'R nen trgng tam G"cua tam giac PQR phai n3m tren duong thiing B'G" va B'G " = - B ' D
=>B'D = - B ' G " . 4
Vay D la trgng tam tu dien B'PQR .
Cho hinh hop ABCD.A'B'C'D'. Diem M thugc canh AD, diem N thugc canh D ' C sao cho A M : MD = D ' N : N C .
Chung minh rang M N song song voi (C'BD).
Xac dinh thiet di^n ciia hinh hop khi cat boi mp (P) qua M N va song song vol mp(C BD).
LOI GIAI
v:v;.''i-,/)r:((T) ),;;•/ n'lii f u " i '\''{sit:>/>fc'u a) Theo gia thiet, ta c6:
M N _ D ' N A M _ M D
MD ~ N C ^ D ' N " N C D ' C
Theo djnh ly Ta-let dao, ta c6 M N , AD', DC'cimg song song voi mgt mat phang (P).
Mat phang (P) song song voi AD' va D C . Nhung AD'//BC' nen mat phang (P) song song voi B mat phang (C'BD).
Tudo, taco MN//(C'BD). ; ..
b) . Tu M ke ME / /BD, c^it AB tai E ; Tir E ke duong thang i:i7/AB', cat BB' tai F; tu F ke duong thang
FI//BC',cat B ' C tai I ;
Tu N ke duong thcing NJ / /CD, cat DD' tai ].
De thay thiet dien la luc giac MEFINJ c6 cac canh doi Ian lugt song song voi ba canh ciia tam giac C'BD .
BAI T A P T O N G H O P C H l / O N G II
Cho hinh chop S.ABCD ccS day ABCD la hinh thang, AD la day Ion. Ggi M , N, E Ian lugt la trung diem cua SA, AB, CD. • ' ' ^ ' a) Chung minh EN // (SBC), (MNE) // (SBC). ''\J:^''^yt}?'^^. '
b) Tim giao diem F cua SD voi mp(MNE). Chung minh SC // (MNE).
Duong thSng D M song song voi (SBC) hay khong giai thich.
c) Xac dmh thiet dien cua hinh chop S.ABCD voi mp(MNE). Thiet dien do la hinh gi? tai sao?
a) Chung minh EN//(SBC):
LOI GIAI